21.2.2 平行四边形的判定 知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版八年级数学下册（十题型）

21.2.2平行四边形的判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（七题型） 知识归纳： 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； 2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； 3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 题型突破： 题型1：平行四边形的判定（边的关系） 1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组邻边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角互补 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 3.如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，连DE并延长DE交AB延长线于点F，求证：四边形DBFC是平行四边形． 题型2：平行四边形的判定（角的关系） 1.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2 2.如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形． 题型3：平行四边形的判定（对角线关系） 1.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 题型4：平行四边形的判定与坐标 1.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0） 2.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2） 3.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：二次证明平行四边形 1.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论． 2.已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形． 题型6：平行四边形的判定与动点问题 1.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s （1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标； （2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当一个点运动到端点时，另一个点也停止运动，经过多长时间后，四边形APQD是平行四边形？ 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，动点P从点C出发以2cm/s的速度沿CA向终点A移动，过P作PE∥BC交BF于点E，设动点P的运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式表示AP的长； （2）当t为何值时，四边形BPAE为平行四边形，并说明理由； （3）求出四边形BPAE的面积． 题型7：平行四边形的判定简单综合 1.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F． （1）求证：四边形DEBF为平行四边形； （2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积． 3.如图，四边形ABCD中，EF过对角线交点，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝OF，证明四边形ABCD为平行四边形． 4.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】 21.2.2平行四边形的判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（七题型） 知识归纳： 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； 2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； 3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 题型突破： 题型1：平行四边形的判定（边的关系） 1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组邻边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角互补 【答案】B． 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】C． 3.如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，连DE并延长DE交AB延长线于点F，求证：四边形DBFC是平行四边形． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， ∴∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB， ∵点E为BC边的中点， ∴BE＝CE，且∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB， ∴△DEC≌△FEB（AAS） ∴BF＝CD，且AB∥CD ∴四边形DBFC是平行四边形 题型2：平行四边形的判定（角的关系） 1.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2 【答案】D． 2.如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：∵BE∥FD，AH∥CG， ∴∠2＝∠3，∠5＝∠6， ∵∠1+∠2＝∠3+∠4， ∴∠4+∠6＝∠1+∠3， ∵在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线， ∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠BCD，∠4＝∠BAD，∠6＝∠ADC， ∴∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD， 同理：AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 题型3：平行四边形的判定（对角线关系） 1.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD 【答案】D． 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D． 3.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形． 【答案】证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OB，OF＝OD， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 题型4：平行四边形的判定与坐标 1.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0） 【答案】C． 2.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2） 【答案】D． 3.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 题型5：二次证明平行四边形 1.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论． 【答案】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝EC＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF． （2）四边形AECD的形状是平行四边形， 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF， ∵∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∵EC＝CF， ∴AD∥EC，AD＝CE， ∴四边形AECD是平行四边形． 2.已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F， ∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 题型6：平行四边形的判定与动点问题 1.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s （1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标； （2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC，OA∥BC， ∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4）， ∴OA＝10，OE＝AF＝2， ∴BC＝10， ∵点D是OA的中点， ∴OD＝AD＝OA＝5， （1）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形， 由题意得：PC＝10﹣2t， ∵四边形PCDA是平行四边形， ∴PC＝AD，即10﹣2t＝5， ∴t＝， ∴当点P运动秒时，四边形PCDA是平行四边形； ∴P（7，4）； （2）如图2，①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E， 则PE＝4， ∴DE＝3， ∴P1（8，4）， 当点P与点C重合时，PD＝OD＝5； ②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F， 则PF＝4，OF＝， ∴P3（，4）； ③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G， 则PG＝4， ∴OG＝3， ∴P2（3.4）， 综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（，4），（3.4），（2，4）． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当一个点运动到端点时，另一个点也停止运动，经过多长时间后，四边形APQD是平行四边形？ 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC＝6cm， 当DQ＝AP时， QDAP，则四边形APQD是平行四边形， 故设x秒时，QD＝AP，则x＝6﹣2x， 解得：x＝2． 即2秒时，四边形APQD是平行四边形． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，动点P从点C出发以2cm/s的速度沿CA向终点A移动，过P作PE∥BC交BF于点E，设动点P的运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式表示AP的长； （2）当t为何值时，四边形BPAE为平行四边形，并说明理由； （3）求出四边形BPAE的面积． 【答案】解：（1）由题意可得：CP＝2t，AC＝13cm，则AP＝13﹣2t； （2）当BE＝AP时，四边形BPAE是平行四边形， ∵PE∥BC，BF∥AC， ∴四边形EBCP是平行四边形， ∴EB＝PC， 即 2t＝13﹣2t， 解得：t＝， 故t＝秒时，四边形BPAE为平行四边形； （3）过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BP⊥AC于点G， ∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm， ∴AD＝12cm，则AD×BC＝AC×BG，即12×10＝13×BG， 解得：BG＝， ∵BE＝2t，AP＝13﹣2t， ∴AP+BE＝13， ∴四边形BPAE的面积＝（AP+BE）×BG＝×＝60（cm2）． 题型7：平行四边形的判定简单综合 1.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长． 【答案】（1）证明：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF，∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵BE⊥AC， ∴∠BEF＝90°， 在Rt△BEF中，EF＝＝＝6， ∴OE＝OF＝3， 在Rt△BEO中，OB＝＝＝， ∴BD＝2OB＝2． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F． （1）求证：四边形DEBF为平行四边形； （2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DEA与△BFC中， ， ∴△DEA≌△BFC（AAS）， ∴DE＝BF， ∵∠DEA＝∠BFC＝90°， ∴∠DEO＝∠BFO＝90°， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5， ∵DE⊥AC， 在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2， 在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2， 即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2， 解得：AE＝5， ∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12， ∴△DOE的面积＝． 3.如图，四边形ABCD中，EF过对角线交点，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝OF，证明四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：延长OB至G，使BG＝BE；延长OD至H，使DH＝DF；如图所示： 则∠1＝∠G，∠H＝∠2， ∴∠3＝2∠G，∠4＝2∠H， ∵OG＝OB+BG，OH＝OD+DH，OB+BE＝OD+DF， ∴OG＝OH， 在△GOE和△HOF中，， ∴△GOE≌△HOF（SAS）， ∴∠G＝∠H， ∴∠3＝∠4， ∴AB∥CD， ∴∠5＝∠6， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE＝DF， 同理：AE＝CF， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 4.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 学科网（北京）股份有限公司 $