6.2.1&6.2.2排列 排列数(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1&6.2.2　排列　排列数 　[新课程标准] 1．通过实例理解排列的概念．能利用计数原理推导排列数公式，并进行相关计算． 2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题． 3．通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力． 第一课时　排列与排列数 (一)教材梳理填空 1．排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示． 3．排列数公式 A＝ (m，n∈N*，m≤n)． 4．全排列 把n个不同的元素 的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记作 . 5．阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示． 6．阶乘的相关结论 (1)规定：0！＝ . (2)A＝ (n∈N*)． (3)排列数公式的另一种形式：A＝ m，n∈N*，m≤n)． (二)基本知能小试 1．[多选]下列问题属于排列问题的是(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 3．14×13×12×11×10×9等于(　　) A．A B．A C．A D．A 题型一　排列的概念 [学透用活] [典例1]　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组去种菜； (3)选10个人组成一个学习小组； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (5)某班40名学生在假期相互通信． [对点练清] 判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 题型二　排列中的列举问题 [学透用活] [典例2]　(1)从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； (2)试写出由1,2,3,4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数． [对点练清] 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数； (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数． 题型三　排列数公式及其应用 [学透用活] [典例3]　根据要求完成下列各题． (1)计算：； (2)解方程：3A＝4A； (3)解不等式：A<6A； (4)化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！. [对点练清] 计算下列各题． (1)； (2)若3A＝2A＋6A，求n； (3)＋＋＋…＋(n≥2且n∈N*)； (4)解不等式：3A≤2A＋6A. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A. B. C. D. 2．若A＝2A，则logn25的值为________． 二、应用性——强调学以致用 3．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有(　　) A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 4．m·…·可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 三、创新性——强调创新意识和创新思维 5．英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1.n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，当Rn不超过时，正整数n的最小值是________． [课下过关检测] 1．下列问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6　　　　 B．4　　　　 C．8　　　　 D．10 3．若A＝132，则n等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 4．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 5．[多选]下列等式成立的是(　　) A．A＝nA B．A＝mA C.A＝A D．A＋mA＝A 6．计算：＝__________. 7．学号分别为1,2,3,4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则所有不同的排列为________． 8．8人围桌而坐，共有________种坐法． 9．(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 10．(1)解关于x的方程：＝89； (2)解不等式：A>6A. 1．一个数阵有m行5列，第一行中的数为1,2,3,4,5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的最大值为(　　) A．5 B．25 C．120 D．3 125 2．满足不等式>12的n的最小值为________． 3．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 4．规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求A的值． (2)排列数的两个性质①A＝nA，②A＋mA＝A(n，m是正整数，且m≤n)是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由． 第二课时　排列与排列数的应用 题型一　无限制条件的排列问题 [学透用活] [典例1]　现把四个小球逐个随机放入四个盒子里． (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？ (2)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ [对点练清] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？ 题型二　组数问题 [学透用活] [典例2]　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． [拓展] 若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ [对点练清] 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位上的五位数． 题型三　排队问题 [学透用活] [典例3]　7名师生站成一排照相留念，其中有1名老师，4名男学生，2名女学生．分别求满足下列情况的不同站法的种数． (1)老师必须站在中间或两端； (2)2名女学生必须相邻而站； (3)4名男学生互不相邻； (4)若4名男学生身高都不相等，按从高到低的顺序站． [对点练清] 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120 B．60 C．30 D．20 二、应用性——强调学以致用（2～4） 2．某研究室有2男6女共8名教研员，研究室东、西两区各有4张办公桌，则两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为(　　) A．AAA B. C. D．A－2AA 3．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为(　　) A．9　　　　　　　 B．18 C．21 D．24 4．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 5．自然对数的底数e，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e的近似值约为2.718 281 8….若用欧拉数的前6位数字2,7,1,8,2,8设置一个六位数的密码，则不同的密码共有________个． [课下过关检测] 1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　) A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 2．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为(　　) A．24 B．48 C．60 D．96 4．2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有(　　) A．72种 B．144种 C．36种 D．108种 5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比30 000大的五位偶数有(　　) A．288个 B．192个 C．144个 D．