考点04 立体几何中的动点、截面问题（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点04 立体几何中的动点、截面问题 考点一：截面问题 1、球的截面 （1）平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； （2）这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 （1）正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正方形、矩形、梯形、平行四边形）、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面） （2）作截面的方法 1、三点定面法：已知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作已知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他已知点。 考点二：动点中的平行与垂直关系 1、由动点保存平行 （1）转化为“确定平面”：若要证明或找到一点使，一个有效思路是构造一个包含且与平行的平面。那么必须位于平面与已知几何体（如棱、面）的交线上。 （2）转化为“线线平行”：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点使，可尝试在平面内找一条与平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P的位置由这组平行线决定。 2、由动点保存垂直关系 （1）转化为“线面垂直”： 且 ，。这是将分散的线线垂直集中到一个平面（垂面）上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同时垂直于平面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。 （2）转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直问题。 （3）转化为“平面垂直的判定”：若要证，需在内找一条线垂直于。这有时能引导我们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。 考点三： 动点中的轨迹问题 1、根据题目中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定直线/定平面成定角等），判断轨迹形状： 到定点距离为定值 → 球面。 到两定点距离相等 → 中垂面。 到定直线距离为定值 → 圆柱侧面。 到定平面距离为定值 → 一对平行平面。 与定点连线垂直于定直线 → 过定点且垂直于定直线的平面。 与定直线/定平面成定角 → 圆锥侧面 2、轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹与几何体的交集（如球面的一部分、圆弧、线段等）。 考点四： 最值与范围问题 将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值或范围。 1、函数法：将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值或范围。 2、几何直观法（利用几何性质直接判断） 两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。 直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。 球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。 球的截面 截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；关键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 1．（25-26高二上·湖南·月考）若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球截面的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，由题可得截面圆的半径为， 因为球心到的距离为1，所以, 球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C 2．（25-26高三上·山东·月考）已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解. 【详解】根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下： 设分别为与球所截得的圆的半径，不妨设， ，球的半径为, 故，解得， 故, 故答案为：，    3．（2025高二·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 4．（2026·广东·模拟预测）已知空间四边形的各边长均为6，且，平面平面，点在边上，且，过作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合球的性质分析可得平面，平面，求出即可得球的半径，根据球的截面性质可得，结合题意分析运算. 【详解】由题意知和为等边三角形，取中点E， 连接，，则，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，同理可证：平面， 设外接球的球心为O，半径为R， 分别取、的中心、，连接， 则平面，平面， 所以，，则为平行四边形， 由题意可得：， 又因为平面，平面，所以， 故， 连接，因为，即， ，则H，O，M三点共线， 所以， 设过M作四边形外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d， 则，即， 因为， 所以当时，取到最小值，截面的面积最小为. 故选：C. 5．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【详解】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 方体的截面 对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交 2、做平行线 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，（ ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 【答案】D 【分析】根据特例可判断面积不是定值，利用几何法可判断周长为定值. 【详解】由正方体的性质可知为正三角形，且其面积为， 当平面过棱，，的中点时，且其面积 由正方体的性质可得此时截面为正六边形，且其面积为， 当与棱的交点向靠近时，截面的面积为趋近， 故截面面积是变动的，下证周长为定值，理由如下： 作平行于，则易得四边形为平行四边形， 所以，， 则，同理可得，， 所以. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高二上·河南南阳·月考）在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 【答案】 【分析】设截面交棱于点，连接、，由面面平行的性质可知，可知截面为等腰梯形，求出该梯形的高以及上、下底的长，结合梯形的面积公式求解即可. 【详解】设截面交棱于点，连接、，如图所示， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，由等角定理结合图形可得， 又因为，故为等腰直角三角形，且，， 易知，且，同理可得， 故四边形为等腰梯形，如下图所示： 在平面内分别作，，垂足分别为点、， 因为，，，故四边形为矩形，所以， 在和中，，，， 所以， 所以， 由勾股定理可得， 故截面面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解. ②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可. 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 动点中的平行与垂直 1、平行关系：利用线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系来找动点的位置 2、垂直关系：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系来找动点的位置 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是线段上的动点，则（    ）． A．存在点，使成立 B．存在点，使成立 C．不存在点，使平面平面成立 D．不存在点，使平面平面成立 【答案】C 【分析】A选项，作出辅助线，得到⊥平面，故⊥，假设成立，又和均在平面中，则，显然这是不可能的，故A错误；B选项，，当点在处时，最大，设正四面体的棱长为3，由余弦定理得，故小于，故B错误；C选项，取的中点，为二面角的平面角，由余弦定理得到，所以为锐角，C正确；D选项，由A知，当点为中点时，平面平面成立，故D错误. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为正四面体中，，所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故⊥， 假设成立，又和均在平面中，为平面的斜线， 则，显然这是不可能的，故A错误； B选项，因为是线段的中点，，所以， 当点在处时，最大， 设正四面体的棱长为3，则， 由余弦定理得， 同理可得， 故， 故小于，所以不存在点，使成立，故B错误； C选项，取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 故为二面角的平面角， 其中，故， 所以为锐角， 经过与平面垂直的平面有且只有一个，且与线段无公共点，故C正确； D选项，由A知，当点为中点时，⊥平面， 又平面，故平面平面成立，故D错误. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形. 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（   ） A． B． C．与异面 D．平面 【答案】AD 【分析】由线面垂直的定义可知A正确；由平行直线和异面直线的定义可判断B，C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】如图: 由于平面，平面，则，所以A正确； 当，分别是线段，的中点时，. 又，所以四边形为平行四边形，所以，则，所以C不正确； 当，不是线段，的中点时，与异面，所以B不正确； 由于平面平面，平面，所以平面，所以D正确． 故选：AD. 4．（多选）（25-26高三上·江西宜春·期末）已知在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，则（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的体积有最小值 D．三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BD 【分析】由平面，又平面与平面相交即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，设，，则，利用基本不等式和三棱锥的体积公式即可判断C，设三棱锥的外接球的半径为，求出，利用球的表面积公式即可判断D. 【详解】如图，在正方体中，因为，，， 所以平面，又平面与平面相交，所以平面错误，故A错误； 由E，F分别是棱，上的动点，平面，平面平面， 所以平面，故B正确； 设，，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以，故C错误； 设三棱锥的外接球的半径为，则，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：BD. 5．（多选）（25-26高三上·福建福州·月考）在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于AB：根据平行关系可证平面平面，平面平面，进而可得线面平行；对于C：根据线面平行可知点到平面的距离为定值，进而分析体积即可；对于D：利用等体积法可得点到平面的距离，进而可得线面角. 【详解】对于选项A：在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 同理可证， 因为平面，平面，则平面， 因为平面，平面，则平面， 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A错误； 对于选项B：由选项A可知：， 且平面，平面，则平面， 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面，则平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：因为平面，且点在线段上运动， 可知点到平面的距离为定值， 且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，故C正确； 对于选项D：不妨设正方体的边长为2， 因为是边长为的等边三角形，则， 设点到平面的距离为， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点与点重合时，取最小值，此时取最大值； 当点与点重合时，取最大值，此时取最小值； 且正弦值具有连续性，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 轨迹问题 分析动点满足的几何条件，联想基本轨迹模型，再与给定几何体取交线，得出最终轨迹图形。 1．（24-25高二上·山西太原·月考）如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得平面，过点作平面，使平面平面，即可知点的轨迹为平面与平面的交线，即为. 【详解】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，在长方体中，，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且，点M的轨迹形成的封闭图形为，则（   ） A．点M的轨迹长度为 B．与所在平面所成角的正弦值为 C．Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D．若与所在的平面交于点E，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取的中点，证明平面，即可确定点M的轨迹形成的封闭图形即为，求出的周长即可判断；对于B，先求出点到所在平面的距离，则与所在平面所成的角的正弦值根据计算即可判断；对于C，先求出三棱锥及长方体的体积，再求出除去三棱锥剩余部分的体积，即可求出大小两部分体积的比值，即可判断；对于D，先确定点E的位置，再通过两次三角形相似即可求出的值，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示，取的中点，连接， 连接与交于点. 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 由已知平面为正方形，则，，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 因为，所以平面， 所以点M的轨迹形成的封闭图形即为， 因为，所以点M的轨迹长度为，故A正确； 对于B，设点到所在平面的距离为， 可知，等腰的面积为， 则由可得，解得. 又， 设与所在平面所成的角为，则， 所以与所在平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，因为三棱锥的体积 ， 而长方体的体积， 所以除去三棱锥剩余部分的体积为， 所以所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为，故C错误； 对于D，连接与交于点，则为平面与平面的交线， 则点即为与所在的平面交点， 由，可知，即， 由，可知，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 【答案】 【分析】根据可知点轨迹是以为直径的球与四边形（包括边界）的交线，求出在四边形内的圆的半径即可得出结果. 【详解】以为直径作球，球半径， 与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线. 易知在平面上的投影为菱形的外心， 且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心， 记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧， 由题意可知 如图所示，设该圆弧交于点，所以四点共圆， 而，所以， 所以三点共线，即也是半径为的圆的直径， 故所求为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 5．（多选）（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（    ） A．直三棱柱一定有外接球 B．当直三棱柱有内切球时， C．当时，平面与平面所成角的正切值为 D．当时，若，则点在直三棱柱表面上的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，由直三棱柱的上下底面是全等的三角形，且侧棱垂直底面，可将直三棱柱补成长方体，根据长方体外接球的性质判断直三棱柱是否有外接球. 对于选项B，由直三棱柱有内切球时，内切球的直径等于直三棱柱的高，同时等于底面三角形的内切圆直径与侧棱的关系，则先求底面等腰直角三角形的内切圆半径，再结合内切球性质推导侧棱长度. 对于选项C，由求两个平面所成角，可通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量夹角与二面角的关系求解；或找到二面角的平面角，结合边长计算正切值. 对于选项D，由点M满足到A点的距离为定值，可先确定点M在直三棱柱表面的轨迹是几段圆弧，再分别计算各段圆弧的半径和圆心角，最后求和得到轨迹长度. 【详解】若取点为的中点，为的中点，连接，则的中点为直三棱柱外接球的球心，故A正确； 当直三棱柱有内切球时，此时内切球的半径一定是， 所以此时，故B错误； 当时，连接，因为，所以， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，过点作，连接， 所以为平面与平面所成角，， 所以，故C正确； 因为，所以点的轨迹为球，该球与直三棱柱表面的交线如下图所示， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 路径最值问题 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化立体图形为平面图形，然后利用将军饮马求最短路径。 1．（24-25高一下·吉林·期末）已知正方体的棱长为3，点M，N分别为线段，上的动点，点T在平面内，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】作出A点关于的对称点E，M关于的对称点为，可得，再把异面直线间距离转化为点到平面的距离，利用棱锥的体积求解. 【详解】如图，作A点关于的对称点为E，M关于的对称点为， 记d为直线与之间的距离，则， 由，可得平面，则d为E到平面的距离， 因为， 而，故． 故选：A. 2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正方体的棱长为2，平面和平面与体对角线分别交于点，，下列说法正确的有（    ） A．平面和平面都垂直 B．，是线段的三等分点 C．异面直线与所成的角为 D．为中点，动点，则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A的真假；利用体积法求的长度可判断B的真假；作出异面直线所成的角，求角的大小，可判断C的真假；将空间问题转化为平面问题，利用两点之间线段最短，可判断D的真假. 【详解】对A：如图，    连接，因为底面为正方形，所以， 因为为正方体，所以平面，平面，所以， 又平面，，所以平面. 又平面，所以， 同理可得. 因为平面，，所以平面. 同理，平面，故A正确； 对B：由A选项可知，平面， 由， 又，， 所以. 又，所以，所以为的三等分点. 同理也是的三等分点.故B正确； 对C：因为，所以为异面直线与所成的角. 因为为等边三角形，所以，所以C错误； 对D：如图，    将平面展开，与平面在同一平面上， 则当点三点共线时，的值最小，为，故D正确. 故选：ABD 3．（2025·广东广州·一模）已知三棱锥的体积为，高为，其底面是正三角形，且，，点P，Q，R分别为，，三边上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥体积公式求出底面三角形的边长，再确定棱锥的高的位置，建立空间直角坐标系，根据点到线的距离公式求出最小值. 【详解】由题可知，所以， 设正三角形的边长为，则，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 假设为三棱锥的高，则，，所以 因为，，满足， 所以是三棱锥的高， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为在上，设， 因为Q在上，设， 因为在上，设， 所以到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以， 故选：D 4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____.    【答案】5 【分析】将平面绕旋转至处，如图所示，分析可得当共线时，有最小值，代入计算，即可得答案. 【详解】将平面绕旋转至处，使平面与平面共面，如图所示，    则， 因为M为上的一个动点， 所以， 当共线时取等号，即的最小值为5. 故答案为：5 5．（2026·广东佛山·一模）在棱长为2的正方体中，点为侧面内一点（包含边界），则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为5 C．若，则的轨迹长度为 D．三棱锥外接球的体积存在最大值与最小值 【答案】ACD 【分析】根据等体积法求解体积判断A；取点关于平面的对称点后连接，利用三点共线求解即可判断B；找到过点且与垂直的平面与侧面的交线，再计算交线长度即可得C；根据三棱锥外接球的特征分析计算判断D. 【详解】A，依题意点到平面的距离为棱长2，则的面积为， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； B，如图作点关于平面的对称点，连接，则， 故， 当且仅当、、三点共线时等号成立，故B错误； C，易得，因平面，平面，则， 又，平面，则平面，因平面，则， 同理，又平面，故平面， 因为，所以平面，又平面侧面， 所以的轨迹为线段，其长度为，故C正确； D，如图取的中点，因为为直角三角形， 所以为外接圆的圆心，设外接球的球心为，半径为R， 由外接球的性质，得平面， 连接， 则， 以为原点，，，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，设，，且， 则，整理得， 因为点为侧面内一点（包含边界）， 当点和侧面的顶点重合时，有最小值， 即有最大值， 故三棱锥外接球的体积的最大值为， 设正方形中心为，则 当点和点重合时，有最大值， 即有最小值， 故三棱锥外接球的体积的最小值为，故D正确. 故选：ACD 1．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 【答案】/ 【分析】根据外接球性质确定球心及半径，再结合等体积法得到球心到面，进而得到截面半径即可求解． 【详解】设中点为， ，， ，， 即， ，则， ， 又平面，平面， ，则， ，即， 三棱锥中均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，解得， 截面半径，面积为． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 【答案】BCD 【分析】对A，由题易得，运算得解；对B，由题可得点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，运算得解；对C，由题易证平面，可得点的轨迹图形是，求解判断；对D，由C，可确定点的轨迹得解. 【详解】对于A，如图，点在上，则，所以， 解得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以直线与夹角为， 所以射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在底面内时，， 点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故B正确； 对于C，如图，连接， 由平面，平面，则，又， ，平面，故平面， 平面，所以， 同理，可得，而，平面， 所以平面，因为，所以平面，又是正方体面上的动点， 所以点的轨迹图形是，易知是正三角形，边长为， 所以点的轨迹图形的面积为，故C正确； 对于D，由C可知，平面，又点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．过点A，B，Q的截面是一个直角梯形 B．若P在上，则 C．若P在上，则存在某个P点，使得 D．若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为 【答案】BCD 【分析】取中点，连接，证明四边形为平行四边形可判断A；连接，由线面垂直可判断B；当点与点重合时可判断C；由三棱锥的体积公式求出到面的距离，再结合空间对称性可得D. 【详解】    对于A，取中点，连接， 因为Q为棱的中点，由正方体的性质可得且， 所以四边形为平行四边形，即过点A，B，Q的截面是一个平行四边形，故A错误；    对于B，连接，由正方形对角线的性质可得， 又侧面，面，所以， 即平面，所以平面， 因为平面，所以 ， 连接，同理可证明， 所以平面，所以平面， 即P在上，则，故B正确； 对于C，当点与点重合时，由正方体的性质可得侧面， 又面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，， 设到面的距离为，由棱锥的体积公式可得， 即到面的距离为， 设到平面的距离为， 则由等体积法可得，即， 所以P点轨迹为与平面平行的两个正三角形，其中一个为过中点的正三角形， 又正方体的体对角线长为，由空间对称性可知另一个为中点的正六边形，， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 6．（25-26高三上·山东烟台·期末）如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．当点在线段上时， B．当点在线段上时，平面 C．当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D．当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据正方体中线面的位置关系，可判断AB的真假；当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体外接球的表面积可判断C的真假；先明确点轨迹是一段弧，再结合弧长公式求弧长可判断D的真假. 【详解】如图：    连接，则， 又为正方体，所以平面， 平面，所以， 因为平面，且，所以平面. 平面，所以. 同理可得，平面，， 所以平面. 同理可得：平面，所以平面平面. 对A：当点在线段上时，平面， 又平面，所以，故A正确； 对B：当点在线段上时，平面， 又平面平面，所以平面，故B正确； 对C：当点与点（或）重合时， 三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设半径为，则. 此时三棱锥的外接球的表面积为：，故C错误； 对D：当点在面上时，如图：    设，则，由， 所以点轨迹是平面中，以为圆心，以为半径的圆弧， 与的交点，，与的交点，. 所以. 由余弦定理，，所以. 所以点轨迹的长度为：，故D正确. 故选：ABD 7．（25-26高三上·广东珠海·月考）如图，点P在棱长为1的正方体的面对角线上运动（P点异于B，点），则下列结论正确的是（   ） A．异面直线BD与所成角为 B． C．若P是中点，三棱锥外接球体积为 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】找到异面直线BD与所成角，并求解，可判断A；通过证明平面，可证得，判断B；求得三棱锥外接球体积，可判断C；将和沿展开到同一平面，根据两点之间线段距离最短可求得的最小值，判断D. 【详解】 对于A，因为平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以∥. 所以为异面直线与所成角. 易知，，所以，即异面直线与所成角为.所以A正确. 对于B，正方形中，. 由平面，且平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 同理可证. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以.所以B正确. 对于C，P是中点，则是等腰直角三角形，其中是直角.所以外接圆的圆心在的中点，且半径为. 因为平面，所以三棱锥外接球的半径等于，所以其体积为，所以C正确. 对于D，如下图所示，将和沿展开到同一平面，根据两点之间线段距离最短可求得的最小值为展开图中的. 中，， 所以. 所以的最小值是.所以D错误. 故选：ABC. 8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（    ） A．异面直线与所成的角为45°； B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为； C．若点为棱上的动点，则的最小值为； D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. 【答案】BD 【分析】利用正八面体的性质，找出异面直线与所成的角，即可求得其大小，判断A；分别求出八面体的外接球与内切球的半径，即可判断B；将沿折叠至平面中，结合平面图形性质，即可求得的最小值，判断C；求出三角形的内切圆半径，确定当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合正八面体的对称性，即可求得动点的轨迹长度，判断D. 【详解】对于A：连接，取中点，连接、， 由题意可得在正八面体中，、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 结合正八面体每个面都是正三角形，即得异面直线与所成的角等于，故A错误； 对于B：由四边形为正方形，有， 即，故四边形亦为正方形，即得， 即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，即 化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故B正确； 对于C：将沿折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故C错误. 对于D，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由B可知，点到平面的距离为，而， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD. 9．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（   ） A．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 B．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 C．若为侧面的中心，则过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】由平面，结合三棱锥的体积公式判断A；确定动点的轨迹并求出长度判断B；确定符合条件的截面并求出面积判断C；确定符合条件的点的轨迹，再求出长度的最小值判断D. 【详解】对于A，若为上一点，由、平面、平面， 得平面，则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，动点在正方形、正方形、正方形内， 其轨迹是以点为圆心，2为半径的圆弧， 因此动点的轨迹长度是，B错误； 对于C，若为的中心，即的中点，取的中点， 连接，则， 由平面得，则， 又平面， 于是平面，，取中点，连接，同理， 因此平面，过与垂直的平面截正方体所得截面为， ，则的面积为，C正确； 对于D，在正方体中，平面平面， 由点满足平面，则点在平面上， 又点在正方体的内切球表面上， 则点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为，半径为， 因此的最小值为，D正确. 故选：ACD 10．（25-26高二上·四川宜宾·期末）在三棱锥中，，平面ABC，且，点M为内的一个动点（包含边界），直线AM与平面PBC所成角为，则（    ） A．PM的最小值为 B．PM的最大值为 C．有且仅有一个点M，使得 D．所有满足条件的线段AM组成的曲面面积为 【答案】ACD 【分析】确定A在平面的投影H，根据线面夹角的定义确定点M轨迹，由数形结合及圆中最值可判定A、B、C选项，利用圆锥的侧面积公式结合图形计算即可判定D选项. 【详解】由题意可知：， 取的中点D，连接，设点A在平面的投影H， 因为，则，可知H为等边的外心， 因为，则， 又因为直线AM与平面PBC所成角为，则， 所以点M的轨迹是以H为圆心，为半径的圆在内部的一部分，如图所示， 对于选项A：当且仅当点在线段上时，PM取到最小值为，故A正确； 对于选项B：当且仅当点在的延长线上时，PM的最大值为， 但此时点在外部，所以PM的最大值不等于，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当点在线段上时，， 所以有且仅有一个点M满足题意，故C正确； 对于选项D：动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分， 因为，则，即， 可知曲面面积为圆锥侧面的，且圆锥的母线长， 所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故D正确. 故选：ACD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点04」 立体几何中的动点、截面问题 1、球的截面 截面问题 2、正方体的截面 1、由动点保存平行 动点中的平行与垂直关系 立体几何中的动点、截面问题 2、由动点保存垂直关系 动点中的轨迹问题 最值与范围问题 考点查缺 精准补渴 考点一：截面问题 1、球的截面 0. (1)平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连 线垂直于截面； (2)这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距 离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 (1)正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正 方形、矩形、梯形、平行四边形)、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面 积最大的截面) 三角形 四边形 五边形 六边形 (2)作截面的方法 1、三点定面法：己知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作已知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他己知点。 考点二：动点中的平行与垂直关系 1、由动点保存平行 (1)转化为“确定平面”：若要证明或找到一点P使AP//平面a,一个有效思路是构造一个包含AP 且与平行的平面B。那么P必须位于平面B与已知几何体（如棱、面）的交线上。 (2)转化为“线线平行”：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点P使 AP//平面α，可尝试在平面内找一条与AP平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P的 位置由这组平行线决定。 2、由动点保存垂直关系 (1)转化为“线面垂直”：a1b且a1c,bnc=0→aL平面(b,C)。这是将分散的线线 垂直集中到一个平面（垂面)上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同时垂直于平 面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。 (2)转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜 线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直问题。 (3)转化为“平面垂直的判定”：若要证平面α1平面B,需在内找一条线垂直于阝。这有时能引导我 们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。 考点三：动点中的轨迹问题 1、根据题目中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定直线/定平面成 定角等)，判断轨迹形状： 到定点距离为定值→球面。 到两定点距离相等→中垂面。 到定直线距离为定值一→圆柱侧面。 到定平面距离为定值→一对平行平面。 与定点连线垂直于定直线→过定点且垂直于定直线的平面 与定直线/定平面成定角一圆锥侧面 2、轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹与几何体的交集（如 球面的一部分、圆弧、线段等)。 考点四：最值与范围问题 将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值 或范围。 1、函数法：将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 法求其最值或范围。 2、几何直观法（利用几何性质直接判断） 两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。 直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。 球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。 题型突破 暖法镂凉 1 球的截面 点方法 截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；关 键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 1.(25-26高二上湖南·月考)若平面u截球0所得截面圆的直径为2，球心0到α的距离为1，则球0的表 面积为() A.2π B. 8π C.8π D.&v2π 2.(25-26高三上山东·月考)已知平面α∩平面B=1,球O与直线1相切于点A,平面a与平面B分别截 球0所得截面题的学径为1,5，若二面角：-1一-B的大小为石，则球0的半径为 3.(2025高二·全国·专题练习)半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2, 64πcm2,则这两个平行平面的距离为()cm A.2 B.14 C.2或14 D.6或8 4.(2026广东模拟预测)已知空间四边形ABCD的各边长均为6，且BD=6,平面ABD⊥平面CBD,点 M在边AC上，且AM=2MC,过M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为() A.6 B.6N2π C.12π D.12V2元 5.(2025云南曲靖一模)己知正三棱锥P-ABC的所有顶点都在球0的球面上，PA=4√3，AB=6,过 棱AB作球O的截面，则所得截面面积的取值范围是() A.[9π，12π B.9π，16π C.[12π，16π D.[12元，36π 2方体的截面 点方法 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交2、做平行线 1.(2026高三·全国专题练习)如图，在单位正方体ABCD-A,B,C,D,中，任作平面与对角线AC,垂直， 使平面a与正方体六条棱都有公共点，记截面PORSWE的面积为S,截面周长为L,() D B W A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L不为定值 D.S不为定值，L为定值 2.（25-26高一下·全国课后作业)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.在 棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为AB的中点，F为CC,的中点，过D,E,F三点的截面图形的周 长为() A25+2+9 B.15+43+95) 12 C. 5+2iB+65 D. 5+4+6 3.(2025湖南永州模拟预测)在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=6,BC=4,E,F分别是棱AB,BC的中点， 点P满足CP=1CC(0<1<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A,B,C,D,所得的截面为五边形，则实数 λ的取值范围是() A司 B D 4.(25-26高二上·河南南阳·月考)在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为线段CC,上靠近C的三等 分点，过点A、M、D的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为 5.(24-25高一下·贵州黔南·期末)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图， 三棱柱ABC-A,B,C,为一“堑堵”，P是BB,的中点，AA=AC=BC=4,则该“堑堵”的外接球的表面积为 ;在过点P且与直线AC,平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B P B 3动点中的平行与垂直 点方法 1、平行关系：利用线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系来找动点的位置 2、 垂直关系：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系来找动点的位置 1.(2025高二全国专题练习》如图，在正四面体A8CD中，E,F分别是线段4C的三等分点，P是线段 AB的中点，G是线段BD上的动点，则(). B A.存在点G,使PG⊥EF成立 B.存在点G,使FG⊥EP成立 C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立 D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立 2.(多选)(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为线段A,B上的动点（不包含 端点)，则() A.存在点P,使得平面PD,A,⊥平面PAA B.不存在点P,使得平面APD,∥平面BDC C.存在点P,使得直线PD与AC所成角为写 D.平面APD截正方体所得的截面可能是等腰三角形 3.(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是线段A,B,B,C上 与端点不重合的动点，A,E=BF,有下面四个结论，其中正确的是() 5/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.EF⊥AA B.EF∥AC C.EF与AC异面 D.EFI平面ABCD 4.(多选)(25-26高三上江西宜春·期末)己知在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是棱 BC,CD上的动点，且EF=1,则() A.AC,⊥平面CEF B.EF/I平面ABCD C.三棱锥C-C,EF的体积有最小值2 D.三棱锥C-C,EF的外接球的表面积是2π 5.(多选)(25-26高三上·福建福州·月考)在正方体ABCD-A,B,CD,中，点P在线段BC,上运动，则下列 判断中正确的是() A.A,P⊥平面ACD B.DP/平面ABD C.三棱锥P-AB,D,的体积不变 D.直线D,P与平面ACD所成角的正弦值的取值范围是 3’3 4 轨迹问题 点方法 分析动点满足的几何条件，联想基本轨迹模型，再与给定几何体取交线，得出最终轨迹图形。 1.(24-25高二上山西太原·月考)如图正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F分别是棱AA,AD中 点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线DP与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 () D A B A.√2 B.√5 C.2 D.5 2.(多选)(24-25高一下·辽宁沈阳·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中， AB=V2BC=V2CC,=2V2,动点M在长方体的表面上运动（含边界），且BD,⊥MC,点M的轨迹形成的 6/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 封闭图形为2，则() D C B A D B A.点M的轨迹长度为2√6+2√2 B.A8与Ω所在平面所成角的正弦值为 6 C.2所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为12：1 BE 1 D.若BD与2所在的平面交于点E,则 ED 3 3.(24-25高一下·广东广州期末)如图，八面体2的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B,C,D, E,在同一个平面内，若点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，当MA⊥ME时，则点M的轨迹的长度 为 B D 4.(25-26高一上·湖南邵阳·期末)己知正三棱台ABC-A,B,C,的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2， 点M在侧面BCC,B,内运动（包含边界），且直线AM与平面BCC,B,所成角的正切值为√6，则动点M的轨 迹长度为 5.(多选)(25-26高三下·河北雄安·开学考试)已知直三棱柱ABC-A,B,C中，底面ABC为等腰直角三角形， AB=BC=2,则下列说法正确的是() A.直三棱柱ABC-A,B,C,一定有外接球 B.当直三棱柱ABC-A,B,C,有内切球时，AA,=4 C.当AA=2V2时，平面ABC与平面AA,CC所成角的正切值为√2 D.当AM=25时，若AM=45,则点M在直三棱柱ABC-4BC,表面上的轨迹长度为145 3 π 5 路径最值问题 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点方法 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化立体图形为平面图形，然后利用将军饮马求最短路径。 1.(24-25高一下·吉林期末)已知正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为3，点M,N分别为线段AB',AC上 的动点，点T在平面BCC'B'内，则MT+NT的最小值是(). A.2V5 B.25 C.v6 2 D.1 3 2.(多选)(25-26高一上江苏南通·期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，平面ACB,和平面 C1DA与体对角线BD,分别交于点E,F,下列说法正确的有() A.平面ACB,和平面C1DA都垂直BD B.E,F是线段BD的三等分点 C.异面直线4C与AD所成的角为号 D.N为B,C中点，动点M∈B,B,则AM+NM最小值为√13 3.(2025广东广州一模)己知三棱锥S-ABC的体积为√5，高为√15，其底面ABC是正三角形，且 SA=SC,SB=3V2,点P,Q,R分别为SA,SB,BC三边上的动点，则PQ+)QR的最小值为() A.2 B.15 c.3w6 D.35 4 4.(25-26高三上·云南曲靖月考)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,AA=3,M为AA,上的一个动点， 则BM+C,M的最小值为 B B 5.(2026广东佛山一模)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，点M为侧面ADDA,内一点（包含边界）， 则() A.三棱锥B-MCB,的体积为定值 B.B,M+MC的最小值为5 C.若B,D⊥CM,则M的轨迹长度为2√2 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.三棱锥M-BCB,外接球的体积存在最大值与最小值 融汇贯通 徒力是化 1.(2025山东一模)在正三棱柱ABC-AB,C,中，AB=AA=2,E为AB,的中点，若三棱锥E-BCC的 四个顶点均在球O上，过BB,作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值为() 1 A. B.刀 D.2π 2.(2026黑龙江哈尔滨一模)平行六面体ABCD-A,B,CD所有棱长都相等，AB=2,点A在底面ABCD的 射影为BD中点，且直线AA,与底面ABCD夹角为45°，则三棱锥A-A,BD的外接球被平面BCC,B,截得的截 面面积为 3.(24-25高一下.安徽合肥·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，M为BC的中点，P为 线段BD,上动点（包括端点），则下列说法中正确的是() D M A B D A.存在P点使得MP∥平面ADB B.直线BM与平面BDD,B所成角正弦值为 10 C.AP+MP的最小值为√7+2√3 D.若点Q在正方体ABCD-A,B,C,D,表面上运动（包含边界），且MQ⊥A,C,则点Q的轨迹长度为6√2 4.(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D,AB=a,且直线AP与直线CC,夹角为P, 则下列说法正确的是() A.若点P在棱CC上，且tano=22,则PC,=a B.若p=元，且点P在面4BC,D,上，则点P的轨迹长度为V5am 6 6 C.P是ABCD-ABCD,面上的动点，DP14C,则P的轨迹图形面积是5。 2 D.点P为截面AC,B上的动点，DP⊥A,C,则点P的轨迹长度是√2a 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25高一下·江西南昌·期末)已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱CC,的中点，则下 列说法中正确的是() D C A B A.过点A,B,Q的截面是一个直角梯形 B.若P在AB,上，则PD⊥AC C.若P在DB上，则存在某个P点，使得PC⊥B,C D.若三棱锥A-B,DP的体积为18，则P点轨迹的长度为27√2 6.(25-26高三上山东烟台，期末)如图，已知点P是棱长为√5的正方体ABCD-A,B,C,D,表面上一动点， 则下列结论正确的有() A B C A D B A.当点P在线段BD上时，A,C⊥AP B.当点P在线段BD上时，AP/平面BDC C.当点P在面CDD,C,上时，三棱锥P-ABD,外接球的表面积的最大值为6m D.当点P在面CDDG上时，若PB+PC=2+,则点P的轨迹长度为写 7.(25-26高三上广东珠海·月考)如图，点P在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,的面对角线BC上运动 (P点异于B,C点)，则下列结论正确的是() 10/12