2025-2026学年人教版八年级下学期数学精析精练21.3.2菱形

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.3.2菱形 知识点1、菱形的性质 1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 3．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 4．菱形的周长为60，，则的长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 7．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 8．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 知识点2 菱形的面积 1．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 3．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 5．如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 6．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 知识点3菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________． 3．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 4．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 2. 四边相等的四边形是菱形 5．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 6．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 8．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 9．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h．10．如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 1．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 2．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 4．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，求的值． 5．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 6．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 7．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 8．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 9．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 10．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 1．综合与实践 问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点． 问题解决： (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长． 2．在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点． 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程．     【迁移探究】 （3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长． 3．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.3.2菱形（解析版） 知识点1、菱形的性质 1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 4．菱形的周长为60，，则的长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵菱形的周长为60， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确； B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确； C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误； D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确． 故选：C． 6．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 7．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， 即． 8．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 知识点2 菱形的面积 1．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 2．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形， 、， 在中，由勾股定理得， ， ， 菱形的面积为， 故选：C． 3．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 4．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 5．如图，在中，，． (1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； （2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴． 6．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 知识点3菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分， 四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 2．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________． 【答案】菱形 【分析】由平行四边形的性质，结合已知条件，可得平行四边形，根据作图过程可知一组邻边相等，即可判定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作法得：， ∴四边形是菱形． 3．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 4．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据“邻边相等的平行四边形是菱形”结合线段垂直平分线的性质即可证明是菱形． 【详解】证明：为对角线上的中点，， 垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， 是菱形． 2. 四边相等的四边形是菱形 5．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 6．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 9．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识． （1）利用菱形的判定方法和性质证明即可． （2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得，负值舍去， 则，， ∴， ∴， 即， 则． 10．如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及菱形面积计算等知识． （1）关键是先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形． （2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是的中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答． 【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点， ， ， ， 设， ∵ ，， ， ， ， ， ∴． 4．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵矩形中， ∴在中，． 5．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （2）由得四边形是菱形，即得，再利用矩形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ∵，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 9．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 10．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 1．综合与实践 问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点． 问题解决： (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)2.5 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行四边形的性质得出，结合可得出四边形是平行四边形，再证明为等腰三角形，易得，即可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理，求得菱形的面积，进而根据得出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点． 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程．     【迁移探究】 （3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）菱形，证明见解析；（3） 【分析】（1）作的角平分线与交于点D，即可； （2）由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，再通过垂直平分线和角平分线的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，得证平行四边形是菱形； （3）勾股定理得出，设第一次翻折点的对应点为，根据翻折的性质可得，得出，在中，勾股定理求出，根据四边形是菱形，得出，在中，勾股定理求出，． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）菱形， 证明：由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线， ， ， ∵是的角平分线， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）∵， ∴， 如图，设第一次翻折点的对应点为， 根据翻折的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 同（2）可得四边形是菱形， 则， 在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是尺规作图、菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线和角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $