专题04 方程与不等式的实际应用（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 方程与不等式的实际应用 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 一元一次方程的实际应用 题型二 二元一次方程组的实际应用 题型三 一元二次方程的实际应用 题型四 分式方程的实际应用 题型五 一元一次不等式（组）的实际应用 题型六 方程与不等式的综合实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 方程与不等式的实际应用是中考数学核心必考模块，分值约 10～20 分，选择题、填空题、解答题均有考查，解答题多为中档及以上题型，侧重考查数学建模能力、实际问题转化为数学问题的能力，是拉开基础分与高分的关键板块。 基础知识必备：掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的解法及验根要求；理解一元一次不等式（组）的解法，能准确确定解集并在数轴上表示；熟练掌握各类方程与不等式的实际应用模型，如行程问题、工程问题、利润问题、分配问题、增长率问题、方案设计问题等；能根据实际问题的数量关系列方程（组）、不等式（组），并结合实际意义检验解的合理性。 2026中考预测： 题型稳定：一元一次方程 / 二元一次方程组的实际应用为基础必考题，一元二次方程的增长率 / 利润问题、分式方程的行程 / 工程问题、不等式（组）的方案设计问题为解答题高频考点，方程与不等式综合应用为压轴小题或中档解答题常考形式； 难度平稳：基础题侧重单一模型应用，中档题侧重多条件数量关系分析，难题侧重方程与不等式结合的方案设计与最优解问题，无偏题、怪题，重点考查建模思路与计算准确性； 命题趋势：贴近生活实际，背景多为购物消费、工程施工、经济利润、校园生活、社会民生等，强调数学与实际生活的联系，部分题目会结合图表（表格、图像）给出信息，考查信息提取与分析能力。 题型一 一元一次方程的实际应用 【典例01】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价． 【变式02】1（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【变式03】（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【变式04】（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 【变式05】（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【变式06】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 题型二 二元一次方程组的实际应用 【典例01】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【变式01】（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【变式02】（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【变式03】（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【变式04】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【变式05】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【变式06】“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克． (1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？ (2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由． 题型三 一元二次方程的实际应用 【典例01】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【变式02】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式03】近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【变式04】（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【变式05】（2025·湖北恩施·二模）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【变式06】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 题型四 分式方程的实际应用 【典例01】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【变式01】（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【变式02】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【变式03】（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【变式04】（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 【变式05】市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． (1)求该超市两次购进这款玩具各多少个？ (2)第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【变式06】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 题型五 一元一次不等式（组）的实际应用 【典例01】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【变式01】某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 【变式02】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． (1)当时，分别求出两种方案的最终结算价； (2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由） (3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围． 【变式03】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【变式04】（2025·贵州黔东南·二模）某商店购买了一批A、B两种商品，其中A商品的单价比B商品的单价少9元，已知该商店用3120元购买A商品的件数与用4200元购买B商品的件数相等． (1)求该商店购买的A、B两种商品的单价各是多少元？ (2)若两种商品共购买了200件，且购买的总费用不超过6270元，求至少能购买多少件A商品？ 【变式05】“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【变式06】某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 题型六 方程与不等式的综合实际应用 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． (1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ (2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ 【变式01】（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【变式02】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【变式03】（2025·辽宁·模拟预测）盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． (1)求甲、乙两种盘锦大米的单价； (2)若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 【变式04】某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【变式05】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【变式06】为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ （限时训练：15分钟） 1．（2025·广东广州·一模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发．甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地，设甲的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是（   ） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 4．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·二模）某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（   ） A．150辆 B．152辆 C．153辆 D．154辆 6． （2025·海南三亚·模拟预测）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 7．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    8．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 9．交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 10．为弘扬江西井冈山红色文化，某校开展“红色故事宣讲”主题活动，需为每位师生定制一枚井冈山红旗纪念章，已知该校学生人数比教师人数的10倍还多10人，购买教师用纪念章共花200元，购买学生用纪念章共花2100元，且师生的纪念章单价相同． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)活动现场要为每位教师和学生准备一份井冈山红米酥伴手礼，商店规定：每份伴手礼定价16元，购买总数超过a份时，超出部分可享受八折优惠．若学校购买所有伴手礼的总费用不超过3500元，求a的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 方程与不等式的实际应用 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 一元一次方程的实际应用 题型二 二元一次方程组的实际应用 题型三 一元二次方程的实际应用 题型四 分式方程的实际应用 题型五 一元一次不等式（组）的实际应用 题型六 方程与不等式的综合实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 方程与不等式的实际应用是中考数学核心必考模块，分值约 10～20 分，选择题、填空题、解答题均有考查，解答题多为中档及以上题型，侧重考查数学建模能力、实际问题转化为数学问题的能力，是拉开基础分与高分的关键板块。 基础知识必备：掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的解法及验根要求；理解一元一次不等式（组）的解法，能准确确定解集并在数轴上表示；熟练掌握各类方程与不等式的实际应用模型，如行程问题、工程问题、利润问题、分配问题、增长率问题、方案设计问题等；能根据实际问题的数量关系列方程（组）、不等式（组），并结合实际意义检验解的合理性。 2026中考预测： 题型稳定：一元一次方程 / 二元一次方程组的实际应用为基础必考题，一元二次方程的增长率 / 利润问题、分式方程的行程 / 工程问题、不等式（组）的方案设计问题为解答题高频考点，方程与不等式综合应用为压轴小题或中档解答题常考形式； 难度平稳：基础题侧重单一模型应用，中档题侧重多条件数量关系分析，难题侧重方程与不等式结合的方案设计与最优解问题，无偏题、怪题，重点考查建模思路与计算准确性； 命题趋势：贴近生活实际，背景多为购物消费、工程施工、经济利润、校园生活、社会民生等，强调数学与实际生活的联系，部分题目会结合图表（表格、图像）给出信息，考查信息提取与分析能力。 题型一 一元一次方程的实际应用 【典例01】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价． 【答案】每件儿童汉服的进价为80元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设每件儿童汉服的标价为元，根据题意列方程求出，进而即可求出进价． 【详解】解：设每件儿童汉服的标价为元， 根据题意得， 解得， （元）， 每件儿童汉服的进价为80元． 【变式02】1（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案． 【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道， 根据题意得， 解得， 答：她答对了道题． 【变式03】（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． （2）（元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 【变式04】（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 【答案】(1)优惠方案二更划算； (2)学生人数为人，则成人人数是人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解； （2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 所以优惠方案二更划算； （2）解：设学生人数为人，则成人人数是人， 依题意得， 解得， 则， 答：学生人数为人，则成人人数是人． 【变式05】（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【答案】(1)通道的宽是 (2)完成该项目需要20880元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． （2）解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 【变式06】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 题型二 二元一次方程组的实际应用 【典例01】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【答案】参加此次研学活动的师生共有600人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆， 根据题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生共有600人． 【变式01】（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【答案】型无人机出动架，型无人机出动架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型无人机出动架，型无人机出动架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型无人机出动架，型无人机出动架， 由题意可得：， 解得：， ∴型无人机出动架，型无人机出动架． 【变式02】（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 【变式03】（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 【变式04】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【变式05】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【变式06】“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克． (1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？ (2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由． 【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个 (2)有四种购买方案，见解析 【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可； （2）设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得 ，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得 解这个方程组得：， 答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个． （2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个， 根据题意，得 ， 化简得 ， 所以 ， 因为m，n均为非负整数， 所以 ， 所以 ，且n为非负整数， 所以当； 当， 当， 当， 所以共有四种购买方案． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键． 题型三 一元二次方程的实际应用 【典例01】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 【变式02】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式03】近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)20元或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 【变式04】（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 【变式05】（2025·湖北恩施·二模）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 【变式06】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 题型四 分式方程的实际应用 【典例01】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 【变式01】（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 【变式02】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 【变式03】（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 【变式04】（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是50千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系． 设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度是50千米/小时． 【变式05】市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． (1)求该超市两次购进这款玩具各多少个？ (2)第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【答案】(1)该超市第一次购进200个，第二次购进400个 (2)第一次销售时每个玩具的售价是8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个，根据每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个玩具的售价是m元，根据要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该超市第一次购进200个，第二次购进400个； （2）解：设第一次销售时每个玩具的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次销售时每个玩具的售价是8元． 【变式06】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 【答案】(1)种书籍购进本，两种书籍购进本 (2)48元 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答：种书籍购进本，两种书籍购进本； （2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本种书籍的售价是48元． 题型五 一元一次不等式（组）的实际应用 【典例01】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解． 【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有： ， 解得． 故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程． 【变式01】某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 【答案】60个 【分析】根据题意，列出一元一次不等式，解出答案即可．本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设后面的时间每小时加工个零件， 根据题意，得， 解得． 答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件． 【变式02】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． (1)当时，分别求出两种方案的最终结算价； (2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由） (3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)不可能相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出一元一次不等式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出方程，求解后进行判断即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 答：方案一：元；方案二：元； （2）不可能相等，理由如下： 由题意，当时，； 故不可能相等； （3）当时，，解得：（不符合题意）； 当时，，解得：， ∴； 故当时，采用方案一更合算． 【变式03】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)甲旅行社一次最多能接纳的人数为30人； (2)每批组织人数的合理范围为． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 【变式04】（2025·贵州黔东南·二模）某商店购买了一批A、B两种商品，其中A商品的单价比B商品的单价少9元，已知该商店用3120元购买A商品的件数与用4200元购买B商品的件数相等． (1)求该商店购买的A、B两种商品的单价各是多少元？ (2)若两种商品共购买了200件，且购买的总费用不超过6270元，求至少能购买多少件A商品？ 【答案】(1)该商店购买的A、B两种商品的单价各是26元、35元 (2)至少能购买82件A商品 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设该商店购买的A种商品的单价是x元，根据题意列分式方程求解； （2）设购买A商品m件，根据题意列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设该商店购买的A种商品的单价是x元，则B两种商品的单价是元，由题知， ， 解得， 经检验，是方程的解且符合实际， ． 答：该商店购买的A、B两种商品的单价各是26元、35元． （2）设购买A商品m件，B商品件，由题知， ， 解得， 又m为正整数， ． 答：至少能购买82件A商品． 【变式05】“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 【变式06】某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 题型六 方程与不等式的综合实际应用 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． (1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ (2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ 【答案】(1)定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； (2)最多可以定制个纪念册． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元，根据定制个笔记本和个纪念册共需花费元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即定制一个笔记本所需费用，再将其代入中，即可求出定制一个纪念册所需费用； （2）设定制个纪念册，则定制个笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； （2）设定制个纪念册，则定制个笔记本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多可以定制个纪念册． 【变式01】（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生 (2)至多种植甲作物亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过65人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 【变式02】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 【变式03】（2025·辽宁·模拟预测）盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． (1)求甲、乙两种盘锦大米的单价； (2)若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 【答案】(1)甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克 (2)500千克 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种盘锦大米的单价分别为x元每千克，y元每千克， 则， 解得， 即甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克． （2）解：设购进甲种盘锦大米m千克， 则， 解得， 即超市最多购进甲种盘锦大米500千克． 【变式04】某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【变式05】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【变式06】为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． （限时训练：15分钟） 1．（2025·广东广州·一模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得：． 故选：A． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发．甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地，设甲的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据题意得到乙的速度为，再根据“甲比乙提前20到达目的地”建立方程，即可解题． 【详解】解：甲的速度为，甲、乙的速度比是， 乙的速度为， 甲比乙提前20到达目的地， 根据题意可列方程为； 故选：C． 3．（2025·陕西西安·一模）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是（   ） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 设该服装的标价为x元，用x表示出五折出售的价钱，每件服装的进价乘求出获利的价钱，再用五折出售的价钱减去标价等于获利的价钱，列方程求解． 【详解】解：设该服装的标价为x元， 由题意得， 解得； 即该服装标价是元． 故选：D． 4．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了首先根据王明答题的数量和得分情况求出王明答对与答错题目的差，根据李红共答题道，设李红答对了道题，答错了道题，可知为奇数且最大值为，从而可知两位同学答对与答错题目的差相加的数值一定是奇数且不超过，利用排除法得到正确选项． 【详解】解：设王明答对了道题，则答错了道题， 根据题意可得：， 解得：， 王明答对了道题，则答错了道题， 王明答对与答错题目的差， 设李红答对了道题，答错了道题， 则， 为奇数， 一定为奇数， 一定为奇数， A、C选项排除， 如果这道题李红全部答对了，则李红答对与答错的题目的差为， ， D选项排除， 两位同学答对与答错题目的差相加可能是． 故选：B． 5．（2025·山西临汾·二模）某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（   ） A．150辆 B．152辆 C．153辆 D．154辆 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键． 设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得， 解得：， 又x为正整数， 故符合题意的最小正整数为154， 故选：D． 6．（2025·海南三亚·模拟预测）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 7．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 8．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 9．交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 10．为弘扬江西井冈山红色文化，某校开展“红色故事宣讲”主题活动，需为每位师生定制一枚井冈山红旗纪念章，已知该校学生人数比教师人数的10倍还多10人，购买教师用纪念章共花200元，购买学生用纪念章共花2100元，且师生的纪念章单价相同． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)活动现场要为每位教师和学生准备一份井冈山红米酥伴手礼，商店规定：每份伴手礼定价16元，购买总数超过a份时，超出部分可享受八折优惠．若学校购买所有伴手礼的总费用不超过3500元，求a的最大值． 【答案】(1)该校教师人数为20人，学生人数为210人； (2)a的最大值为173． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用； （1）设该校教师人数为，则学生人数为；由题意得：，即可求解； （2）先判断出，由题意得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该校教师人数为，则学生人数为； 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 答：该校教师人数为20人，学生人数为210人； （2）解：师生总人数为人，需购买230份伴手礼； 每份定价16元，当购买总数超过a份时，超出部分打八折， 即单价为元，总费用不超过3500元； 若，则总费用为，不满足条件， 故必有， 此时总费用为：， 解得， 由题知为正整数， 取最大整数， 答：a的最大值为173． 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