专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦勾股定理的逆定理及其应用核心知识点，系统梳理逆定理的判定步骤、勾股数的定义与衍生规律，对比勾股定理与逆定理的区别联系，构建从定义到几何判定、实际应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计（基础、培优、压轴）为特色，结合航海定位等实际情境和勾股数规律探究，培养学生数学眼光（抽象现实问题为几何模型）与数学思维（推理及分类讨论），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升知识应用能力。

专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点1：勾股定理的逆定理 1.核心内容：如果三角形的三边长、、（为最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2.判定步骤： 找：找出三角形三边中的最长边； 算：计算两条较短边的平方和与最长边的平方； 判：若两者相等，则为直角三角形；否则不是。 3.延伸结论：设三角形三边长为、、（为最长边）： 若，则为锐角三角形； 若，则为钝角三角形。 知识点2：勾股数 1.定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 2.满足条件： 三个数均为正整数； 两个较小数的平方和等于最大数的平方。 3.常见类型： 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25等； 衍生勾股数：勾股数的正整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）； 公式推导：①、、（的整数）；②、、（为正整数）。 知识点3：勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足 结论 三边关系 三角形是直角三角形 逻辑关系 由“形”到“数”（直角三角形→数量关系） 由“数”到“形”（数量关系→直角三角形） 应用场景 已知直角三角形，求边长 已知三角形边长，判形状 知识点4：逆定理的核心应用场景 1.几何判定：判断三角形是否为直角三角形、线段是否垂直； 2.实际问题：航海定位、路径规划、安全区域判断等； 3.综合应用：与勾股定理结合求边长、面积、角度，解决折叠、旋转等几何变换问题。 【基础必考题型】 【题型1】判断三边能否构成直角三角形 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 最长边的识别与平方计算 2.解题方法技巧 先排序确定最长边，避免漏判； 对含字母或根式的边长，先化简再计算平方（如，化简后再参与运算）； 注意非正整数边长虽可能满足，但不属于勾股数相关判定。 【例题1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 【答案】A 【分析】将各组数据中较小两边的平方和与最大边的平方比较，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A．，可得，能构成直角三角形； B．，，不能构成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形； D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过验证每组木棒长度是否满足较小两边的平方和等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A：∵，，， ∴不能构成直角三角形． B：∵，，， ∴不能构成直角三角形． C：∵，，， ∴不能构成直角三角形． D：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 【变式题1-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知一个各顶点坐标为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据平面直角坐标系内两点间的距离公式求出的长，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形．理由如下： ∵各顶点坐标为，，， ∴， ， ， ，， 为等腰三角形． 【题型2】勾股数的识别与补充 1.核心知识点 勾股数的定义与满足条件 勾股数的衍生规律 2.解题方法技巧 先验证是否为正整数，再计算平方关系； 补充勾股数时，可利用基础勾股数放大倍数（如3、4、5→9、12、15），或通过公式推导； 排除含小数、分数、无理数的组合。 【例题2】.（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【答案】C 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（    ） A．13 B． C．13或 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股定理和勾股数的知识是解题的关键．勾股数是指三个正整数满足勾股定理，需检查选项是否为正整数且与5、12满足． 【详解】解：当5和12为直角边时，斜边，为正整数； 当12为斜边时，另一直角边，不是正整数； ∴ 只有13满足勾股数定义， 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． (1)60，_____，_____； (2)60，_____，_____； (3)60，_____，_____． 【答案】(1)80，100 (2)45，75 (3)36，48 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键． （1）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可． 【详解】（1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100； 故答案为：80，100； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75； 故答案为：45，75； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60； 故答案为：36，48． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 【题型3】利用逆定理求简单角度 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质（直角为90°） 2.解题方法技巧 先通过逆定理判定直角三角形，确定直角； 结合三角形内角和、等腰三角形等性质，推导其他角度； 若为多三角形组合，可通过连线构造直角三角形。 【例题3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握通过构造辅助线将四边形问题转化为三角形问题，利用勾股定理及逆定理求解角度是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质求出的长度和的度数，再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到的度数，最后将和相加得到的度数． 【详解】解：，， ，． 由勾股定理，得． ，， ，， ， 为直角三角形，， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，已知，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】逆定理与勾股定理的综合求值（边长/面积） 1.核心知识点 勾股定理及其逆定理 三角形面积公式（直角三角形面积=两直角边乘积/2） 2.解题方法技巧 先通过逆定理判定直角三角形，再用勾股定理求未知边长； 不规则图形（如四边形）可通过连线分割为直角三角形，分步求面积； 遇中线、折叠等条件，可利用“倍长中线”“折叠前后边长相等”转化线段。 【例题4】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键． （1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明，据此可证明结论； （2）过点P作于点E，由角平分线的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，； （2）解：如图所示，过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定加工成，，，，的四边形．假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理的应用，学会用割补法去计算图形的面积是解题的关键．由勾股定理逆定理可得与均为直角三角形，进而可求解其面积． 【详解】 ，，， 即 ∵，， 即， ∴， 故这块钢板的面积为 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键． （1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到， （2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形 ∴， ． （2）解：设 ∵ ∴ ∵ ∴ 在 中， ∵ ∴ ∴ ∴。 ∴ ∴ ∴的长为． 【题型5】实际情境应用（航海/定位/安全区域） 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 实际问题与几何图形的转化 2.解题方法技巧 将实际场景中的距离、方位转化为三角形边长； 通过逆定理判定直角三角形，确定方位角、最短路径或安全范围； 计算时注意单位统一，结果结合实际情境验证合理性。 【例题5】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 【答案】(1),理由见解析 (2)约为． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理及面积法的综合应用，解题的关键是利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，并结合几何图形的性质，通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题． （1） 利用勾股定理的逆定理，验证与的数量关系，从而判断； （2） 作，结合勾股定理求、面积法求，最后加上轮半径得到到地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ． 为直角三角形，且． ． （2）解：过点作于点， 在中，，， 由面积相等得： 。 滚轮半径， ∴左边缘D到地面的距离. 答：购物车上篮子的左边缘到地面的距离约为． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)240米 (2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140米 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，过C作于点D，根据三角形面积求得的长即可； （2）由于米，小于安全距离250米．因此公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，需要暂时封锁．连接、，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ， 是直角三角形，． 如图，过C作于点D， ∴， 即， ∴米， 答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米． ∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 连接、， 米，， ， ∵在中，（米）， （米）， 即需要封锁的公路长为140米． 【题型6】含参数的直角三角形判定 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 方程思想的应用 2.解题方法技巧 设未知边长为参数，根据逆定理列方程； 注意分类讨论（如参数可能为最长边或较短边），避免漏解； 求解后验证边长是否为正，符合三角形三边关系。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且． 设． 由折叠的性质，得，， ． ∵在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为． 故选：A． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，已知，，，，，点为的中点． (1)求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能正确作辅助线是解此题的关键． （1）延长交的延长线于F，证明，将四边形的面积转化为三角形的面积来解答； （2）连接，由垂直平分线的性质得到，设，根据勾股定理列方程可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长交的延长线于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ∴ ； （2）如图2，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股数的规律探究 1.核心知识点 勾股数的定义与衍生规律 代数推理能力 2.解题方法技巧 观察已知勾股数的结构（如奇数勾股数、偶数勾股数的差异）； 通过代数变形推导通用公式，验证规律的正确性； 结合数列、方程等知识，拓展勾股数的应用。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）证明： ， ∴， ∴是勾股数； （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 【答案】(1)11，60，61 (2)勾：，股：，弦：；关系式为弦股 ，证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，再由勾为11，可求出答案； （2）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，据此可得股、弦，进而猜想关系证明即可． 【详解】（1）解：当勾时，股，弦， ∴下一组勾股数为11，60，61； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 股和弦的关系式为弦股，证明如下： 弦股 ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 【题型8】多三角形组合中的逆定理应用 1.核心知识点 勾股定理及其逆定理 全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 通过连线构造多个三角形，分别用逆定理判定直角； 利用全等三角形转移线段或角度，建立各三角形间的联系； 适用于含公共边、互补角的复杂几何图形。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或2． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积与线段比的关系，分类讨论思想，掌握勾股定理及其逆定理，以及分类讨论的方法是解题的关键． （1）先求出的长度，由得到的长度，再用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到，最后在中用勾股定理求的长． （2）分点在线段上和延长线上两种情况，由面积比得到与的比例，求出的长度，再通过角度关系证明，进而得到的长． 【详解】（1）解：， ． ，， ， 是直角三角形，且， ． 在中，． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图． ， ， ． ， ． 同理可得， ． 综上所述，的长为或2． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】(1)直角 (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到，中垂线的性质结合等边对等角得到，进而推出，即可得证；②连接，设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 【答案】(1)是 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股逆定理即可判断出是等腰直角三角形，进而由三线合一可知，再根据是等腰直角三角形，即可得解； （2）由（1）思路过A作于点L，易得，再证，即可得，，据此求解； （3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解． 【详解】（1）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，是等腰直角三角形， ； 故答案为：是，； （2）， ， 过A作于点L， 则， 在中，， ， 由题可知， ， 在和中， ， ∴， ，， 记交点为O， 则， ， ； （3）在中，， 当点P在下方时，如图， 连接，将逆时针旋转得到线段，连接， 则， ， 在和中， ， ， ，， 在四边形中，， ， ， 、C、G三点共线， 为等腰直角三角形， 过A作于点H，则， 即h的值为； 当点P在上方时，如图， 同理可得， ， ； 综上，h的值为 易错点 1.判定直角三角形时，未先确定最长边，直接计算任意两边平方和，导致结论错误。 2.混淆勾股数与非正整数组合，误将0.3、0.4、0.5等非正整数组合视为勾股数。 3.应用逆定理时，忽略三角形三边关系（两边之和大于第三边），导致参数求解后边长无效。 4.实际问题转化时，单位不统一或方位判断错误，影响几何模型构建。 5.折叠/旋转问题中，未正确识别对应边，导致边长关系错误，无法应用逆定理。 重点 1.掌握勾股定理逆定理的核心内容与判定步骤，能准确判断三角形是否为直角三角形。 2.识别常见勾股数及其衍生规律，能补充、验证勾股数。 3.熟练进行逆定理与勾股定理的综合应用，求解边长、面积、角度等问题。 4.能将实际情境转化为几何模型，用逆定理解决航海、定位等实际问题。 5.掌握网格、折叠、旋转等场景下的逆定理应用技巧。 难点 1.含参数的直角三角形判定，需分类讨论参数的位置（最长边或较短边），避免漏解。 2.不规则图形的分割与转化，需合理连线构造直角三角形，分步求解。 3.勾股数的规律探究与代数推导，要求具备较强的归纳推理能力。 4.跨学科与复杂情境问题的建模，需准确提取几何本质，结合逆定理解决核心问题。 5.无刻度尺规作图，需灵活运用逆定理与作图规则，实现目标图形绘制。 【对应练习题】 一、单选题 1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题关键是先确定每组线段中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形． 【详解】解：A、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； B、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； C、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； D、最长边为，，即，能组成直角三角形，符合题意． 故选：D． 2．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形三边长中两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断即可． 【详解】解：A．，故不是直角三角形，不符合题意， B．，故不是直角三角形，不符合题意， C．，故是直角三角形，符合题意， D．，故不是直角三角形，不符合题意， 故选：C． 3．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 4．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 5．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 7．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 8．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合． 【详解】解：，，，， ，，，， ，， ∴能构成三角形的组合为，，， ，，，， ， ∵，， ，， ，， ，， ∴能构成直角三角形的组合为，， ∴一共能拼出2个直角三角形， 故答案为：2． 10．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 三、解答题 11．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是，货船的速度是，货船沿南偏东方向航行，后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距．求客船航行的方向． 【答案】北偏东 【分析】证明是直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，． ， 是直角三角形，且． 货船沿南偏东方向航行， 客船航行的方向为北偏东． 12．车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，先在中由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，根据为等腰直角三角形得到，即可求解的度数； （2）先求出四边形的面积，然后对运用面积公式求解，最后再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离为250米．社区小路紧邻活动区，计划在小路上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线的垂线段的长度为120米，且线段的长度为150米．规划示意图如下． (1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度． (2)判断线段的长度是否是健身区B到小路的最短距离？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)的长度是健身区B到小路的最短距离，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理求出，得到，进而根据勾股定理即可求出电缆的长度； （2）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，得到，根据垂线段最短作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， 答：电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度； （2）解：的长度是健身区B到小路的最短距离，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的长度是健身区B到小路的最短距离． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【答案】(1)；； (2)见解析 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)风筝垂直下降的高度为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【详解】（1）解：他的说法正确．理由如下： ∵，，， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点1：勾股定理的逆定理 1.核心内容：如果三角形的三边长、、（为最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2.判定步骤： 找：找出三角形三边中的最长边； 算：计算两条较短边的平方和与最长边的平方； 判：若两者相等，则为直角三角形；否则不是。 3.延伸结论：设三角形三边长为、、（为最长边）： 若，则为锐角三角形； 若，则为钝角三角形。 知识点2：勾股数 1.定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 2.满足条件： 三个数均为正整数； 两个较小数的平方和等于最大数的平方。 3.常见类型： 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25等； 衍生勾股数：勾股数的正整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）； 公式推导：①、、（的整数）；②、、（为正整数）。 知识点3：勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足 结论 三边关系 三角形是直角三角形 逻辑关系 由“形”到“数”（直角三角形→数量关系） 由“数”到“形”（数量关系→直角三角形） 应用场景 已知直角三角形，求边长 已知三角形边长，判形状 知识点4：逆定理的核心应用场景 1.几何判定：判断三角形是否为直角三角形、线段是否垂直； 2.实际问题：航海定位、路径规划、安全区域判断等； 3.综合应用：与勾股定理结合求边长、面积、角度，解决折叠、旋转等几何变换问题。 【基础必考题型】 【题型1】判断三边能否构成直角三角形 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 最长边的识别与平方计算 2.解题方法技巧 先排序确定最长边，避免漏判； 对含字母或根式的边长，先化简再计算平方（如，化简后再参与运算）； 注意非正整数边长虽可能满足，但不属于勾股数相关判定。 【例题1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 【变式题1-2】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【变式题1-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知一个各顶点坐标为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【题型2】勾股数的识别与补充 1.核心知识点 勾股数的定义与满足条件 勾股数的衍生规律 2.解题方法技巧 先验证是否为正整数，再计算平方关系； 补充勾股数时，可利用基础勾股数放大倍数（如3、4、5→9、12、15），或通过公式推导； 排除含小数、分数、无理数的组合。 【例题2】.（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（    ） A．13 B． C．13或 D．10 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． (1)60，_____，_____； (2)60，_____，_____； (3)60，_____，_____． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【题型3】利用逆定理求简单角度 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质（直角为90°） 2.解题方法技巧 先通过逆定理判定直角三角形，确定直角； 结合三角形内角和、等腰三角形等性质，推导其他角度； 若为多三角形组合，可通过连线构造直角三角形。 【例题3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，已知，，则的度数为____________． 【培优高频题型】 【题型4】逆定理与勾股定理的综合求值（边长/面积） 1.核心知识点 勾股定理及其逆定理 三角形面积公式（直角三角形面积=两直角边乘积/2） 2.解题方法技巧 先通过逆定理判定直角三角形，再用勾股定理求未知边长； 不规则图形（如四边形）可通过连线分割为直角三角形，分步求面积； 遇中线、折叠等条件，可利用“倍长中线”“折叠前后边长相等”转化线段。 【例题4】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定加工成，，，，的四边形．假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型5】实际情境应用（航海/定位/安全区域） 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 实际问题与几何图形的转化 2.解题方法技巧 将实际场景中的距离、方位转化为三角形边长； 通过逆定理判定直角三角形，确定方位角、最短路径或安全范围； 计算时注意单位统一，结果结合实际情境验证合理性。 【例题5】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【题型6】含参数的直角三角形判定 1.核心知识点 勾股定理的逆定理 方程思想的应用 2.解题方法技巧 设未知边长为参数，根据逆定理列方程； 注意分类讨论（如参数可能为最长边或较短边），避免漏解； 求解后验证边长是否为正，符合三角形三边关系。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，已知，，，，，点为的中点． (1)求四边形的面积； (2)若，求的长． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股数的规律探究 1.核心知识点 勾股数的定义与衍生规律 代数推理能力 2.解题方法技巧 观察已知勾股数的结构（如奇数勾股数、偶数勾股数的差异）； 通过代数变形推导通用公式，验证规律的正确性； 结合数列、方程等知识，拓展勾股数的应用。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【题型8】多三角形组合中的逆定理应用 1.核心知识点 勾股定理及其逆定理 全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 通过连线构造多个三角形，分别用逆定理判定直角； 利用全等三角形转移线段或角度，建立各三角形间的联系； 适用于含公共边、互补角的复杂几何图形。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 易错点 1.判定直角三角形时，未先确定最长边，直接计算任意两边平方和，导致结论错误。 2.混淆勾股数与非正整数组合，误将0.3、0.4、0.5等非正整数组合视为勾股数。 3.应用逆定理时，忽略三角形三边关系（两边之和大于第三边），导致参数求解后边长无效。 4.实际问题转化时，单位不统一或方位判断错误，影响几何模型构建。 5.折叠/旋转问题中，未正确识别对应边，导致边长关系错误，无法应用逆定理。 重点 1.掌握勾股定理逆定理的核心内容与判定步骤，能准确判断三角形是否为直角三角形。 2.识别常见勾股数及其衍生规律，能补充、验证勾股数。 3.熟练进行逆定理与勾股定理的综合应用，求解边长、面积、角度等问题。 4.能将实际情境转化为几何模型，用逆定理解决航海、定位等实际问题。 5.掌握网格、折叠、旋转等场景下的逆定理应用技巧。 难点 1.含参数的直角三角形判定，需分类讨论参数的位置（最长边或较短边），避免漏解。 2.不规则图形的分割与转化，需合理连线构造直角三角形，分步求解。 3.勾股数的规律探究与代数推导，要求具备较强的归纳推理能力。 4.跨学科与复杂情境问题的建模，需准确提取几何本质，结合逆定理解决核心问题。 5.无刻度尺规作图，需灵活运用逆定理与作图规则，实现目标图形绘制。 【对应练习题】 一、单选题 1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 4．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 二、填空题 6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 7．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 8．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 9．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形． 10．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 三、解答题 11．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是，货船的速度是，货船沿南偏东方向航行，后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距．求客船航行的方向． 12．车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 13．某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离为250米．社区小路紧邻活动区，计划在小路上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线的垂线段的长度为120米，且线段的长度为150米．规划示意图如下． (1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度． (2)判断线段的长度是否是健身区B到小路的最短距离？并说明你的理由． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $