6.3.1 平面向量基本定理 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

S6.3.1平面向量基本定理 1.设e、e,是同一平面内的两个向量，则有() A.e、e一定平行 B.e、e,的模相等 C.同一平面内的任一向量a,都有a=e+μe(2,μ∈R) D.若e、e,不共线，则同一平面内的任一向量a,都有a=e十ue(,μ∈R) 2.(多选)设e,e,是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是() A.e-e,和e2-e B.3e-4e,和6e-8e, C.e+2e,和2e,+e D.e和e+e2 3.设D为ABC所在平面内一点，BC=3CD,则(） B.而-c c而-+c 。.而-等-c 4.设P,A,B在一条直线上，0在该直线外，已知OP=2xOA+(7-5x)OB,则x等于 5.设e,e,是平面内一组基向量，且a=e+2e2,b=-e+e?,则向量e+e,可以表示为以a,b为 基向量的线性组合，即e+e,= 6.己知a与五不共线，且向量2ā-λb与1ā-36不能作为平面向量的一组基底，则实数的值 为一 7如图，在梯形A8CD中，DC=3B,BC=3BE,连接4C交DE于点F,则DF DE D 8.如图，在ABC中，P为AC的中点，AB=4AF,Q为BC上一点，且满足CB=4CQ, POOCF=E.若CE=CA+μCB,则1+4= A 9.己知点O是ABC的外心，直线A0与线段BC交于点D.若BD=1,CD=2,AC=3,则 AB= 10.如图，在ABC中，点O在BC上，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、 N,设AB=a,AC=b. B M (1)若0是BC上靠近C的三等分点，用a和五表示AO; 2若0是BC中点，设M=ma,A=b,求上+上的值. m n 2 11.如图所示，在ABC中，A0=QC,AR=,AB,BQ与CR相交于点，Ⅱ的延长线与边 BC交于点P. R (1)用AB和AC分别表示BQ和CR: (2)如果A=AB+1BQ=AC+μCR,求实数1和μ的值； 3)在(2)的条件下，确定点P在边BC上的位置. 3 12.如图，在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知bC=8,∠BAC= 2π 3 AD=3DB,P为CD上一点，且满足AP=mAC+AB A D B (1)求m的值； (2)求AP的最小值 §6.3.1 平面向量基本定理 1. 设、是同一平面内的两个向量，则有（    ） A．、一定平行 B．、的模相等 C．同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则同一平面内的任一向量，都有 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用 【详解】由平面向量基本定理可知，选项D正确． 对于任意向量、，选项A、B不正确， 而只有当与为不共线向量时，选项C才正确． 故选：D 2. （多选）设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【难度】0.82 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据基底向量的定义逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以与共线，不能作为基，故A正确； 因为，所以和共线，不能作为基，故B正确； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故C错误； 设存在实数使得，则，无解， 所以和不共线，能作为基，故D错误； 故选：AB 3. 设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.79 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量减法的法则 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】由得， 即，所以． 故选：A 4. 设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于___________． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由三点共线可得两个向量共线，再结合平面向量基本定理可得. 【详解】因为共线，所以，， 因为向量不共线，且， 所以，解得. 故答案为：2 5. 设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】设出以为基向量的线性组合，将代入后列方程组求解即可. 【详解】设， ∵， ∴. ∵与不共线， ∴，解得， ∴. 6. 已知与不共线，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则实数λ的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面的基底概念可得与共线，再利用向量共线的充要条件即可求得λ的值. 【详解】因为向量与不能作为平面向量的一组基底， 所以与共线． 则存在实数k，使得， 又因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为． 7. 如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】设，可得，，可得，利用向量相等关系求解即可. 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 8. 如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 【答案】/0.4 【难度】0.4 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 9. 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】向量在几何中的其他应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】易知，所以为等腰三角形，所以连接，延长交于点，则为的中点. 根据三点共线，及三点共线，求得.设，结合勾股定理列出相应的方程，求解得的值，进而得到的值. 【详解】因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点. 由题可知，，所以，所以. 因为，所以.所以为等腰三角形. 连接，延长交于点，则为的中点. 设，则. 由，得； 所以； 由，， 得. 所以，解得. 设，则，，所以，. 由，得，所以，所以. 所以. 10. 如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 11. 如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 【答案】(1)，． (2). (3)P为线段上靠近点C的三等分点． 【难度】0.54 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）利用向量减法的三角形法则求解； （2）根据已知 将用进行表示，的方程组计算得到的值； （3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点． 【详解】（1），． （2）由（1）知，， ， ， ，不共线，， 解得. （3）设，． 由（2）知，， ． 又， ， ，不共线，， 解得. ，即． ∴点P为线段上靠近点C的三等分点． 12. 如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $