6.3.1 二项式定理(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 (一)教材梳理填空 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N* 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 二项展开式的通项 Tk＋1＝ (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2) (a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第r＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 2. (x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 3．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为(　　) A．－C B．C C．－4C D．4C 4．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于________． 5.16的二项展开式中第4项是________． 题型一　二项式定理的正用与逆用 [学透用活] 二项式定理的结构特点 (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n； (2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n； (3)共有（n＋1）项． [典例1]　(1)求4的二项展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [对点练清] 1．若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2 024)－f(－2 024)的值为________． 2．求4的展开式． 题型二　求展开式中的特定项或系数 [学透用活] [典例2]　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [对点练清] 1．二项式10的展开式中的常数项是(　　) A．180 B．90 C．45 D．360 2．若(x2－a)·10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　) A. B. C．1 D．2 3．若6的展开式的常数项为60，则实数a的值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．6 题型三　多项展开式问题 [学透用活] [典例3]　(1)将3展开后，常数项是(　　) A．30 B．－30 C．－64 D．－160 (2)(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 [对点练清] 1.5的展开式中含x5项的系数为(　　) A．160 B．210 C．120 D．252 2．已知(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为15，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．1或－ D．－1或 [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．甲、乙两位同学解“设(x－)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项”的过程如下： 甲同学： 第二项的系数为C，第四项的系数为C， 故＝，解得n＝5或n＝－2(舍去)， 所以Tr＋1＝Cx5－r(－)r. 由5－r＝2得r＝3，即展开式中第四项为含x2的项， 所以Cx2(－)3＝－20x2. 乙同学： (x－)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn－1·(－)＝－nxn－1，Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3. 依题意得＝⇒n2－3n－4＝0， 解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4. (x－)4展开式中第r＋1项为Cx4－r·(－)r. 由4－r＝2，得r＝2，即(x－)4展开式中含x2项为Cx2(－)2＝12x2. 试分析甲、乙两位同学的解题过程是否正确？原因何在？ 二、应用性——强调学以致用 2．求证：9998－1能被100整除． 3．当n是正整数且x>0时，求证：(1＋x)n≥1＋nx. [课下过关检测]　 1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 2．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 3．[多选]对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D．存在n∈N*，展开式中有含x的项 4．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 5．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　) A．3　　　B．6　　　C．9　　　D．21 6．(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________． 7．(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 9．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 1．若(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为(　　) A. B. C. D. 2．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　) A．－6 B．－3 C．0 D．3 3．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 4．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 (一)教材梳理填空 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N* 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 C(k＝0,1,2，…，n) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk [微提醒]　应用通项公式的注意点 (1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项； (2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对 (a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2) (a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第r＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2. (x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 解析：选B　由二项式定理的公式特征可知n＝10. 3．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为(　　) A．－C B．C C．－4C D．4C 解析：选B　含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C. 4．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于________． 解析：原式＝(2＋1)n＝3n. 答案：3n 5.16的二项展开式中第4项是________． 解析：展开式的通项公式为 Tr＋1＝C·x16－r·r ＝(－1)r·C·x16－2r， 所以第4项为 T4＝(－1)3C·x10＝－Cx10＝－560x10. 答案：－560x10 题型一　二项式定理的正用与逆用 [学透用活] 二项式定理的结构特点 (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n； (2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n； (3)共有（n＋1）项． [典例1]　(1)求4的二项展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [解]　(1)4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋ C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. [方法技巧] 二项式定理的双向功能 (1)正用：将 (a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成 (a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并．对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． [对点练清] 1．若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2 024)－f(－2 024)的值为________． 解析：根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴f(2 024)－f(－2 024)＝0. 答案：0 2．求4的展开式． 解：法一：4＝C()4－C·()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋. 法二：4＝4＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. 题型二　求展开式中的特定项或系数 [学透用活] [典例2]　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　二项式通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝ C(－3)rx. (1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，解得r＝2，∴x2项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意，得令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8， ∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. [方法技巧] 求二项展开式的特定项的常见题型及处理方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． [对点练清] 1．二项式10的展开式中的常数项是(　　) A．180 B．90 C．45 D．360 解析：选A　10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－kk＝2kCx5－k，令5－k＝0， 得k＝2，故常数项为22C＝180. 2．若(x2－a)·10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　) A. B. C．1 D．2 解析：选D　依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，解得a＝2. 3．若6的展开式的常数项为60，则实数a的值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．6 解析：选A　6的二项式通项Tr＋1＝Cx6－rr＝(－1)raCx6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，则常数项为(－1)2aC＝60，解得a＝4.故选A. 题型三　多项展开式问题 [学透用活] [典例3]　(1)将3展开后，常数项是(　　) A．30 B．－30 C．－64 D．－160 (2)(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 [解析]　(1)法一：∵3＝， ∴3的展开式中的常数项就是(x－2)6的展开式中的x3项． 而(x－2)6的展开式中x3项为Cx3(－2)3＝－160x3，∴常数项是－160. 法二：∵3＝6展开后的二项式通项是C()6－kk＝(－2)kC()6－2k， 令6－2k＝0，解得k＝3，∴常数项是(－2)3C＝－160. (2)由题意，(1－x)(1＋x)3＝(1＋x)3－x(1＋x)3，(1＋x)3的二项式通项为Tr＋1＝C·13－r·xr＝C·xr， 令r＝3，则C＝C＝1；令r＝2，则C＝C＝3. 所以(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为1－3＝－2. [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 多项式展开问题的求解方法 (1)若多项式恰好能转化为两项的完全平方的形式，则多项式展开问题即可转化为二项式的展开问题，利用相关方法求解即可，如典例(1)． (2)若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常有以下两种方法： ①利用项与项的结合转化为二项式展开问题，这时往往要利用两次展开式的二项式通项进行求解，其中项与项结合时要注意合理性与简捷性． ②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成法，求二项展开式的特定项． [对点练清] 1.5的展开式中含x5项的系数为(　　) A．160 B．210 C．120 D．252 解析：选D　∵5＝10，∴展开式的二项式通项Tr＋1＝C(x2)10－rr＝Cx20－3r，令20－3r＝5，解得r＝5，∴T6＝Cx5＝252x5. 2．已知(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为15，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．1或－ D．－1或 解析：选D　因为(1－ax)5展开式的二项式通项Tr＋1＝C·(－ax)r，所以其展开式中x的系数为－5a，x2的系数为10a2，即(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为10a2－5a.依题意，得10a2－5a＝15，解得a＝－1或a＝. [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．甲、乙两位同学解“设(x－)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项”的过程如下： 甲同学： 第二项的系数为C，第四项的系数为C， 故＝，解得n＝5或n＝－2(舍去)， 所以Tr＋1＝Cx5－r(－)r. 由5－r＝2得r＝3，即展开式中第四项为含x2的项， 所以Cx2(－)3＝－20x2. 乙同学： (x－)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn－1·(－)＝－nxn－1，Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3. 依题意得＝⇒n2－3n－4＝0， 解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4. (x－)4展开式中第r＋1项为Cx4－r·(－)r. 由4－r＝2，得r＝2，即(x－)4展开式中含x2项为Cx2(－)2＝12x2. 试分析甲、乙两位同学的解题过程是否正确？原因何在？ 提示：甲同学错误，乙同学正确．甲同学错误的根本原因在于将“二项展开式中的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆，解决此类题要深刻理解二者的区别与联系，准确应用． 二、应用性——强调学以致用 2．求证：9998－1能被100整除． 证明：因为9998－1＝(100－1)98－1， 由二项式定理可知 (100－1)98＝C10098＋C10097(－1)＋C10096(－1)2＋…＋C1002(－1)96＋C100(－1)97＋C(－1)98， 注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知9998－1能被100整除． 3．当n是正整数且x>0时，求证：(1＋x)n≥1＋nx. 证明：由二项式定理可知 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn ＝1＋nx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn， 因为x>0，所以上式右边的项都是正数，从而可知(1＋x)n≥1＋nx. [课下过关检测]　 1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 解析：选C　逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 2．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选A　因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11. 3．[多选]对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D．存在n∈N*，展开式中有含x的项 解析：选AD　二项式n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(x3)r＝Cx4r－n，不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则r＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确．故选A，D. 4．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 解析：选A　(x－)4的展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－(r＝0,1,2,3,4)．由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6. 5．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　) A．3　　　B．6　　　C．9　　　D．21 解析：选B　∵x3＝[(x－2)＋2]3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6. 6．(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________． 解析：展开式的通项Tk＋1＝C6－kk＝C·36－2k·x6k－18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20. 答案：20 7．(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 解析：(x＋y)8展开式的通项Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 答案：－28 8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. 答案：1 9．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C， 由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)． (2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝. (3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC， 则＝＝≥1， ＝＝≥1，解得2≤r≤3. 当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x. 10．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数． 解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10， 本题求x10的系数，只需求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．由Tr＋1＝Cx10－r·2r， 取r＝2得x8的系数为C×22＝180， 又x10的系数为C＝1，因此所求系数为180－1＝179. 1．若(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，解得n＝6，x＝，故选B. 2．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　) A．－6 B．－3 C．0 D．3 解析：选A　∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)， ∴x2的系数是－12＋6＝－6. 3．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 解析：∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29， ∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70. 答案：70 4．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解：(1)由(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C，得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tr＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14， 所以展开式中的有理项共3项是： r＝0，T1＝Cx7＝x7； r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； r＝12，T13＝Cx5＝91x5. 5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数． 解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18. x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171. 所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81， 此时x7的系数为C＋C＝156. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $