6.2.4组合数讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4组合数知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1． 有关概念 组合数定义及表示 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 组合数公式 乘积形式 阶乘形式 性质 ①__________；（2）__________+__________ 备注 规定______ 2．组合和组合数有何区别？ 3．组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？ 4．尝试证明性质1： 5.尝试证明性质2； 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．正十二边形的对角线的条数是（   ） A．66 B．54 C．48 D．24 4．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 5．已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 7．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 8．若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 二、多选题 9．等于（   ） A． B． C． D． 10．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．现有男女学生共10人，若从男生中选取1人，从女生中选取2人，共有36种不同的选法，则女生有（    ） A．3人 B．4人 C．8人 D．9人 三、填空题 12．若，则正整数的值为_____. 13．若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 14．已知，则的值为______（用数字作答）. 四、解答题 15．12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件． (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 16． 已知，求值： 17.解下列方程或不等式： (1)； (2). 18.（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 19．学校食堂为学生配餐，现准备了6种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有1荤3素，则共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4组合数知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1． 有关概念 组合数定义及表示 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 组合数公式 乘积形式 阶乘形式 性质 ①__________；（2）__________+__________ 备注 规定______ 【答案】 1 2．组合和组合数有何区别？ 【答案】组合是指从n个不同元素中，取出个元素作为一组，它是具体的一件事；组合数是从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，它是一个自然数． 3．组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？ 【答案】第一个性质中，若，通常不直接计算，而改为计算，这样可以减少计算量； 第二个性质是根据需要将一个组合数拆分成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数. 4．尝试证明性质1： 【证明】从个不同元素中取个不同元素的种数为，与余下的个元素的种数应该相同，从而． 5.尝试证明性质2； 【证明】+＝+＝＝＝＝＝； 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法. 故选：B. 2．已知，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】组合数的计算 【分析】利用组合数公式求解. 【详解】因为，解得或，，， 所以. 故选：C. 3．正十二边形的对角线的条数是（   ） A．66 B．54 C．48 D．24 【答案】B 【知识点】组合数的计算 【分析】应用组合数计算求解. 【详解】正十二边形的对角线的条数是. 故选：B. 4．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列（数）与组合（数）的区别 【分析】可按区域分四步，由分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选； 第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案. 故选：D. 5．已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用组合数公式证明、组合数的计算、用排列数公式证明、排列数的计算 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 6．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 7．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、组合数的性质及应用 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 8．若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【详解】由，得，解得， 所以 . 故选：B 二、多选题 9．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】由组合数的性质得：. 故选：BD 10．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 11．现有男女学生共10人，若从男生中选取1人，从女生中选取2人，共有36种不同的选法，则女生有（    ） A．3人 B．4人 C．8人 D．9人 【答案】BD 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数方程和不等式 【分析】设女生有人，则男生有人，，利用组合数求出满足条件的选法，列方程求出女生人数. 【详解】设女生有人，则男生有人， 由题意得：，即， 所以，所以， 即，解得或或， 由已知，所以或， 故女生有4人或9人. 故选：BD. 三、填空题 12．若，则正整数的值为_____. 【答案】5或7 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质化简，列出方程，并计算出结果. 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 13．若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 14．已知，则的值为______（用数字作答）. 【答案】462 【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值. 【详解】由可得， 即， 化简得，整理得， 解得或， 因为，所以， 所以 . 故答案为：462. 四、解答题 15．12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件． (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 【答案】(1)126 (2)252 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算 【分析】（1）没有次品即全为正品，利用组合数公式计算可得； （2）事件分两步完成，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从9件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得. 【详解】（1）5件中没有次品的取法就是从9件正品中取5件的取法，有种． （2）第一步，先从3件次品中取2件，有种取法；第二步，从9件正品中取3件，有种取法． 利用分步乘法计数原理，知共有种取法． 16．已知，求值：； 【答案】120 【知识点】组合数的计算、裂项相消法求和 【分析】由组合数的计算公式及性质即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍）， 因为，所以， 则原式. 17.解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【详解】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 18.（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【知识点】组合数的性质及应用、利用组合数公式证明 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 19．学校食堂为学生配餐，现准备了6种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有1荤3素，则共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值． 【详解】（1）当时，学校共有6种不同的荤菜和4种不同的素菜， 若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，不同的选择方法为（种）． （2）6种不同的荤菜和种不同的素菜，任取2荤2素，不同的选择方法为（种）． 由题意，得，整理可得，解得或（舍去）， 因为，，，所以，所以的最小值为6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $