6.3.2 课时1 二项式系数的性质 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 课时1 二项式系数的性质 【基础巩固】 1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 2．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由二项式系数性质可知，第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， 当时，可知；可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 3．已知展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有第项的二项式系数为，又只有第项的二项式系数最大，所以，解得，令有， 故选：C. 4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于年所著的《详解九章算法》一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.若将这些数字依次排列构成数列则此数列的第项是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，杨辉三角每行的项数呈等差数列逐行递增，且公差为， 前行的项数和为，可知前行项数为，前行项数为， 由于前行对应第行，前行对应第行和第行， 所以第项位于第行，第个数，所以第项为. 故选：A. 5．（多选）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 【答案】AD 【解析】因为的展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以共有项，又项数为，所以，故A正确； 因为，所以展开式中所有项的二项式系数的和为， 由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等， 所以展开式中偶数项的二项式系数的和为，故B错误； 令，可得， 即，故C错误； 令，可得，即， 所以，所以， 所以展开式中奇数项的系数的和为，故D正确. 故选：AD. 6．的展开式中，第项和第项的系数相同，则展开式中的常数项为_____. 【答案】 【解析】的展开式的通项公式为， 因为展开式中第项和第项的系数相同，则，解得：， 所以,令，所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 7．若的展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则_______；展开式中的系数是_______． 【答案】； 【解析】因为的二项式系数之和为，则，解得， 即二项式为，因为展开式各项系数和为，令，代入可得，解得，即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 8．设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】见解析 【解析】(1)令，则①； (2)，则， ，则②； 得，. (3)化简 【能力拓展】 9．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式通项为， 所以，故当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 故选：A. 10．已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项和第项 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以， 则 ， 显然为正整数， 所以能被整除， 又且能被整除，所以能被整除， 所以，则，所以， 所以，所以在的展开式中，二项式系数最大的项为第项和第项，又的展开式的通项公式为， 因为第项的系数为负数，第项的系数为正数， 所以第项的系数最小，第项的系数最大. 故选：B． 11．已知，则 (1)被除的余数是___； (2)_______. 【答案】； 【解析】(1)令，则， 令，则， 所以，故， 而，其展开式的通项为， 所以，除了时外，其它各项均可被整除， 故被除的余数是. (2)等式两边求导得：， 故时，， 由(1)知：，则， 故. 故答案为：， 【素养提升】 12．在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式次系数列，如三项式次系数列为，三项式次系数列为，，． (1)试写出三项式的次和次系数列； (2)类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； (3)写出两个三项式次系数列的性质(不需要给出证明)． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意， 三项式的次系数列为：； 三项式的次系数列为：； (2) 规律：每一个数等于它上面一行正上方一个数及其左右两个数的和（没有数按0计算）. (3)性质：在中，令，可得， 性质：在中，令，可得. 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 课时1 二项式系数的性质 【基础巩固】 1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A． B． C． D． 2．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A． B． C． D． 3．已知展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A． B． C． D． 4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于年所著的《详解九章算法》一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.若将这些数字依次排列构成数列则此数列的第项是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 6．的展开式中，第项和第项的系数相同，则展开式中的常数项为_____. 7．若的展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则_______；展开式中的系数是_______． 8．设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【能力拓展】 9．若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项和第项 11．已知，则 (1)被除的余数是___； (2)_______. 【素养提升】 12．在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式次系数列，如三项式次系数列为，三项式次系数列为，，． (1)试写出三项式的次和次系数列； (2)类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； (3)写出两个三项式次系数列的性质(不需要给出证明)． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $