考点06 立体几何中线线角、线面角、二面角（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点06 立体几何中线线角、线面角、二面角 考点一：异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 考点二：线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 考点三： 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 定义法求线线角 1、做出平移构造异面角的平面角 2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【答案】或 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【分析】连接，过点E作的平行线交于点O，连接．通过得到，结合得到，得到，从而得到与所成的角即为和所成的角，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到和所成的角． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 4．（25-26高二上·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 5．（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 定义法求线面角 1、过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、注意线面角的角度范围 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，且，，则直线与平面所成角的正切值为____________． 【答案】 【分析】通过作辅助线找到直线与平面所成角，再利用几何求解即可. 【详解】作于点， 因为底面，底面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 故点在平面上的射影在直线上，故为所求的角． ，． 故答案为：. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 【答案】/ 【分析】根据线面角的定义，结合线面垂直找出线面角对应的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】取中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形，所以. 同理可得，. 因为，，所以，所以为等腰直角三角形， 且，. 又，，所以，所以为等腰直角三角形， 且. 在中，，所以. 又，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角. 在中，，所以. 5．（2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，，作点在平面投影为，连接，，设，由直线与平面所成角的定义可得为与平面所成角,由线面垂直的性质定理可得，进而可得，，并求得，，即可得答案. 【详解】如图，过作，，作点在平面的投影为，连接，， 设， 因， 则，． 因为平面，，平面， 所以，，且为与平面所成角． 又，，， ，平面，，平面， 所以平面，平面． 又平面，平面， 则，． 又，，， 则， 故， 结合，得． 又， 则, 故与平面所成角的正弦值等于． 故选：A． 体积法求线面角 如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 1．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    2．（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 3．（2026·贵州毕节·一模）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设底面边长为，则正三角形的面积为，根据条件结合体积公式，可得a值，连接并延长交于点，则点是的中点，求出各个长度，根据面积公式，可得的面积，设点到平面的距离为，利用等体积法，可求得h，即可求出点到平面的距离为，根据余弦定理，求出BE，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，则正三角形的面积为， 因为正三棱锥，所以. 过点作平面的垂线，垂足为，则， 所以正三棱锥的体积为， 即，解得， 连接并延长交于点，则点是的中点， 所以，，连接，则， 则， 所以的面积为， 设点到平面的距离为，所以，解得， 因为点是的中点，所以点到平面的距离为， 在中，，由余弦定理得， 在中，，，由余弦定理得， 解得， 设与平面所成的角为，则.    故选：D. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】根据平面可知到平面的距离为，计算即可；取线段的中点，可知，化简求最小值即可. 【详解】因平面平面，平面，则平面， 则到平面的距离为， 因点、分别为棱、的中点，则， 则， 则； 取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 故答案为：； 定义法求二面角 找与棱垂直的两条线，如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。 1．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 2．（25-26高二上·北京通州·期中）如图，两个三棱锥与的公共底面是边长为2的正三角形，顶点，在底面的同侧.两个棱锥的高，为的中点，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，首先证明为二面角的平面角，即平面与平面所成的角，然后证明四边形为矩形即可求解. 【详解】连接，因为是中点，，所以， 因为平面，平面，所以，， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，即平面与平面所成的角， 因为平面，平面，所以， 又因为，，所以四边形为矩形， 在三角形中，， 在三角形中，， 所以. 故选：B 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【分析】取中点，则，所以为二面角的平面角，根据几何关系即可得答案． 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 4．（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用二面角的定义，结合点的位置情况分类求解. 【详解】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2：    令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 5．（25-26高二上·上海·月考）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）根据圆的性质，可得，再根据线面垂直的性质，可得，再利用线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据线面垂直的性质，可得，进而可得即为二面角的平面角，再结合几何关系，即可求得其大小. 【详解】（1）因为是圆的直径，点是圆周上不同于的任意一点， 所以， 又垂直于圆所在的平面，底面圆， 所以， 又平面，平面，且相交于点， 所以平面； （2）由（1）得平面，平面，所以， 又，平面与平面相交于， 所以即为二面角的平面角， 又垂直于圆所在的平面，底面圆， 所以， 所以，又， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 三垂线、垂面法求二面角 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 1．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面； （2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案； （3）证明，，从而得到即为二面角的平面角，接着证明为直角三角形，利用基本不等式得到的面积最大时，即可得到答案. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 （3）因为平面，平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为. 2．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）在三棱锥中，，且点在平面上的射影位于内部，记二面角，的大小分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】过点作平面于，过点作于，过点作于，根据线面垂直的判定定理可得平面，平面，根据三垂线定理及逆定理求二面角，结合垂直关系逐项分析即可. 【详解】过点作平面于，过点作于， 过点作于， ，平面， 所以平面，而平面，故. 同理可得平面，. 对于A：，所以，故A正确； 对于B：， 所以， 因为在上单调递增， 所以，同理可得， 则， 所以，故B正确； 对于C、D：,,,, 所以， 所以，记二面角的大小为， 同理可得， 所以，， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面，求证：直线； (3)当时，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）直接用平面与平面的垂直的判定来证即可； （2）用线面平行的性质来证明线线平行； （3）先找出二面角的平面角然后再计算它的大小. 【详解】（1）平面，平面，. 又，，且平面， 平面，， 平面.又平面， 平面平面. （2），平面，平面，平面. 又平面平面，平面，直线. （3）当时，，所以是棱的中点， 过点作交于点，连接，则为的中点. 如图，作出符合题意的图形， 又，且四点共面. 又平面，平面， ，且. 是等腰直角三角形的中线也是顶角的平分线，. 再由（1）知平面，平面，平面， ，，平面， 平面，平面平面， 就是二面角的平面角. 故二面角的大小为. 4．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 5．（25-26高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 射影面积、补形法求二面角 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 1．（25-26高二上·上海·月考）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正弦值为______．    【答案】 【分析】由题意可得直三棱柱为正方体的一半，再利用正方体的性质与二面角定义计算即可得. 【详解】由题意可得直三棱柱为正方体的一半， 所求即为平面与平面所成的二面角，即为， 又为等腰直角三角形，，则正弦值为． 故答案为：. 2．（25-26高二上·北京·月考）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为底面且高要足够高的直四棱柱，再作出平面与平面截该直四棱柱的截面，利用二面角的面积射影公式求解即可. 【详解】设平面，平面与以为底面的直四棱柱(高要足够高)的截面分别为和， 在后侧面中过作直线的垂线，垂足分别为， 则由于平面经过平面，于是平面平面， 由平面垂直的性质定理可得都是平面的垂线， 则四边形为四边形在平面中的正投影，易知与全等， 因此四边形的面积等于四边形的面积， 设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为， 平面与平面所成的锐二面角为，平面与平面所成的锐二面角为， 平面与平面所成的锐二面角为， ， . 故选：C 3．（25-26高三上·重庆·月考）如图，矩形 中， 在 边上，且 ，沿 将 翻折，使点 到 ，且满足 . (1)求证:平面 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，连接，，由余弦定理求出，由勾股逆定理可得，根据线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）延长，，交于点，连接，根据线面垂直，作出平面的夹角，求正切值即可. 【详解】（1）取中点为，连接，， 由条件可知， 为等腰直角三角形，所以，， 在中，由余弦定理可得， 由，，从而，从而， 又，平面，从而平面， 由平面，所以平面平面； （2）延长，，交于点，连接，知为平面与平面的交线， 由于，，所以为等腰直角三角形，有， 取中点为，连接，，，由于，平面 ， 由（1）知平面 平面 ，且是交线，所以平面，平面， 所以，过作，连接，平面, 所以平面，又平面，所以， 故有为平面与平面的夹角， 在中，，在中，，可得， 所以， 所以平面与平面成角的正切值为． 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 5．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 线面角与二面角综合 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【答案】. 【分析】取的中点，由题可得点在平面上的射影在上，可得直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，即平面与平面所成角，易得，结合可得，得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 由点在线段上，结合正四面体性质可得点在平面上的射影在上， 连接， 则直线与平面所成角为，即，且， 同理，直线与平面所成角为，即，且， 易知，则，所以，即， 由，得，又， 所以即平面与平面所成角，则， 又，，而， 故，即，又， . 故答案为：.    2．（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 3．（25-26高二上·云南·开学考试）如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. (1)设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)①证明见解析；②存在， (2). 【分析】（1）①用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；②构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 【详解】（1）①证明：如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即. （2） 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因为，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面，是的中点.点在棱上，且直线与底面所成角，求二面角的余弦值. 【答案】 【分析】作于，利用面面垂直的性质，结合线面角大小确定的位置，利用三余弦定理求出，再作出二面角的平面角，结合直角三角形锐角三角函数建立关系求解. 【详解】作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，即是在平面上的射影， 记在平面上的射影为，二面角的大小为，则， 令，由直线与平面所成角为，得， 由平面，得，则，即，解得， 由，得，又，则四边形 为平行四边形，并且是矩形，，， 由三余弦定理得，， 在平面内过作，连接，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 又平面，因此，是二面角的平面角， ，即， 解得，所以二面角的余弦值. 5．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，得到平面，进而可求证； （2）由面面角的概念为平面与平面所成角，再结合求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面 所以，又因为，都在平面内， 所以平面，又因为平面 所以平面平面 （2）解：在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等， 所以四点共面 由（1）知平面， 平面， ，在平面内， 得： 所以为平面与平面所成角， 设，点到平面的距离为 由可得： 所以 所以或 又因为 所以，所以 所以在中， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 1．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱边长为，则与底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点在平面的投影为点，延长交于点，根据条件判断出与底面所成角为，结合线段长度关系可求解出结果. 【详解】如图，因为在正三棱锥中，所以点在平面的投影为正的重心， 延长交于点，则为的中点，且， 易知平面，因为平面，所以， 所以直线与平面的所成角为， 由勾股定理可得，，故， 在中，，则， 即侧棱与底面所成角为. 故选：A. 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据体积公式，可求得正四棱台的高，作图可得，是与平面所成的角，分别求得各个边长，即可求得答案. 【详解】设棱台的高为，则，解得， 连接，交于点O，过作，垂足为，连接，，    由正四棱台性质可得，且平面，即， 所以是与平面所成的角. 因为在正四棱台中，，，则，， 所以，则， 所以在中，， 所以在中，. 故选：A. 4．（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，．    5．（25-26高二上·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质即可证明结论； （2）利用二面角的平面角的定义作出二面角的平面角，再解直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以. （2）分别取的中点，连接，如图所示：    因为，所以，又， 由余弦定理得， 又，所以， ， 所以，即，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，因为分别为的中点，所以， 又，所以，又平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角． 因为，．所以， 所以，即二面角的正弦值为． 6．（25-26高二上·河北·月考）如图，在三棱锥中，平面是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）多次运用余弦定理结合勾股定理可证，再结合空间垂直关系的转化可证平面平面. （2）利用等积法可求点到平面的距离； （3）取的中点为，在平面中过作，垂足为，连接，则可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可得，故可得平面与平面夹角的大小为. 【详解】（1）因为平面，而平面，故，. 故， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理得： ， 故，故，故， 而平面，故平面， 因平面，故平面平面. （2）因为平面，平面，故， 而，故， 在中，由余弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 故， 故. （3）    取的中点为，在平面中过作，垂足为，连接. 因为平面，平面，故平面平面. 由（2）可得，故且， 而平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，故为二面角的平面角. 在直角三角形中，，故， 在直角三角形中，， 而为锐角，故，故平面与平面夹角的大小为. 7.（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案. 【详解】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 8．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【详解】（1）取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. （2） 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 9．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解， （2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）由于平面平面故 因为，所以底面为直角梯形，故， 过，且与相交于， 则， 又， 故,所以, 由于平面，， 所以平面， （2）由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接, 由于平面平面故， 平面， 故平面，平面，故， 故为二面角的平面角， 所以从而. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 立体几何中线线角、线面角、二面角 考点一：异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 考点二：线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 考点三： 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 定义法求线线角 1、做出平移构造异面角的平面角 2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 4．（25-26高二上·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 定义法求线面角 1、过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、注意线面角的角度范围 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，且，，则直线与平面所成角的正切值为____________． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 5．（2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 体积法求线面角 如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 1．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州毕节·一模）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 定义法求二面角 找与棱垂直的两条线，如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。 1．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京通州·期中）如图，两个三棱锥与的公共底面是边长为2的正三角形，顶点，在底面的同侧.两个棱锥的高，为的中点，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 4．（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 5．（25-26高二上·上海·月考）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的大小. 三垂线、垂面法求二面角 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 1．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 2．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）在三棱锥中，，且点在平面上的射影位于内部，记二面角，的大小分别为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面，求证：直线； (3)当时，求二面角的大小. 4．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 5．（25-26高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 射影面积、补形法求二面角 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 1．（25-26高二上·上海·月考）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正弦值为______．    2．（25-26高二上·北京·月考）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）如图，矩形 中， 在 边上，且 ，沿 将 翻折，使点 到 ，且满足 . (1)求证:平面 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的正切值. 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 5．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 线面角与二面角综合 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 2．（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南·开学考试）如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. (1)设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面，是的中点.点在棱上，且直线与底面所成角，求二面角的余弦值. 5．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 1．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱边长为，则与底面所成角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 5．（25-26高二上·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． (2)若，求二面角的正弦值． 6．（25-26高二上·河北·月考）如图，在三棱锥中，平面是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的大小. 7.（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 9．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $