6.3.1 平面向量基本定理 讲义 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.3.1 平面向量基本定理 目录 题型1：基底的概念及辨析 2 题型2：用基底表示向量 5 题型3：利用平面向量基本定理求参数 8 题型4：平面向量基本定理的应用 14 1. 平面向量基本定理 (1) 定理：如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 (2) 基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。 提醒 (1)基底，必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2. 平面向量基本定理的推论 设是平面内的一组基底， 推论1：若，则． 推论2：若，则． 题型1：基底的概念及辨析 【例1.1.】 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据基底中的向量不共线，即可判断各项是否能作为基底. 【详解】A：，显然共线，无法作为基底； B：，显然共线，无法作为基底； C：中含有零向量，显然共线，无法作为基底； D：令，则，显然无解，说明向量组不共线，可作为基底． 故选：D 【例1.2.】 如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 【例1.3.】 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据基底的概念确定正确答案. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底. 其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底. 故选：C 【例1.4.】 （多选）已知e1，e2是平面内的一组基底，则下列说法正确的是（　　） A．若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 B．平面内任意一个向量a都可以表示成a＝me1＋ne2，其中m，n为实数 C．对于m，n∈R，me1＋ne2不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a＝me1＋ne2 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用 【详解】解析：根据基底的定义知AB正确；C项，对于m，n∈R，me1＋ne2在该平面内，故C错误；D项，m，n是唯一的，故D错误．故选AB. 【例1.5.】 设是两个不共线的非零向量，且． (1)证明：可以作为一个基底； (2)以为基底，求向量的分解式． 【答案】(1)证明见解析 ； (2)． 【难度】0.65 【知识点】基底的概念及辨析、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）利用反证法，先假设共线，推出矛盾，由此证得不共线，即可以作为一个基底. （2）利用向量线性运算求得向量的分解式. 【详解】（1）假设共线，则， 则． 由不共线，得，即， 此时λ不存在，故假设错误，则不共线， 即可以作为一个基底． （2）设， 则， 所以，解得， 故． 题型2：用基底表示向量 方法提炼 应用平面向量基本定理表示向量的策略 (1) 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来； (2) 强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等. 【例2.1.】 如图所示，，，M为AB的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】根据给定条件，利用向量的加法列式作答. 【详解】，，M为AB的中点， 所以. 故选：B 【例2.2.】 在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 【例2.3.】 如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 【例2.4.】 在▱ABCD中，,,,M为BC的中点，则(用表示)为________. 【答案】 【难度】0.84 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平行四边形的性质和题设条件，利用向量的线性运算即可将用表示. 【详解】法一：　如图所示，在中，设交于点，则平分和， 因，则，即为的中点， 又为的中点，则， 于是，. 法二： . 故答案为：. 【例2.5.】 如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 题型3：利用平面向量基本定理求参数 方法提炼 将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求 解． 【例3.1.】 已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【例3.2.】 在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 【例3.3.】 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】首先把向量用表示出来，再根据平面向量基本定理可得到的值，即得答案. 【详解】由题意，设 ，， 取 中点 ，则 ， 重心 在中线 上，且 ， 故， 为 边上靠近 的四等分点， 即 ，而 ， 所以， 由，得： 因此： 故答案为： 【例3.4.】 如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 【例3.5.】 如图，在中，，，与相交于点P，若，则________，________． 【答案】 【难度】0.59 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 【例3.6.】 在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，，则，，根据A，P，M和B，P，N分别共线，可知存在实数使得，，根据，解出即可. 【详解】设，， 则， 因为，，和，，分别共线， 则存在实数使得，． 可得． 又因为， 由平面向量基本定理得，解得， 则，． 所以，． 故答案为：；. 【例3.7.】 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【难度】0.62 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 题型4：平面向量基本定理的应用 【例4.1.】 （多选）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 【例4.2.】 点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示 【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，进而即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以是的重心， 又， 所以垂直平分，所以为等腰三角形. 故选：A 【例4.3.】 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 【例4.4.】 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 【例4.5.】 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 【例4.6.】 如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】利用向量法，结合向量的线性运算和三点共线的性质，即可求解. 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 【例4.7.】 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【难度】0.48 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模、平面向量共线定理的推论 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 【例4.8.】 在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用 【分析】根据题干信息得到，，对进行化简求值，再根据，即可得到答案. 【详解】因为点为的中点，所以， 又， 则， 又，则. 故选：B. 【例4.9.】 在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【答案】D 【难度】0.52 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、用向量解决线段的长度问题、利用平面向量基本定理求参数 【分析】方法一：设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到 ，然后计算得解； 方法二：设λ，得到λλ，利用三点共线性质计算即可 【详解】方法一　设， 则， ， 因为点A，P，M和点B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ，使，， 所以， 又， 所以解得 所以， 所以AP. 方法二　设λ，λ∈R， 因为M是BC的中点，AN＝2NC， 则， λλλ， 又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ，所以APAM＝4.4. 【例4.10.】 如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 【例4.11.】 已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 【例4.12.】 在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比. 【详解】由D为上一点，则，则 ， 当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值. 则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点， 则，则. 故选：B ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.3.1 平面向量基本定理 目录 题型1：基底的概念及辨析 2 题型2：用基底表示向量 3 题型3：利用平面向量基本定理求参数 4 题型4：平面向量基本定理的应用 6 1. 平面向量基本定理 (1) 定理：如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 (2) 基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。 提醒 (1)基底，必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2. 平面向量基本定理的推论 设是平面内的一组基底， 推论1：若，则． 推论2：若，则． 题型1：基底的概念及辨析 【例1.1.】 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【例1.3.】 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例1.4.】 （多选）已知e1，e2是平面内的一组基底，则下列说法正确的是（　　） A．若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 B．平面内任意一个向量a都可以表示成a＝me1＋ne2，其中m，n为实数 C．对于m，n∈R，me1＋ne2不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a＝me1＋ne2 【例1.5.】 设是两个不共线的非零向量，且． (1)证明：可以作为一个基底； (2)以为基底，求向量的分解式． 题型2：用基底表示向量 方法提炼 应用平面向量基本定理表示向量的策略 (1) 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来； (2) 强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等. 【例2.1.】 如图所示，，，M为AB的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 【例2.2.】 在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 在▱ABCD中，,,,M为BC的中点，则(用表示)为________. 【例2.5.】 如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 题型3：利用平面向量基本定理求参数 方法提炼 将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求 解． 【例3.1.】 已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【例3.3.】 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【例3.4.】 如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【例3.5.】 如图，在中，，，与相交于点P，若，则________，________． 【例3.6.】 在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 【例3.7.】 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 题型4：平面向量基本定理的应用 【例4.1.】 （多选）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例4.3.】 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 【例4.7.】 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【例4.8.】 在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （    ） A． B．3 C． D．2 【例4.9.】 在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【例4.10.】 如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【例4.11.】 已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【例4.12.】 在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $