第二章 不等式与不等式组核心基础知识清单（含pdf可直接打印）新教材北师大版八年级数学下册

第二章不等式与不等式组 知识清单 1.1 不等式及其基本性质 基本概念与性质 1.不等式：用＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 3.解集：一个不等式的所有解组成的集合。 4.不等式的三条基本性质 性质1：若，则（加减不变号） 性质2：若，，则，（乘除正数不变号） 性质3：若，，则，（乘除负数必变号） 典型例题 例1 已知，下列变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：两边减3，不等号方向不变，应为，错误； B：两边乘正数2，不等号方向不变，应为，错误； C：两边乘负数-3，不等号改变方向，得，正确； D：两边除以正数2，不等号方向不变，应为，错误。 例2 “的2倍与3的差是非正数”列不等式为________。 【答案】 【解析】非正数即≤0，故列。 二级结论与解题技巧 1.列不等式关键词： 至少、不低于、不少于 → ≥ 至多、不超过、不多于 → ≤ 正数→，负数→，非负数→ 2.判断变形是否正确：只看乘除的数是正还是负，负则变号。 易错点拨 1.乘负数忘记变号（最常错）。 2.两边同乘0，不等号变等号，不能随意乘。 3.混淆“≥”与“>”：不小于是≥，不是>。 1.2 一元一次不等式 基本概念 1.一元一次不等式：只含一个未知数，未知数次数为1，整式形式。 2.解法五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 ✔ 关键：系数为负数，不等号必须反向。 3.数轴表示解集： ￮、：空心圆圈 ￮、：实心圆点 ￮大于向右画，小于向左画 典型例题 例1 解不等式：，并把解集表示在数轴上。 【解析】， 移项，合并，得： 数轴上表示如图： 例2 解不等式： 【解析】去分母： 移项合并： 系数化1： 例3 解不等式：. 【解析】去括号得：， 移项合并同类项得：， 原不等式的解为：. 二级结论与解题技巧 1.去分母：每一项都要乘最小公倍数，不漏常数项。 2.括号前是负号：括号内每一项都变号。 3.求整数解：先解出解集，再在范围内挑整数。 易错点拨 1.去分母漏乘常数项。 2.括号前负号，只变第一项符号。 3.系数为负，不变号。 4.数轴空心/实心画错。 1.3 一元一次不等式与一次函数 基本概念与性质 1.对一次函数： ⇔ 图象在x轴上方的x范围 ⇔ 图象在x轴下方的x范围 2.两个函数⇔ 直线在直线上方对应的x取值范围。 典型例题 例1 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：A． 例2 已知一次函数，当时，则m的取值范围是______。 【解析】由题意：时，代入得。 又时，说明函数递减，故。 【答案】 二级结论与解题技巧 1.看图直接写解集：交点左边/右边，谁高谁大。 2.看x轴上方，看x轴下方。 3.已知解集反求k：用交点坐标代入。 易错点拨 1.把看成。 2.只看y值，不看x范围。 3.增减性判断错误：递增，递减。 1.4 一元一次不等式组 基本概念 1.一元一次不等式组：几个含同一未知数的一元一次不等式组合。 2.解集：各不等式解集的公共部分。 3.四句口诀： ￮同大取大 ￮同小取小 ￮大小小大中间找 ￮大大小小找不到（无解） 典型例题 例1 解不等式组： 【解析】解①：，解②：，公共部分：，∴解集为。 例2 不等式组的解集是，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据“大小小大中间找”，需满足。 例3关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式，得：，∵关于x的不等式组的解集为，∴． 二级结论与解题技巧 1.先分别解每个不等式。 2.画数轴找重叠区域。 3.含参问题：定边界、画数轴、列不等式。 4.整数解问题：先写出整数，再反推参数范围。 易错点拨 1.把“公共部分”当成“合并全部”。 2.含等号与不含等号混淆。 3.参数范围多等号或漏等号。 4.无解判断错误。 全章重难题型突破 题型1：含参不等式组有整数解 例1 不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______。 【解析】整数解为2、3、4，故。 【答案】 例2 若不等式组只有三个整数解，求a的取值范围（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵不等式组有三个整数解，∴有3,2,1， ∴a的取值范围为：，故选：D． 题型2：方程组的解满足不等式（求参数） 例1 方程组的解满足，求k的范围。 【解析】解得：， 由得： 例2 已知且，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 得：，即， 解得：．故选：D． 题型3：实际应用—方案问题 例1 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【详解】（1）设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资， 根据题意得，解得 1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资； （2）设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆， 运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元 ，解得 为整数 可取6，7，8 一共有3种租车方案 根据题意得 随的增大而增大 当时，取最小值 此时． 租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元． 题型4：新定义与不等式结合 例1 请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．按照这种规定的运算，请解答下列问题： (1)填空：计算 ； (2)若，，且满足，请你求出k的整数值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，解得， ∵， ∴， 解得， ∴的整数值为，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章不等式与不等式组 知识清单 1.1 不等式及其基本性质 基本概念与性质 1.不等式：用＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 3.解集：一个不等式的所有解组成的集合。 4.不等式的三条基本性质 性质1：若，则（加减不变号） 性质2：若，，则，（乘除正数不变号） 性质3：若，，则，（乘除负数必变号） 典型例题 例1 已知，下列变形正确的是（） A． B． C． D． 例2 “的2倍与3的差是非正数”列不等式为________。 二级结论与解题技巧 1.列不等式关键词： 至少、不低于、不少于 → ≥ 至多、不超过、不多于 → ≤ 正数→，负数→，非负数→ 2.判断变形是否正确：只看乘除的数是正还是负，负则变号。 易错点拨 1.乘负数忘记变号（最常错）。 2.两边同乘0，不等号变等号，不能随意乘。 3.混淆“≥”与“>”：不小于是≥，不是>。 1.2 一元一次不等式 基本概念 1.一元一次不等式：只含一个未知数，未知数次数为1，整式形式。 2.解法五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 ✔ 关键：系数为负数，不等号必须反向。 3.数轴表示解集： ￮、：空心圆圈 ￮、：实心圆点 ￮大于向右画，小于向左画 典型例题 例1 解不等式：，并把解集表示在数轴上。 例2 解不等式： 例3 解不等式：. 二级结论与解题技巧 1.去分母：每一项都要乘最小公倍数，不漏常数项。 2.括号前是负号：括号内每一项都变号。 3.求整数解：先解出解集，再在范围内挑整数。 易错点拨 1.去分母漏乘常数项。 2.括号前负号，只变第一项符号。 3.系数为负，不变号。 4.数轴空心/实心画错。 1.3 一元一次不等式与一次函数 基本概念与性质 1.对一次函数： ⇔ 图象在x轴上方的x范围 ⇔ 图象在x轴下方的x范围 2.两个函数⇔ 直线在直线上方对应的x取值范围。 典型例题 例1 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 例2 已知一次函数，当时，则m的取值范围是______。 二级结论与解题技巧 1.看图直接写解集：交点左边/右边，谁高谁大。 2.看x轴上方，看x轴下方。 3.已知解集反求k：用交点坐标代入。 易错点拨 1.把看成。 2.只看y值，不看x范围。 3.增减性判断错误：递增，递减。 1.4 一元一次不等式组 基本概念 1.一元一次不等式组：几个含同一未知数的一元一次不等式组合。 2.解集：各不等式解集的公共部分。 3.四句口诀： ￮同大取大 ￮同小取小 ￮大小小大中间找 ￮大大小小找不到（无解） 典型例题 例1 解不等式组： 例2 不等式组的解集是，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 例3关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二级结论与解题技巧 1.先分别解每个不等式。 2.画数轴找重叠区域。 3.含参问题：定边界、画数轴、列不等式。 4.整数解问题：先写出整数，再反推参数范围。 易错点拨 1.把“公共部分”当成“合并全部”。 2.含等号与不含等号混淆。 3.参数范围多等号或漏等号。 4.无解判断错误。 全章重难题型突破 题型1：含参不等式组有整数解 例1 不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______。 例2 若不等式组只有三个整数解，求a的取值范围（    ）． A． B． C． D． 题型2：方程组的解满足不等式（求参数） 例1 方程组的解满足，求k的范围。 例2 已知且，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型3：实际应用—方案问题 例1 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 题型4：新定义与不等式结合 例1 请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．按照这种规定的运算，请解答下列问题： (1)填空：计算 ； (2)若，，且满足，请你求出k的整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $第二章不等式与不等式组 知识清单 1.1不等式及其基本性质 基本概念与性质 1.不等式：用>、<、≥≤、表示不等关系的式子。 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 3解集：一个不等式的所有解组成的集合。 4.不等式的三条基本性质 性质1：若a>b,则a±c>b土c(加减不变号) 性质2：若a>b,c>0,则ac>bc,>:(乘除正数不变号) 性质3：若a>b,c<0,则ac<bc,<2(乘除负数必变号) 典型例题 例1已知a>b,下列变形正确的是() A.a-3<b-3 B.2a<2b C.-3a<-3b D.< 例2“x的2倍与3的差是非正数”列不等式为一。 二级结论与解题技巧 1.列不等式关键词： 至少、不低于、不少于→≥ 至多、不超过、不多于一≤ 正数→>0，负数→<0，非负数→≥0 2.判断变形是否正确：只看乘除的数是正还是负，负则变号。 易错点拨 1乘负数忘记变号（最常错)。 2两边同乘0，不等号变等号，不能随意乘。 3.混淆≥”与>”：不小于是≥，不是>。 1.2一元一次不等式 基本概念 1.一元一次不等式：只含一个未知数，未知数次数为1，整式形式。 2解法五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 √关键：系数为负数，不等号必须反向。 3数轴表示解集： >、<:空心圆圈 ≥、≤：实心圆点 。大于向右画，小于向左画 典型例题 例1解不等式：2x-2≤x+3,并把解集表示在数轴上。 例2解不等式：2号≤1 例3解不等式：3(1-x)>2(1-2x) 二级结论与解题技巧 1.去分母：每一项都要乘最小公倍数，不漏常数项。 2.括号前是负号：括号内每一项都变号。 3.求整数解：先解出解集，再在范围内挑整数。 易错点拨 1.去分母漏乘常数项。 2括号前负号，只变第一项符号。 3.系数为负，不变号。 4.数轴空心/实心画错。 1.3一元一次不等式与一次函数 基本概念与性质 1.对一次函数y=kx+b: y>0台图象在x轴上方的x范围 y<0台图象在x轴下方的x范围 2.两个函数y1>y2台直线y1在直线y2上方对应的x取值范围。 典型例题 例1如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b>x+6的解集为() y=x+b y=kx+b P(3,5) A.x>3 B.x<3 C.x>5 D.x<5 例2已知一次函数y=mx-4,当x>2时y<0,则m的取值范围是一。 二级结论与解题技巧 1看图直接写解集：交点左边/右边，谁高谁大。 2.y>0看x轴上方，y<0看x轴下方。 3.已知解集反求k:用交点坐标代入。 易错点拨 1.把y>0看成x>0。 2.只看y值，不看x范围。 3.增减性判断错误：k>0递增，k<0递减。 1.4一元一次不等式组 基本概念 1.一元一次不等式组：几个含同一未知数的一元一次不等式组合。 2解集：各不等式解集的公共部分。 3.四句口诀： 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到（无解） 典型例题 例1解不等式组： x+2>1① 2x-6≤0② 例2不等式组货二的解柴是a<x<3,则a的取值花围是) A.a<3 B.a≤3 C.a≥3 D.a>3 3x-1>2(x-1) 例3关于x的不等式组 的解集是x>-1,那么a的取值范围是() x>a A.a≤-1 B.a≥-1 C.a<-1 D.a>-1 二级结论与解题技巧 1先分别解每个不等式。 2.画数轴找重叠区域。 3.含参问题：定边界、画数轴、列不等式。 4整数解问题：先写出整数，再反推参数范围。 易错点拨 1.把公共部分”当成“合并全部”。 2.含等号与不含等号混淆。 3参数范围多等号或漏等号。 4.无解判断错误。 全章重难题型突破 题型1：含参不等式组有整数解 例1不等式组化之1有3个整数解，则a的取值范围是 (x<a x-3s0只有三个整数解，求a的取值范围(). x>a 例2若不等式组 A.a<1 B.a20 C.0<a≤1 D.0≤a<1 题型2：方程组的解满足不等式（求参数） 例1方程组+y二华的解满足x>0y>0,求k的范用。 x+2y=4k 例2己知 2x+y=2k+1且+y>0,则k的取值范围为() A.k>3 1 B.k<3 1 1 C.k< 6 D.k>-1 6 题型3：实际应用一方案问题 例1习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智’.某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为 贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送.据调查得知，1辆大货车与5辆 小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件. (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300 元.若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元.请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计 算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 题型4；新定义与不等式结合 例1请阅读下列材料：我们规定一种运算：[a,b]=2a-b,比如：[3，-l刂=2×3-(-1)=7.按照这种规定 的运算，请解答下列问题： (1)填空：计算[-5，-6]=： (2)若[x,-y]=2,[1-x,2y]=-6,且满足1≤[kx,1+y]≤5，请你求出k的整数值。