126个 6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 7．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 8．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种． 9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 1．[多选]有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是(　　) A．共有A种不同的排法 B．男生不在两端共有AA种排法 C．男生甲、乙相邻共有AA种排法 D．三位女生不相邻共有AA种排法 2．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________． 3.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动．某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 i，则棋子就按顺时针方向前进i个格子，一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为________．(用数字作答) 4．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 5．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问： (1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？ (2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？ 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1&6.2.2　排列　排列数 　[新课程标准] 1．通过实例理解排列的概念．能利用计数原理推导排列数公式，并进行相关计算． 2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题． 3．通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力． 第一课时　排列与排列数 (一)教材梳理填空 1．排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． [微提醒] (1)定义中给出的n个元素互不相同，抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的，因而这m个元素也是互不相同的． (2)排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列．因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按照顺序排列”． (3)定义规定m≤n，当m＝n时，称为全排列． 2．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 3．排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)． 4．全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记作A. 5．阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示． 6．阶乘的相关结论 (1)规定：0！＝1. (2)A＝n！(n∈N*)． (3)排列数公式的另一种形式：A＝(m，n∈N*，m≤n)． [微提醒]　 (1)在两个排列数公式中，n，m满足的条件都是n，m∈N*，且m≤n. (2)公式A＝的两个作用： 一是当n，m较大时，利用科学计算器计算排列数比较方便； 二是当对含有参数的排列数的式子进行变形和论证时，写成这种形式有利于发现式子之间的关系． (3)对于阶乘的概念，可以从两个阶乘之间的关系的角度来认识，实际上，较大数的阶乘数一定是较小数的阶乘数的整数倍． (二)基本知能小试 1．[多选]下列问题属于排列问题的是(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算 答案：AD 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：选C　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙． 3．14×13×12×11×10×9等于(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：选D　最大因数为14，共有6个连续正整数相乘，所以n＝14，m＝6，故14×13×12×11×10×9＝A. 题型一　排列的概念 [学透用活] [典例1]　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组去种菜； (3)选10个人组成一个学习小组； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (5)某班40名学生在假期相互通信． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不属于排列问题． (2)(3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (5)A给B写信与B给A写信是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(4)(5)属于排列问题． [方法技巧] 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 　　 [对点练清] 判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选出3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 题型二　排列中的列举问题 [学透用活] [典例2]　(1)从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； (2)试写出由1,2,3,4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数． [解]　(1)所有的三位数为123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314, 321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．故排列数是A＝24. (2)所有的四位数为1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124, 3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个四位数．故排列数是A＝24. [方法技巧] 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 适用范围 “树状图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式 策略 在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列数 [对点练清] 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数； (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数． 解：(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法． 由分步乘法计数原理得，共有3×3×2＝18个不同的三位数． 画出下列树状图： 由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231, 301,302,310,312,320,321. (2)直接画出树状图： 由树状图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312. 题型三　排列数公式及其应用 [学透用活] [典例3]　根据要求完成下列各题． (1)计算：； (2)解方程：3A＝4A； (3)解不等式：A<6A； (4)化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！. [解]　(1)原式＝＝＝＝＝. (2)由排列数公式，原方程可化为3×＝4×， 化简，得3＝， 即x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)由排列数公式，得<6×， 化简，得1<， 即x2－19x＋84<0，所以7<x<12. 又因为x∈N*,0≤x≤8,0≤x－2≤8， 所以2≤x≤8且x∈N*，所以x＝8. (4)因为n·n！＝[(n＋1)－1]·n！＝(n＋1)！－n！， 所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. [方法技巧] 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式．若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．　 [对点练清] 计算下列各题． (1)； (2)若3A＝2A＋6A，求n； (3)＋＋＋…＋(n≥2且n∈N*)； (4)解不等式：3A≤2A＋6A. 解：(1)＝＝1. (2)由3A＝2A＋6A，得 3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)． ∵n≥3且n∈N*， ∴3n2－17n＋10＝0. 解得n＝5或n＝(舍去)．∴n＝5. (3)∵＝－，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－. (4)∵A＝x(x－1)(x－2)，A＝(x＋1)x，A＝x(x－1)，∴原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，x≥3，解得3≤x≤5，易知x∈N*，∴原不等式的解集为{3,4,5}． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：选B　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A＝24种排法．丙不在排头，甲或乙在排尾，则丙在中间两个位置中选一个，有2种选法，甲或乙两人中选一个排尾也有2种选法，余下2人全排列，有A＝2种排法，故共有2×2×2＝8种排法，所以所求概率为＝. 2．若A＝2A，则logn25的值为________． 解析：由A＝2A，得＝2·，解得n＝5(n＝0舍去)，所以logn25＝log525＝2. 答案：2 二、应用性——强调学以致用 3．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有(　　) A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 解析：选D　从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有A＝6×5×4＝120(种)．故选D. 4．m·…·可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：选D　A＝…·＝…m. 三、创新性——强调创新意识和创新思维 5．英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1.n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，当Rn不超过时，正整数n的最小值是________． 解析：依题意得≤，即(n＋1)！≥3 000.因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720<3 000，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040>3 000，所以n的最小值是6. 答案：6 [课下过关检测] 1．下列问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 解析：选A　选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出对象即可，与对象的排列顺序无关． 2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6　　　　 B．4　　　　 C．8　　　　 D．10 解析：选B　列树状图如下： 3．若A＝132，则n等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选B　因为A＝132，所以n(n－1)＝132，n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 4．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 解析：选C　lg a－lg b＝lg，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有A＝20种，其中lg＝lg，lg＝lg，故共可得到18种结果． 5．[多选]下列等式成立的是(　　) A．A＝nA B．A＝mA C.A＝A D．A＋mA＝A 解析：选ACD　A＝＝＝nA，A正确；A＝，而mA＝m·＝，B错误；A＝·＝＝A，C正确；A＋mA＝＋＝＝＝A， D正确． 6．计算：＝__________. 解析：因为A＝7×6×A，A＝6×A， 所以原式＝＝36. 答案：36 7．学号分别为1,2,3,4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则所有不同的排列为________． 解析：先排学号1,2的同学，有2种方法，此时1,2之间必须插入4，有1种方法，3必须选择与1相邻的另一侧，故所有不同的排列为3142,2413. 答案：3142,2413 8．8人围桌而坐，共有________种坐法． 解析：围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有(8－1)！＝7！＝5 040种坐法． 答案：5 040 9．(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个对象中任取3个对象的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法． (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343种． 10．(1)解关于x的方程：＝89； (2)解不等式：A>6A. 解：(1)∵A＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·A， ∴＝89. ∵A>0，∴(x－5)(x－6)＝90. 故x＝－4(舍去)或x＝15. (2)原不等式可化为>， 由排列数定义知 ∴2≤x≤9，x∈N*. 化简得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0， 即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*. 故解集为{x|2,3,4,5,6,7}． 1．一个数阵有m行5列，第一行中的数为1,2,3,4,5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的最大值为(　　) A．5 B．25 C．120 D．3 125 解析：选C　第一行的数为1,2,3,4,5，其余各行都由这5个数以不同顺序组成，由于5个不同元素的全排列共有5！个，所以由5个不同的数值可以以不同顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同，为使每一行都不重复，m可以取的最大值是5！＝120. 2．满足不等式>12的n的最小值为________． 解析：由排列数公式，得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10. 答案：10 3．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 解：由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，∴A－A＝62， 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62. ∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31. ∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*， ∴解得m＝2，n＝15， 故原有15个车站，现有17个车站． 4．规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求A的值． (2)排列数的两个性质①A＝nA，②A＋mA＝A(n，m是正整数，且m≤n)是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由． 解：(1)A＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080. (2)证明：性质①，②均可推广，推广的形式分别是， ①A＝xA，②A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)．证明如下： 在①中，当m＝1时，左边＝A＝x，右边＝xA＝x，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＝x{(x－1)(x－2)…[(x－1)－(m－1)＋1]}＝xA＝右边．因此A＝xA(x∈R，m是正整数)成立． 在②中，当m＝1时，左边＝A＋A＝x＋1＝A＝右边，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m] ＝(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1]＝A＝右边． 因此A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)成立． 第二课时　排列与排列数的应用 题型一　无限制条件的排列问题 [学透用活] [典例1]　现把四个小球逐个随机放入四个盒子里． (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？ (2)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ [解]　(1)由已知可得，每个小球放入盒子的放法有4种，所以小球全部放入盒子中的放法种数为44＝256. (2)每个盒子都不空的放法有A＝24种，球的编号与盒子编号完全相同的放法有1种，所以球的编号与盒子编号不全相同，有24－1＝23种投放方法． [方法技巧] 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法种数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”，即在排列问题中元素不能重复选取．而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．　　 [对点练清] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？ 解：(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，相当于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种． (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题． 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法． 题型二　组数问题 [学透用活] [典例2]　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． [解]　(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个． 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)． 法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不是符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)． (3)分三种情况， ①当千位上排1,3时，有AAA个． ②当千位上排2时，有AA个． ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有AA个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)． [拓展] 若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ 解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216个能被5整除的五位数． [方法技巧] 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“对象”占“位子”问题．有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上，或某个位子不排某些对象，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先满足特殊位子，若一个位子安排的对象影响到另一个位子的对象个数时，应分类讨论. (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊对象“0”的处理．　　 [对点练清] 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位上的五位数． 解：本题可分两类．第一类：0在十位上，这时，5不在十位上，所以五位数的个数为A＝24； 第二类：0不在十位上，这时，由于5不能排在十位上，所以十位上只能排1,3,7，有A＝3种方法． 又由于0不能排在万位上，所以万位上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字，有A＝3(种)． 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A＝6(种)． 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为AAA＝54. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)． 题型三　排队问题 [学透用活] [典例3]　7名师生站成一排照相留念，其中有1名老师，4名男学生，2名女学生．分别求满足下列情况的不同站法的种数． (1)老师必须站在中间或两端； (2)2名女学生必须相邻而站； (3)4名男学生互不相邻； (4)若4名男学生身高都不相等，按从高到低的顺序站． [解]　(1)先考虑老师，有A种站法， 再考虑其余6人，有A种站法， 故不同站法的种数为AA＝2 160. (2)2名女学生相邻而站，有A种站法，将她们视为一个整体并与其余5人全排列，有A种站法， 所以不同站法的种数为AA＝1 440. (3)先排老师和女学生，有A种站法，再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生，每空一人，则插入方法有A种，所以不同站法的种数为AA＝144. (4)在7人全排列的所有站法中，4名男学生不考虑身高顺序的站法有A种，而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种，所以不同站法的种数为2×＝420. [方法技巧] 1．“捆绑法”解决相邻问题 解决相邻问题一般用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一列，其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上，求不同排法的种数的方法如下：(1)将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；(2)把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列，有A种排法；(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，其排列方法有A种；(4)由分步乘法计数原理知，符合条件的排法有A·A种． 2．“插空法”解决不相邻问题 解决不相邻问题通常用“插空法”．将n个不同的元素排成一列，其中k个元素互不相邻，求不同排法的种数的方法如下：(1)将没有不相邻要求的(n－k)个元素排成一排，其排列方法有A种；(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有A种；(3)根据分步乘法计数原理知，符合条件的排法有AA种． 3．“定序”问题 在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序．在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有种．　　 [对点练清] 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：(1)法一 把同学作为研究对象． 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种． 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法． 由分类加法计数原理，共有A＋4×A＝2 160种排法． 法二 把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法． 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理，可得共有A·A＝2 160种排法． 法三 间接法． 先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160种． (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法． 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800种方法． (3)把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法． 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200种方法． (4)用间接法． 总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A－2A＋A＝1 860种排法． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120 B．60 C．30 D．20 解析：选B　不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A＝12种方法．同理，b，c，d，e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12＝60. 二、应用性——强调学以致用（2～4） 2．某研究室有2男6女共8名教研员，研究室东、西两区各有4张办公桌，则两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为(　　) A．AAA B. C. D．A－2AA 解析：选D　没有位置限制的8人的坐法有A种，其中男教研员坐在同一区的坐法有2AA种，所以两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为A－2AA.显然选项A、B、C都不正确，D正确． 3．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为(　　) A．9　　　　　　　 B．18 C．21 D．24 解析：选A　因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有A＝3（种），再排剩余三场，有A＝6（种），共有3×6＝18（种）， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为＝9. 4．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序． 解析：若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2AA＝24(种)；若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况；若“角”在第二个或第四个位置，则有2AA＝8(种)，综上共有24＋8＝32种不同的音序． 答案：32 三、创新性——强调创新意识和创新思维 5．自然对数的底数e，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e的近似值约为2.718 281 8….若用欧拉数的前6位数字2,7,1,8,2,8设置一个六位数的密码，则不同的密码共有________个． 解析： 因为2出现2次，8出现2次，所以不同的密码共有＝＝180个． 答案：180 [课下过关检测] 1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　) A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 解析：选D　把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A＝24种排法． 2．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 解析：选B　若第一棒选A，则第四棒选C，有A种选派方法；若第一棒选B，则有2A种选派方法．由分类加法计数原理知，共有3A＝36种选派方法． 3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为(　　) A．24 B．48 C．60 D．96 解析：选B　先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，有AAA种排法，再将各位女歌手和她们的指导老师进行全排列，即为三个不同对象进行全排列，有A种排法．所以不同的排法数N＝AAAA＝48.故选B. 4．2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有(　　) A．72种 B．144种 C．36种 D．108种 解析：选A　由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排列，有A＝6，再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中．因为神舟十四号三名航天员互不相邻，所以先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上进行排列，有A＝6，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下，共A＝2.故不同站法有A×A×A＝6×6×2＝72（种）． 5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比30 000大的五位偶数有(　　) A．288个 B．192个 C．144个 D．126个 解析：选B　个位上是0时，有AA＝72(个)；个位上是2时，有AA＝72个；个位上是4时，有AA＝48(个)，所以共有符合条件的偶数72＋72＋48＝192(个)． 6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法． 答案：36 7．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 解析：满足条件的七位数有＝210(个)． 答案：210 8．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种． 解析：0夹在1,3之间有AA种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有AAAA种排法．所以一共有AA＋AAAA＝28种排法． 答案：28 9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种)． (2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)． 1．[多选]有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是(　　) A．共有A种不同的排法 B．男生不在两端共有AA种排法 C．男生甲、乙相邻共有AA种排法 D．三位女生不相邻共有AA种排法 解析：选AC　有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有A种不同的排法，A正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有AA种排法，B不正确；男生甲、乙相邻，视甲、乙为1人与其余4人全排列，再排甲、乙，共有AA种排法，C正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有AA种排法，D不正确． 2．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________． 解析：(插空法)8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，由分步乘法计数原理，得总的排法种数为AA＝2 903 040. 答案：2 903 040 3.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动．某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 i，则棋子就按顺时针方向前进i个格子，一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为________．(用数字作答) 解析：根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3；4,6,6；5,5,6；当点数为1,1,6；2,2,4；2,3,3；4,6,6；5,5,6时，有5×3＝15种情况；当点数为1,2,5；1,3,4时，有2×A＝12种情况．综上可得不同的走法数为12＋15＝27. 答案：27 4．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440种排法． (2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种排法，所以共有A·A＝30 240种排法． (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，所以共有A·A·A＝2 880种排法． 5．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问： (1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？ (2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？ 解：(1)奇数共有5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置共有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝1 800. (2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝2 520. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $