第五章 阶段测试1 导数的运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 阶段测试1　导数的运算 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝ln x－x2，则＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．ln 2－4 答案：B 解析：由f(x)＝ln x－x2，得f′(x)＝－2x，则＝f′(1)＝－1.故选B. 2．曲线y＝在x＝π处的切线斜率为(　　) A．0 B．π C．－π D．－ 答案：D 解析：因为y＝，所以y′＝，将x＝π代入可得切线斜率为－.故选D. 3．函数f(x)＝e1－2x的导数为(　　) A．f′(x)＝2e1－2x B．f′(x)＝－2e1－2x C．f′(x)＝2ex D．f′(x)＝－2ex 答案：B 解析：令u＝1－2x，则y＝eu，所以f′(x)＝y′·u′＝eu×(－2)＝－2e1－2x.故选B. 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝2xf′＋sinx，则f′＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：D 解析：由f(x)＝2xf′＋sinx，得f′(x)＝2f′＋cosx，令x＝，得f′＝2f′＋cos，即f′＝－.故选D. 5．曲线y＝f(x)＝ln (2x)在x＝处的切线与直线y＝3x＋5垂直，则a＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：函数f(x)＝ln (2x)，求导得f′(x)＝－ln (2x)＋，曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为f′＝4a，又曲线y＝f(x)在x＝处的切线与直线y＝3x＋5垂直，所以3×4a＝－1，解得a＝－.故选B. 二、多项选择题 6．下列求导运算正确的是(　　) A．(3x)′＝3x B.′＝－ C．(e)′＝ D．[ln (x2－1)]′＝ 答案：BC 解析：对于A，(3x)′＝3xln 3，故A错误；对于B，′＝＝－，故B正确；对于C，(e)′＝e·＝，故C正确；对于D，[ln (x2－1)]′＝，故D错误．故选BC. 7．下列命题正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．已知函数f(x)＝ln (2x＋1)，若f′(x0)＝1，则x0＝ C．若f(x)＝f′(1)x2－x，则f′(1)＝1 D．曲线y＝x3－x＋上点P处切线的倾斜角α的取值范围是 答案：BC 解析：对于A，cos＝是常数，故y′＝0，故A错误；对于B，f′(x)＝×2＝，令f′(x0)＝＝1，解得x0＝，故B正确；对于C，因为f(x)＝f′(1)x2－x，所以f′(x)＝2f′(1)x－1，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，故C正确；对于D，y′＝2x2－1≥－1，即tanα≥－1，又因为α∈[0，π)，所以曲线y＝x3－x＋上点P处切线的倾斜角α的取值范围是∪，故D错误．故选BC. 三、填空题 8．曲线y＝的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 答案： 解析：对函数y＝求导，得y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时，等号成立，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－，当且仅当x＝0时，等号成立，所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线方程为y－＝－x，即x＋4y－2＝0，切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝. 9．已知函数f(x)＝，其导函数记为f′(x)，则f(2025)＋f′(2025)＋f(－2025)－f′(－2025)＝________． 答案：2 解析：函数f(x)＝＝1＋，定义域为R，则f′(x)＝ ，f′(－x)＝＝＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，所以f′(2025)－f′(－2025)＝0，令g(x)＝f(x)－1＝，g(－x)＝＝＝－g(x)，g(x)为奇函数，所以f(2025)＋f(－2025)＝g(2025)＋1＋g(－2025)＋1＝2，所以f(2025)＋f′(2025)＋f(－2025)－f′(－2025)＝2. 10．已知f1(x)＝xex＋sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f(x)，f3(x)＝f(x)，…，fn＋1(x)＝f(x)，n∈N*，则f25(0)＝________． 答案：25 解析：根据题意，可得f2(x)＝f(x)＝(1＋x)ex＋cosx－sinx，f3(x)＝f(x)＝(2＋x)ex－sinx－cosx，f4(x)＝f(x)＝(3＋x)ex－cosx＋sinx，f5(x)＝f(x)＝(4＋x)ex＋sinx＋cosx，f6(x)＝f(x)＝(5＋x)ex＋cosx－sinx，…，依此规律，可得fk＋4(x)－fk(x)＝4ex，k∈N*，所以f25(x)＝f1(x)＋24ex，所以f25(0)＝f1(0)＋24e0＝1＋24＝25. 四、解答题 11．求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；(4)y＝ln (x2＋1)． 解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (3)y′＝′＝ ＝－. (4)y′＝·(x2＋1)′＝. 12．已知二次函数f(x)＝ax2＋ax－2b，其图象过点(2，－4)，且f′(1)＝－3. (1)求a，b的值； (2)设函数h(x)＝xln x＋x2＋f(x)，求曲线y＝h(x)在x＝1处的切线方程． 解：(1)由题意可得f(2)＝－4， 即4a＋2a－2b＝－4，① 又f′(x)＝2ax＋a，所以f′(1)＝3a＝－3，② 由①②，解得a＝b＝－1. (2)由(1)知，f(x)＝－x2－x＋2， 则h(x)＝xln x＋x2＋f(x)＝xln x－x＋2，h′(x)＝ln x， 所以h(1)＝1，h′(1)＝0，则曲线y＝h(x)在x＝1处的切线斜率为0， 所以曲线y＝h(x)在x＝1处的切线方程为y＝1. 13．[多选]已知函数f(x)＝2sinx－|x－a|的最大值为0，则a的值可能为(　　) A．－－ B.－ C.－ D．－＋ 答案：ABD 解析：因为f(x)＝2sinx－|x－a|的最大值为0，所以y＝|x－a|的图象与y＝2sinx的图象在y轴上方相切．①直线y＝x－a与y＝2sinx在(k∈Z)上的图象相切，设切点为(x0，y0)，y′＝2cosx，所以2cosx0＝1，解得x0＝＋2kπ，k∈Z，y0＝2sin＝(k∈Z)，又y0＝x0－a，所以a＝－＋＋2kπ，k∈Z，取k＝－1，得a＝－－，取k＝0，得a＝－＋；②直线y＝－(x－a)与y＝2sinx在(k∈Z)上的图象相切，设切点为(x1，y1)，y′＝2cosx，所以2cosx1＝－1，解得x1＝＋2kπ，k∈Z，y1＝2sin＝(k∈Z)，又y1＝－x1＋a，所以a＝＋＋2kπ，k∈Z，取k＝－1，得a＝－.故选ABD. 14．已知函数f(x)＝a1x2＋a2，g(x)＝f(x)－xsinx. (1)求证：当3a1＝a2＝3时，曲线C：y＝(x＋3)f(x)＋lg 关于点(－1，8)对称； (2)若点P为曲线C1，C2的公共点，且C1，C2在点P处存在共同的切线，则称该切线为C1，C2的“优切线”．若曲线y＝g(x)与曲线y＝－cosx存在两条互相垂直的“优切线”，求a1，a2的值． 解：(1)证明：当3a1＝a2＝3时，令h(x)＝(x＋3)(x2＋3)＋lg ＝x3＋3x2＋3x＋9＋lg ， 即h(x)＝(x＋1)3＋lg ＋8，定义域为(－∞，－2)∪(0，＋∞)， 所以h(－1－x)＋h(－1＋x)＝＋ ＝[(－x)3＋x3]＋＋16 ＝16， 即h(－1－x)＋h(－1＋x)＝16， 所以当3a1＝a2＝3时，曲线C：y＝(x＋3)f(x)＋lg 关于点(－1，8)对称． (2)设曲线y＝g(x)与曲线y＝－cosx的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为x1，x2，其“优切线”的斜率一定存在，分别设为k1，k2，则k1k2＝－1， 因为(－cosx)′＝sinx， 所以sinx1sinx2＝k1k2＝－1， 不妨设sinx1＝1，则x1＝2kπ＋(k∈Z)，cosx1＝0，sinx2＝－1，cosx2＝0， 因为k1＝g′(x1)＝2a1x1－sinx1－x1cosx1， 由“优切线”的定义，得 2a1x1－sinx1－x1cosx1＝sinx1， 所以a1＝＝(k∈Z)， 同理，a1＝－，所以＝－， 即x1＋x2＝0， 因为曲线y＝－cosx上的点(x1，－cosx1)也在曲线y＝g(x)上， 所以·x－x1sinx1＋a2＝－cosx1， 所以a2＝0. 所以a1＝(k∈Z)，a2＝0. 6 学科网（北京）股份有限公司 $