6.2.3&6.2.4组合 组合数(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3&6.2.4组合 组合数 第一课时　组合与组合数公式 知识点一　组合的定义 (一)教材梳理填空 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (二)基本知能小试 1.判断正误 (1)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(　　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) 答案：(1)√　(2) √ 2.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：选C　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题. 知识点二　组合数及组合数公式 (一)教材梳理填空 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 性质 C＝ ，C＝ 备注 1 n，m∈N*且m≤n；②规定：C＝1 (二)基本知能小试 1.判断正误 (1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.(　　) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．(　　) (3)C＝5×4×3＝60.(　　) 2.从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 3.C＝________，C＋C＝________. 题型一　组合的有关概念以及写法 [学透用活] 　　如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何都是相同的组合，当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时，就是不同的组合. 例如，从a，b，c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个，它们分别是ab，ac，bc.ba，ab是相同的组合，而ab，ac是不同的组合. [典例1]　下列问题，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ [对点练清] 1.判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？ 2.已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合． 题型二　组合数的计算与证明 [学透用活] [典例2]　(1)计算：C－C·A. (2)证明：①mC＝nC； ②C＝C＋2C＋C. [对点练清] 求使3C＝5A成立的x值． 题型三　简单的组合应用问题 [学透用活] [典例3]　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ [对点练清] 1.[变设问]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，则至少有1名男教师的选法有________种；最多有1名男教师的选法有________种． 2.集合{0,1,2,3}中含有3个元素的子集个数是________． 3.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) 二、应用性——强调学以致用 2．中国高铁发展迅速，有甲、乙、丙三城市之间有直达的高铁，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________． 3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 4．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)． [课下过关检测]　 1．[多选]下列问题是组合问题的是(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2 020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四个元素的子集有多少个？ D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A．A种 B．C种 C．CA种 D．30种 4．下列计算结果为21的是(　　) A．A＋C B．C C．A D．C 5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　) A．36种 B．48种 C．96种 D．192种 6．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 7．若C>C，则n的集合是________． 8．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型的所有可能情况有________种． 9．(1)解不等式：2C<3C； (2)计算C＋C＋C＋…＋C； (3)求证：C＝C. 10．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 1．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　) A．168 B．45 C．60 D．111 2．若A＝6C，则m的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 4．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？ 5．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 第二课时　组合的综合应用 题型一　有限制条件的组合问题 [学透用活] [典例1]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． [对点练清] 1．[变设问]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 2．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员． 题型二　几何中的组合问题 [学透用活] [典例2]　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [对点练清] 1．8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有(　　) A．55个 B．112个 C．156个 D．120个 2．四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？ 题型三　分组分配问题 [学透用活] [典例3]　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本． [对点练清] 1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 2．教育部为了发展某地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕业后要分配到相应的地区任教，现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法． 题型四　排列与组合的综合问题 [学透用活] [典例4]　用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？ [对点练清] 1．某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，求共有多少种不同的分配方法． 2．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 二、应用性——强调学以致用 2．在某种信息传递过程中，用4个数字的排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同信息的个数． [课下过关检测]　 1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　) A．27种 B．24种 C．21种 D．18种 2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．84 C．52 D．48 3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　) A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 4.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(　　) A．320 B．160 C．96 D．60 5．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　) A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种． 7．将9名教师分到3所中学任教，一所2名，一所3名，一所4名，则有________种不同的分法． 8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答) 9．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)恰有1个为红球，共有多少种取法？ 10．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果： (1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰有两双； (3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双． 1.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 2．某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为(　　) A．2,6 B．3,5 C．5,3 D．6,2 3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个． 4．从1到6这6个数中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)． 5．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3&6.2.4组合 组合数 第一课时　组合与组合数公式 知识点一　组合的定义 (一)教材梳理填空 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (二)基本知能小试 1.判断正误 (1)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(　　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) 答案：(1)√　(2) √ 2.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：选C　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题. 知识点二　组合数及组合数公式 (一)教材梳理填空 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 性质 C＝C_，C＝C＋C_ 备注 1 n，m∈N*且m≤n；②规定：C＝1 (二)基本知能小试 1.判断正误 (1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.(　　) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．(　　) (3)C＝5×4×3＝60.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 解析：由组合数公式知C＝＝20. 答案：20 3.C＝________，C＋C＝________. 解析：C＝C＝＝190；C＋C＝C＝＝161 700. 答案：190　161 700 题型一　组合的有关概念以及写法 [学透用活] 　　如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何都是相同的组合，当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时，就是不同的组合. 例如，从a，b，c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个，它们分别是ab，ac，bc.ba，ab是相同的组合，而ab，ac是不同的组合. [典例1]　下列问题，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ [解]　(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题． (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． [方法技巧] 写出有关问题的组合的方法 (1)利用列举的方法从n个不同元素中选出m个元素的所有组合，如“顺序后移法”或“树状图法”，可直观地写出组合，做到不重复不遗漏． (2)由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树状图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏． [对点练清] 1.判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？ 解：(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此其和的值与元素的顺序无关，是组合问题． (2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题． (3)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，故是排列问题. 2.已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合． 解：可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 题型二　组合数的计算与证明 [学透用活] [典例2]　(1)计算：C－C·A. (2)证明：①mC＝nC； ②C＝C＋2C＋C. [解]　(1)原式＝C－A ＝－7×6×5 ＝210－210＝0. (2)证明：①mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. ②∵C＋2C＋C ＝(C＋C)＋(C＋C) ＝C＋C ＝C， ∴原式成立． [方法技巧] 　　(1)像排列数公式一样，公式C＝一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等． (2)要注意公式C＝的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程． (3)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”的运用． (4)本例(2)所推导的结论“mC＝nC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握． [提醒]　解题时，不要忘记组合数的意义． [对点练清] 求使3C＝5A成立的x值． 解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·＝5·， 即＝，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得x＝11或x＝－2. 又∵x∈N*，∴x＝11. 题型三　简单的组合应用问题 [学透用活] [典例3]　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ [解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝15×6＝90(种)． [方法技巧] 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． [提醒]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏的元素． [对点练清] 1.[变设问]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，则至少有1名男教师的选法有________种；最多有1名男教师的选法有________种． 解析：至少有1名男教师可分两类： 1男1女有CC种，2男0女有C种． 由分类加法计数原理知有CC＋C＝39种． 最多有1名男教师包括两类： 1男1女有CC种，0男2女有C种． 由分类加法计数原理知有CC＋C＝30种． 答案：39　30 2.集合{0,1,2,3}中含有3个元素的子集个数是________． 解析：由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝4. 答案：4 3.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 解析：从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序之分，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，有向线段共有A＝20(条)． 答案：10　20 [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　从7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21种取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.故选D. 二、应用性——强调学以致用 2．中国高铁发展迅速，有甲、乙、丙三城市之间有直达的高铁，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________． 解析：甲、乙、丙三城市之间的距离不等，故票价不同，但与顺序无关，故该问题为组合问题，不同的票价的种数为C＝＝3. 答案：3 3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 解析：从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率p＝＝. 答案： 4．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)． 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64(种)． 答案：64 [课下过关检测]　 1．[多选]下列问题是组合问题的是(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2 020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四个元素的子集有多少个？ D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 解析：选ABC　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此不是组合问题，A、B、C均是组合问题． 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选B　由C＝＝28，解得n＝8. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A．A种 B．C种 C．CA种 D．30种 解析：选B　三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B. 4．下列计算结果为21的是(　　) A．A＋C B．C C．A D．C 解析：选D　C＝＝21. 5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　) A．36种 B．48种 C．96种 D．192种 解析：选C　甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法． 6．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次． 答案：15 7．若C>C，则n的集合是________． 解析：∵C>C，∴ 即 ⇒⇒ ∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9. ∴n的集合为{6,7,8,9}． 答案：{6,7,8,9} 8．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型的所有可能情况有________种． 解析：父母应为A或B或O，共有C·C＝9种情况． 答案：9 9．(1)解不等式：2C<3C； (2)计算C＋C＋C＋…＋C； (3)求证：C＝C. 解：(1)∵2C<3C， ∴2C<3C， ∴2×<3×. ∴<，∴x<， ∵∴x≥2， ∴2≤x<，又x∈N*，∴x＝2,3,4,5. ∴不等式的解集为{2,3,4,5}． (2)由题意，得≤n≤， 又n∈N*，故n＝6. ∴原式＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝19＋18＋17＋…＋12＝124. (3)证明：∵C＝·＝＝C， ∴原式成立． 10．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 解：(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120种选派方法． (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法． 若从反面考虑，则有C－C＝246种选派方法． 1．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　) A．168 B．45 C．60 D．111 解析：选D　选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC＝111. 2．若A＝6C，则m的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　由A＝6C得＝6·，即＝，解得m＝7. 3．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 答案：126 4．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？ 解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C＝＝20. 5．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 解：(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)， 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)． (3)选取3件的种数有C，因此有选取方法 C－C＝6 090(种)． 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 第二课时　组合的综合应用 题型一　有限制条件的组合问题 [学透用活] [典例1]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． [解]　(1)法一：至少有一名队长含有两种情况： 有一名队长和两名队长， 故共有C·C＋C·C＝825种． 法二：采用排除法，有C－C＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生， 故共有C·C＋C·C＋C＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C种； 第二类：女队长不当选， 有C·C＋C·C＋C·C＋C种． 故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种． [方法技巧] 解决有限制条件的组合应用题的策略 (1)“含”与“不含”问题： 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准． (2)几何中的计算问题： 在处理几何问题中的组合应用题时，应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决． [对点练清] 1．[变设问]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C＝462种选法． 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，有C＋C＝660种选法． 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 2．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名．选派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员． 解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法． 第二步：选2名女运动员，有C种选法． 所以共有C·C＝120种选法． (2)法一：(直接法)至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得共有 CC＋CC＋CC＋CC＝246种选法． 法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解． 从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种， 所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246种． (3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191种． 题型二　几何中的组合问题 [学透用活] [典例2]　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解]　法一：(直接法)以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形； 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形； 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形． 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216（个）． 法二：(间接法)从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4（种）． 故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216（个）． [方法技巧] 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强. (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． [对点练清] 1．8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有(　　) A．55个 B．112个 C．156个 D．120个 解析：选B　根据题意，如图，在10个点中，任意三点不共线，在其中任取3个点，可以组成C＝120个三角形， 其中没有锐角三角形，直角三角形是包含A，B点和余下的8点任意取一个构成的三角形，有8个，则钝角三角形有120－8＝112（个）．故选B. 2．四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？ 解：如图，从10个点中任取4个点有C种不同的取法， 其中4个点共面的情形可分三类： 第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C种； 第二类：一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种； 第三类：从6条棱的中点中取4个点且4点为平行四边形顶点时，有3种． 综上可知，不同的取法共有C－(4C＋6＋3)＝141（种）． 题型三　分组分配问题 [学透用活] [典例3]　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本． [解]　(1)根据分步乘法计数原理，得有CCC＝90（种）． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成： 第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三人，有A种方法．根据分步乘法计数原理，得CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种分法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法． [方法技巧] 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的对象个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．　　 [对点练清] 1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 解析：选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6（种），再分配给3个人，有A＝6（种），所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)． 2．教育部为了发展某地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕业后要分配到相应的地区任教，现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法． 解析：先把6名毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分配到3所学校，有A＝6种方法，故6名毕业生平均分配到3所学校，共有A＝90种分配方法． 答案：90 题型四　排列与组合的综合问题 [学透用活] [典例4]　用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？ [解]　法一：直接法 把从5个偶数中任取2个分为两类： (1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法． 故所有适合条件的五位数有CCA个． (2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法． 根据分类加法计数原理，共有CCA＋ACCA＝11 040个符合要求的数． 法二：间接法 如果对0不限制，共有CCA种，其中0居首位的有CCA种．故共有CCA－CCA＝11 040个符合条件的数． [方法技巧] 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的对象都选出来，再对对象或位置进行排列． (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点： ①对象是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题． ②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法． [对点练清] 1．某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，求共有多少种不同的分配方法． 解：第一种分配方式为每个社区各两人，则C，E一组，D，F一组，或C，F一组，D，E一组，有2种分组方式，三组人分配到三个社区进行排列，则分配方式共有2A＝12种； 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当A，B两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有CC种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有CCA＝12种分配方法； 当A，B加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有C种选择，再将剩余3人分为两组，有CC种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有CCCA＝36种分配方法； 若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和A，B一起，有C种分配方法，再将C，D和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有2CA＝24种分配方法， 综上，共有12＋12＋36＋24＝84种不同的分配方法． 2．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 解：分三类： 第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种． 第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种． 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种． 故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 解：安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A. 有A的安排方法可以分成两步完成：第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共C种方法；第二步，在B，C，D，E，F这5人中选出3人安排在其他3个岗位上，共A种方法．所以此类安排方法共有CA种． 没有A的安排方法共有A种． 因此安排方法种数为CA＋A＝300. 二、应用性——强调学以致用 2．在某种信息传递过程中，用4个数字的排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同信息的个数． 解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息，包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C＝6(个)． 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C＝4(个)． 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C＝1(个)． 故由分类加法计数原理得共有6＋4＋1＝11(个)． [课下过关检测]　 1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　) A．27种 B．24种 C．21种 D．18种 解析：选C　分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法． 2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．84 C．52 D．48 解析：选C　间接法：C－C＝52种． 3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　) A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 解析：选C　按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C种，5局时有2C种，故共有2＋2C＋2C＝20种． 4.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(　　) A．320 B．160 C．96 D．60 解析：选A　按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法． 5．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　) A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 解析：选D　根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法． 6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种． 解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36种保送方案． 答案：36 7．将9名教师分到3所中学任教，一所2名，一所3名，一所4名，则有________种不同的分法． 解析：CCCA＝7 560(种)． 答案：7 560 8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答) 解析：从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．所以共有2C＝240种方法． 答案：240 9．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)恰有1个为红球，共有多少种取法？ 解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法共有C＝126(种)． (2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法．所以共有C·C＝70种取法． 10．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果： (1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰有两双； (3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双． 解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理可知，选取种数为N＝C×24＝3 360. (2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法． (3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N＝CC×22＝1 440. 1.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 解析：选C　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200，故选C. 2．某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为(　　) A．2,6 B．3,5 C．5,3 D．6,2 解析：选B　设男生人数为n，则女生人数为8－n，其中(1<n<8，n∈N*)，由题意知，CCA＝90，即·(8－n)＝15，整理，得(n－3)(n2－6n－10)＝0，解得n＝3，所以男、女生人数分别为3,5.故选B. 3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个． 解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58个． 答案：58 4．从1到6这6个数中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)． 解：(1)易知四位数共有CCA＝216(个)． (2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个)． (3)由(1)(2)知，两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)． 5．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 解：(1)所作出的平面有三类． ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个． ②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个． ③α，β本身，有2个． 故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)． (2)所作的三棱锥有三类． ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个． ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个． ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个． 故最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)． (3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $