7.1.1条件概率(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 (一)教材梳理填空 1．条件概率与概率的乘法公式 (1)条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率,简称条件概率． (2)读法：一般把P(B|A)读作 (3)乘法公式：① P(AB)＝ ②公式的推导依据：P(B|A)＝，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)设P(A)>0，则P(Ω|A)＝_ _. (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝ (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－ (4)0<P(A)≤1. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.33 C．0.5 D．0.6 3．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________. 4．将一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A)＝________. 题型一　条件概率的计算 [学透用活] [典例1]　一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． [对点练清] 1．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________． 2．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率． 题型二　条件概率性质的应用 [学透用活] [典例2]　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． [对点练清] 有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2022·新课标Ⅰ卷·节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 单位：人 卫生习惯 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①求证：R＝·； ②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． [课下过关检测]　 1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　) A. B. C. D. 2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个骰子点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 3．下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的 C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0 4．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　) A. B. C. D. 5．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 6．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 7．从编号为1,2，…，10的10个大小、颜色、材质均相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 8．(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 9．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 10．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 1．已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 2．[多选]某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，A1表示事件“从甲组抽取的是男生”，A2表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则(　　) A．A1，A2不是对立事件 B．P(B)＝ C．P(|A1)＝ D．P(B|A2)＝ 3．有圆形零件100个，其中有98个直径合格，有96个光洁度合格，两个指标都合格的有94个．从这100个零件中，任意抽取1个． (1)如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)； (2)如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 (一)教材梳理填空 1．条件概率与概率的乘法公式 (1)条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率,简称条件概率． (2)读法：一般把P(B|A)读作在事件A发生的条件下，事件B发生的概率． (3)乘法公式：① P(AB)＝P(A)P(B|A)． ②公式的推导依据：P(B|A)＝，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． [微提醒]　 (1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． (2)P(B|A)与P(B)：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等． 2．条件概率的性质 (1)设P(A)>0，则P(Ω|A)＝_1_. (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． (4)0<P(A)≤1. [微提醒]　对条件概率性质的两点说明 (1)前提条件：P(A)>0. (2)P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) 答案：(1) ×　(2) √ 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解析：选A　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B， P(B|A)＝＝＝0.2， 所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2. 3．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________. 解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝. 答案： 4．将一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A)＝________. 解析：P(A)＝，P(AB)＝， 则P(B|A)＝＝. 答案： 题型一　条件概率的计算 [学透用活] [典例1]　一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． [解]　法一：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B. 显然，事件“第一次取到白球且第二次取到黑球”的概率为P(AB)＝＝. 由条件概率的计算公式，得 P(B|A)＝＝＝. 法二：这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是. [方法技巧] (1)在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率． (2)条件概率的两种计算方法： ①在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)； ②若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率． [对点练清] 1．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________． 解析：记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”， 则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95. ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 答案：0.665 2．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率． 解：设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB. (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝＝. (3)法一：P(B|A)＝＝＝. 法二：由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4， ∴P(B|A)＝＝. 题型二　条件概率性质的应用 [学透用活] [典例2]　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． [解]　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥． P(A)＝＝， P(AB)＝＝， P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) ＝＋＝. [方法技巧] 较复杂事件概率的求法 (1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率； (2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立． [对点练清] 有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝.事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.即试验成功的概率为0.59. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2022·新课标Ⅰ卷·节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 单位：人 卫生习惯 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①求证：R＝·； ②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值． 解：①证明：因为R＝·＝···， 所以R＝···. 所以R＝·. ②由调查数据可知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，且P(|B)＝1－P(A|B)＝，P(|)＝1－P(A|)＝，所以R＝×＝6. 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． 解：(1)设A1表示“甲球员担当边锋”； A2表示“甲球员担当前卫”； A3表示“甲球员担当中场”； B表示“球队赢了某场比赛”， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.30＋0.24＋0.14＝0.68， 该球队某场比赛输球的概率为1－P(B)＝1－0.68＝0.32. (2)由(1)知P(B)＝0.68 ， 所以P(A2|B)＝＝＝ ， 所以球员甲担当前卫的概率为. (3)P(A1|B)＝＝＝. P(A3|B)＝＝＝. 由于P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B)，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的概率． [课下过关检测]　 1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由P(AB)＝P(A)P(B|A)， 可得P(A)＝. 2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个骰子点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　∵出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30种，出现一个5点共有n(AB)＝5×2＝10种， ∴P(B|A)＝＝. 3．下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的 C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0 解析：选B　由条件概率公式P(B|A)＝及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D错误，故选B. 4．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C. 5．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 解析：选A　令事件A，B分别表示“该学生爱好滑冰”“该学生爱好滑雪”，事件C表示“该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4.所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A. 6．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 7．从编号为1,2，…，10的10个大小、颜色、材质均相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意，知P(A)＝， P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝. 答案： 8．(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 解析：由题意知甲选到A的概率P＝＝.记“乙选择A活动”为事件M，“乙选择B活动”为事件N，则P(M)＝＝，P(MN)＝＝，所以P(N|M)＝＝＝. 答案：　 9．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB. (1)因为n(Ω)＝5×4＝20，n(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (2)由(1)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝. 10．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝， P(AC)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. ∴所求的条件概率为. 法二：∵n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5， ∴P(B∪C|A)＝.∴所求的条件概率为. 1．已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B　用A表示“第一次取到不合格消毒液”，易知n(A)＝CC＝10，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，所以n(AB)＝CC＝2，故P(B|A)＝＝. 2．[多选]某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，A1表示事件“从甲组抽取的是男生”，A2表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则(　　) A．A1，A2不是对立事件 B．P(B)＝ C．P(|A1)＝ D．P(B|A2)＝ 解析：选BC　根据对立事件的概念可知，A1，A2是对立事件，A错误； 由题意可知，P(B)＝×＋×＝，B正确； 当A1发生时，从乙组抽取1人有9种可能情况，其中抽取的不是1名女生有5种可能情况，则P(|A1)＝，C正确； 当A2发生时，从乙组抽取1人有9种可能情况，其中抽取的是1名女生有5种可能情况，则P(B|A2)＝，D错误． 3．有圆形零件100个，其中有98个直径合格，有96个光洁度合格，两个指标都合格的有94个．从这100个零件中，任意抽取1个． (1)如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)； (2)如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)． 解：设A＝{直径合格}，B＝{光洁度合格}，则 P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝. (1)在光洁度合格的条件下直径也合格的概率是 P(A|B)＝＝＝≈0.979. (2)在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是 P(B|A)＝＝＝≈0.959. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $