专题01 导数中的切线方程问题（六大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题01 导数中的切线方程问题 目录 典例讲解 类型一、“在”点的切线方程 类型二、“过”点的切线方程 类型三、公切线问题 类型四、切线的平行和垂直问题 类型五、已知切线的条数求参数 类型六、与切线有关的最值问题 压轴专练 类型一、“在”点的切线方程 处理方式：求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 【例2】已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 【变式1-1】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 【变式1-2】已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【答案】1 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 【变式1-3】曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 【答案】 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 类型二、“过”点的切线方程 处理方式：求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例3】若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数__________. 【答案】 【详解】对求导，得到，设切点为，斜率为. 斜率还可以表示为，即，解得，则斜率为. 则切线方程为.切线与圆相切,则， 整理得，，解得. 故答案为： 【例4】已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 【变式2-1】过原点与曲线相切的一条切线的方程为______. 【答案】或或(写出其中一条即可) 【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 【变式2-2】求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】或 【详解】设切点为，则切线的斜率为 ． 又， ，解得或． 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即； 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即． 故所求切线方程为或． 【变式2-3】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 类型三、公切线问题 处理方式：研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线 注：切点可能相同，可能不相同 【例5】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【例6】已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得，， 设斜率为1的切线在，上的切点横坐标分别为，， 所以，则，， 两点处的切线方程分别为，， 所以，即， 所以b的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-1】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式3-2】已知函数，其反函数为，若直线为与的图象的公切线，则（    ） A． B． C．或 D．这样的不存在 【答案】C 【详解】因为反函数为，所以， 设是曲线的切点， 设是曲线的切点， 因为，， 所以的切线方程为：， 即， 所以的切线方程为：， 即， 又因为直线为与的图象的公切线， 所以，解得， 故选：C. 【变式3-3】已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则______，切线方程为______． 【答案】 【详解】解析：设两曲线的交点为，∵，，∴由题意可 得解得，，故，∴切线方程为． 类型四、切线的平行和垂直问题 【例7】曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 【例8】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∴， 设切点坐标为，则切线的斜率， 解得，所以， 故切线的方程为，即． 故选：A 【变式4-1】若曲线在点处的切线与直线平行，则__________. 【答案】 【详解】由题意知，令，则 ，， ， 所以点在曲线上， ， ， ，， ， 所以， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，得. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【答案】 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 【变式4-3】若函数在区间内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】 设存在两点满足在该点处的切线相互垂直， 则 因为，所以 从而 或 故答案为： 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 类型五、已知切线的条数求参数 处理方式：求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线条数问题转化为关于方程的实根个数问题。 【例9】若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，设切点， 所以在点处的切线方程为，因为切线过点， 所以，整理为， 即，设， ， 当时，，当或时，， 所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增， 所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即. 故选：C 【例10】过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 【变式5-1】函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 【变式5-2】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式5-3】已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________． 【答案】 【详解】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是. 故答案为：. nn 类型六、与切线有关的最值问题 【例11】函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 【例12】已知函数，若且，则最小值是________． 【答案】/ 【详解】   由得，令得，得切点坐标， 则可得切线方程为，即， 再令，得，于是符合题意的，因此：． 故答案为：. 【变式6-1】设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 【变式6-2】点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【变式6-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为______. 【答案】 【详解】       由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得：； 由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得； 由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直.. 故答案为：. 1．若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】由题意，设切点为，圆的标准方程为，即圆心为，半径，， 且有曲线与圆有公切线，即两方程在切点处切线的斜率相同， 易得，则曲线在切点处的斜率为， 易得，则圆在的切线的斜率为， 则有，即， 同时切点在圆上，则有， 联立，得，解得， 因为，所以有，此时有， 故选：D. 2．已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线的切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，设曲线在处的切线为，则与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对求导，得，当时，，， 所以曲线在处的切线的方程为． 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 故与两条坐标轴的交点分别为、， 所以与两坐标轴所围成的图形为， 其面积， 当且仅当时，即当时取等号， 所以，与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为. 故选：C． 4．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 5．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 6．已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点为， 则， 所以切线的斜率为， 又因为切线过点， 所以，即， 令， 则，令，得或， 当或时，，当时，， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极大小值， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有3个解， 则，解得， 故选：D 7．若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A 8．已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】如图，设的切线为，设切点， 则，所以在A处切线的斜率， 则切线方程为， 所以，解得或（舍）， 则， 结合图形知的取值范围是. 故答案为： 9．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 10．过曲线C：上一点P作C的切线交x轴于点Q，已知，则切线PQ的方程为______． 【答案】或 【详解】不妨设，由题得，则曲线在点处的切线方程为， 则，则，即， 化简得，即， 令，，则，解得或（舍），即或， 则切线的方程为或． 故答案为：或 11．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为______． 【答案】或 【详解】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 12．已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 13．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数中的切线方程问题 目录 典例讲解 类型一、“在”点的切线方程 类型二、“过”点的切线方程 类型三、公切线问题 类型四、切线的平行和垂直问题 类型五、已知切线的条数求参数 类型六、与切线有关的最值问题 压轴专练 类型一、“在”点的切线方程 处理方式：求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【例2】已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【变式1-1】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【变式1-3】曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 类型二、“过”点的切线方程 处理方式：求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例3】若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数__________. 【例4】已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【变式2-1】过原点与曲线相切的一条切线的方程为______. 【变式2-2】求过点且与曲线相切的直线方程． 【变式2-3】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 类型三、公切线问题 处理方式：研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线 注：切点可能相同，可能不相同 【例5】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【例6】已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是__________. 【变式3-1】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】已知函数，其反函数为，若直线为与的图象的公切线，则（    ） A． B． C．或 D．这样的不存在 【变式3-3】已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则______，切线方程为______． 类型四、切线的平行和垂直问题 【例7】曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【例8】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若曲线在点处的切线与直线平行，则__________. 【变式4-2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【变式4-3】若函数在区间内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数的取值范围为________. 类型五、已知切线的条数求参数 处理方式：求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线条数问题转化为关于方程的实根个数问题。 【例9】若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 【变式5-1】函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【变式5-2】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【变式5-3】已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________． 类型六、与切线有关的最值问题 【例11】函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知函数，若且，则最小值是________． 【变式6-1】设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为______. 1．若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2．已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 3．在平面直角坐标系中，设曲线在处的切线为，则与两条坐标轴所围成的图形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 5．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 9．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 10．过曲线C：上一点P作C的切线交x轴于点Q，已知，则切线PQ的方程为______． 11．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为______． 12．已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 13．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $