专题03 导数与原函数混合构造函数（五大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题03 导数与原函数混合构造函数 目录 典例讲解 类型一、加减型构造 类型二、乘法型构造 类型三、除法型构造 类型四、含指数高次幂构造 类型五、含三角函数构造 压轴专练 类型一、加减型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）对于不等式，构造 【例1】已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 令，对求导，得， ，即在上为减函数， ， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 【例2】已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，则，所以为偶函数， 所以， 又当时，， 所以当时，则在为减函数， 故在上为增函数， 又不等式 可化为，即， 由为偶函数，不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D． 【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】令，，则. 因为对都有，所以，所以函数在上单调递增. 因为，所以不等式，即的解集为. 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1-2】设函数在上存在导函数，对于，都有及成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，定义域为， ，∴函数为奇函数， ，∴函数在上是增函数， 又， ，即，即， 解得：. 故选：A. 【变式1-3】已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意构造函数 ，则 ， 函数在 上为减函数． . 又，， 的解为 不等式的解集为. 故答案为A. 【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，考查学生构造函数的能力及三角函数单调性应用，属于中档题. 类型二、乘法型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3），构造 【例3】定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得，所以在上单调递增， 由可得，所以是以为一个周期的周期函数， 则，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 【例4】设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造，对其求导， ， 已知，且，因此，即在上单调递增. 已知，代入得： ， ， 两边同乘(即)，得： ， 根据的定义，左边即为，因此不等式等价于： ， 因为单调递增，所以， 解得， 又因为中，故解集为. 故选：B 【变式2-1】已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，且，，， 因此. 故选：C. 【变式2-2】已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故选：B. 【变式2-3】设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 【答案】 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递减， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即是上的奇函数， 故函数在上单调递减，， 又为偶函数，则，所以，所以， 不等式等价于，结合图象解得或， 则不等式的解集为. 类型三、除法型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）构造 【例5】已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D 【例6】已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选：A 【变式3-1】已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，当时，，时函数单调递增． ，，． 因为，所以． 故选：A. 【变式3-2】已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，可得， 因为对任意时，都有， 所以，在上单调递增， 又因为函数为上的偶函数，可得也是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且图象关于轴对称， 由不等式，即， 即，所以，可得， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意都有，即， 令，则， 即在上单调递增， 又因为为奇函数， 所以，则， 而不等式等价于， 即，又因为在上单调递增，所以. 故选： 类型四、含指数高次幂构造 处理方式： （1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造（注意的符号） 【例7】已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 【例8】设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 【变式4-1】定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 【变式4-2】函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 【变式4-3】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 则， 当时，，则， 即在上是减函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递增， 所以，， 又时，，即， 由不等式， 当时，可得，符合题意； 当时，不等式即为，等价为， 所以，解得，且. 综上所述，不等式的解集为． 故选：B. 类型五、含三角函数构造 处理方式： （1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）对于不等式，即，构造 （4）对于不等式，构造 【例9】已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，则， 令，， 当时， 所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即是上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又， 不等式，即， 即，所以， 由解得，所以由，即，解得， 综上，所以不等式的解集为， 故选：D 【例10】设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，所以为减函数， 所以， 即， 故选：D 【变式5-1】已知定义在上的函数满足，且当时，，且有，则的解集为______． 【答案】 【详解】因当时，，则由可得， 令，，则，故在上单调递增， 因为上的函数且满足， 则，则为上的偶函数， 又，则， 因时，则即，也即， 结合的奇偶性和单调性可得，，解得， 故的解集为. 故答案为：. 【变式5-2】已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】由题意知，当时，，即， 因为，令函数，则在上单调递增， 又由在上的偶函数，可得， 所以函数在上为偶函数，且在上单调递减， 因为，因此，且，即， 即，即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-3】已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 【答案】 【详解】设，则， 所以在上是增函数， 不等式可化为， 即，所以，解得. 故答案为： 1．设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，， 故(为常数)， 又， 故， 所以，定义域为，， 所以在区间上单调递减， 因为，所以， 又由， 故. 故选：A. 2．定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 3．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为函数在上是可导的偶函数， 所以，所以， 所以在上也是偶函数, ， 又当时，，， ，在上是增函数 由得 ，，． 故选：C． 4．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故． 故选：C. 5．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 6．设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【详解】设函数，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，， ， 又，所以． 故答案为：． 7．已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为________ 【答案】 【详解】令函数，由，得， 因此函数在R上单调递减，而， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 其中， 故，所以， 又，解得. 故答案为： 9．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由，得，则， 设，则为上的增函数， ，． 由，得，即， 因此，得，即，又，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 10．若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是________． 【答案】 【详解】令，则函数定义域为， 且对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为函数是偶函数，所以， 所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，所以， 所以当时，不等式即， 即，所以， 当时，不等式即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 11．已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】不等式变形为， 设函数， 则， 因为，所以在上恒成立，则在上单调递增， 又，则， 所以不等式即为， 由在上单调递增，可得， 即不等式的解集为． 故答案为：． 12．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，求导得，而， 则，函数在上单调递减， 不等式，即， 因此，解得，所以所求解集为. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数与原函数混合构造函数 目录 典例讲解 类型一、加减型构造 类型二、乘法型构造 类型三、除法型构造 类型四、含指数高次幂构造 类型五、含三角函数构造 压轴专练 类型一、加减型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）对于不等式，构造 【例1】已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为__________. 【变式1-2】设函数在上存在导函数，对于，都有及成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 类型二、乘法型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3），构造 【例3】定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例4】设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 类型三、除法型构造 处理方式：（1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）构造 【例5】已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 类型四、含指数高次幂构造 处理方式： （1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造（注意的符号） 【例7】已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 类型五、含三角函数构造 处理方式： （1）对于不等式，构造 （2）对于不等式，构造 （3）对于不等式，即，构造 （4）对于不等式，构造 【例9】已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例10】设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知定义在上的函数满足，且当时，，且有，则的解集为______． 【变式5-2】已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 【变式5-3】已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 1．设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是__________． 7．已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为________ 8．已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为______. 10．若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是________． 11．已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______. 12．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $