专题02 导数与函数的单调性、极值和最值（七大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题02 导数与函数的单调性、极值和最值 目录 典例讲解 类型一、已知函数在区间上单调求参数 类型二、利用导数比较大小 类型三、利用导数解决不等式 类型四、谈论含参函数的单调性 类型五、根据极值求参数 类型六、根据极值点的个数求参数 类型七、利用导数解决实际问题 压轴专练 类型一、已知函数在区间上单调求参数 处理方式：已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例1】如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 【例2】已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 【变式1-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 【变式1-2】已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由在上单调递增，得不等式 在上恒成立，令， 而在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此在上恒成立， 令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此， 所以实数a的最大值为. 故选：B 【变式1-3】已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 【答案】 【详解】，因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立．即在区间上恒成立，所以，， 因为，所以，当时，取得最大值， 所以，则的最小值为. 类型二、利用导数比较大小 【例3】已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 【例4】已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 【变式2-1】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， ，，， 构造函数，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因，所以，即，即，所以； 又，所以，即.综上，. 故选：C. 【变式2-2】已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 所以，，即，故， 所以，，即， 又因为，即， 因此，. 故选：A. 【变式2-3】已知，，，则、、的大小关系是_________． 【答案】 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 类型三、利用导数解决不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得， 故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得， 故选：B． 【例6】若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知在上单调递减，且是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是． 故选：． 【变式3-1】已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】由题可知的定义域为， 因为，所以在上单调递增， 则，在上恒成立， 令，则， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以， 又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3-2】已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因为函数（为常数）为上的偶函数， 所以， 所以，则， 对于，， 当时，， 所以，单调递增， 且单调递增，所以在上单调递增， 所以， 平方得，解得或. 故答案为： 【变式3-3】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    【答案】 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 类型四、谈论含参函数的单调性 处理方式：讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 【例7】求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 【例8】已知函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式4-1】已知函数． (1)求的单调区间； 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式4-2】已知函数．求的单调区间 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【变式4-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 类型五、根据极值求参数 处理方式：由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 【例9】若函数的极大值是6，则______. 【答案】6 【详解】设，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得函数在处取得极大值6，即，解得. 故答案为：6 【例10】已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得， “函数在上有极值”等价于“在上有根”， 即有正实数根， 由于当时的值域为, 所以有正实数根等价于，即. 所以“函数在上有极值”的充分必要条件是“” 显然，BCD项均不满足函数在上有极值的充分条件. 只有A中是的充分必要条件， 故选：A. 【变式5-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 【变式5-2】若函数在上有极值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意可知：， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 令，则在内有变号零点. 令，分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，在上单调递减， 故在上单调递减，无极值，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在区间上有极值点， 所以在区间上有变号零点， 因为，所以分离得：. 令，， 由，得或（舍去）， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 于是， 又， 所以，即. 故选： D 类型六、根据极值点的个数求参数 处理方式：（1）求并化简，明确原函数定义域（后续分析均在定义域内）； （2）等价转化：极值点个数 = 变号零点个数，令，转化为方程零点问题； （3）优先参变分离得，分离困难则构造并求二阶导； （3）图象/单调性分析： 参变分离：分析的单调、最值、极限，结合与交点个数定范围； 构造函数：分析的单调、极值、极限，列不等式组（如两极值异号对应2个变号零点）； （4）检验临界值、零点是否为变号零点，确保零点在定义域内。 【例11】若函数没有极值，则__________． 【答案】 【详解】解：， 当时，． 令，得；令，得． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值． 当时，方程必有一个正数解， （1）若，此正数解为，此时，在上单调递增，无极值． （2）若，此正数解为，必有个不同的正数解，存在个极值． 综上，． 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，考查分类讨论思想，是中档题. 【例12】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 【变式6-1】若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 【变式6-2】若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，单调减，当时，，单调增， 所以，显然当x趋于无穷大时，趋于无穷大， 所以； 又函数在区间有2个极值点，所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解，设，则， 所以当时，，单调减，当时，，单调增， 所以，显然当x趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式6-3】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，. 令，得或，且当时，， 当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为. 从而的极小值为，无极大值. （2）因为，所以. 因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点. 令，则， 显然在上单调递增，且，所以在上恒成立， 则在上单调递增. 要使在上恰有一个变号零点，则， 即，故的取值范围为. 类型七、利用导数解决实际问题 【例13】将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 由题意可知，方盒底面为正方形，其边长为，高为， 由可得， 该方盒的容积为，其中， 则，由可得（舍）或，列表如下： 增 极大值 减 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故该方盒容积的最大值为. 故选：B. 【例14】某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由题意得：，则， 总成本函数为． 所以． （2）因为， ． 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时函数有极小值也是最小值为． 此时，则． 答：使得易拉罐总制造成本最低时的底面半径r和高h的比值为． 【变式7-1】在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，， 所以正六棱柱容器的容积为， 由知， 当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 故选：C 【变式7-2】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元. (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的. 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）设容器的容积为，由题意知， 故，由于， 因此，整理得， 所以建造费用. 因此，定义域为. （2）由（1）得， 由于，所以， 当时，. 令，则， 所以. ①当，即时，当时，； 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，也是最小值点. ②当，即时， 当时，，函数在上单调递减， 所以是函数的最小值点. 综上所述，当，建造费用最小时； 当，建造费用最小时. 【变式7-3】学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 1．已知，且，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，由可得。又， 故 设，显然为增函数，因为，所以. 因为，且为增函数，所以， 同理，设，因为，且为增函数，所以， 结合，可知则. 令，设，则， 当时，单调递增，则在上单调递增， 故，解得. 故选：B. 2．已知则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，设， 则（当且仅当时取等号），即在上单调递减， 又，故当时，，即由可得； 当时，， 而，即，则有， 故当时，恒成立， 综上，可得的解集为 故选：C 3．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故． 故选：C． 4．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 5．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 6．如图，某公园内有一个三角形的人工湖，其中．为便于游客观光，公园的主管部门准备修建两条观光近和（为线段上一点，且异于），已知修建的单位长度费用是修建的单位长度费用的3倍，要使修建这两条观光道的费用最低，则______． 【答案】 【详解】设，修建的单位长度费用为，修建总费用为， 则， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，则取得最小值． 故答案为： 7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是______． 【答案】8 【详解】如图，铁管不倾斜时，令， ，，，， . 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 此时通过最大长度，所以，所以倾斜后能通过的最大长度， 所以. 故答案为：8. 8．若函数在处取得极值，则__________. 【答案】1 【详解】由，令得， 构造函数，求导得：， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 且，因为，有，， 所以只有一个解，且， 则，且时，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得极大值， 所以. 故答案为：1 9．已知函数，且，，，则的大小关系为________． 【答案】 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 10．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 11．设函数在及时取得极值．若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以, 又因为函数在及时取得极值， 所以， 即，所以. 所以， . 或时，；当时，， 可知在和上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为与中最小的一个． 因为，所以． 所以只需．即， 因此c的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数与函数的单调性、极值和最值 目录 典例讲解 类型一、已知函数在区间上单调求参数 类型二、利用导数比较大小 类型三、利用导数解决不等式 类型四、谈论含参函数的单调性 类型五、根据极值求参数 类型六、根据极值点的个数求参数 类型七、利用导数解决实际问题 压轴专练 类型一、已知函数在区间上单调求参数 处理方式：已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例1】如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 类型二、利用导数比较大小 【例3】已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，，，则、、的大小关系是_________． 类型三、利用导数解决不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6】若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，则不等式的解集为__________. 【变式3-2】已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为__________. 【变式3-3】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    类型四、谈论含参函数的单调性 处理方式：讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 【例7】求函数的单调区间． 【例8】已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式4-1】已知函数． (1)求的单调区间； 【变式4-2】已知函数．求的单调区间 【变式4-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 类型五、根据极值求参数 处理方式：由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 【例9】若函数的极大值是6，则______. 【例10】已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式5-2】若函数在上有极值，则的取值范围是______． 【变式5-3】若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六、根据极值点的个数求参数 处理方式：（1）求并化简，明确原函数定义域（后续分析均在定义域内）； （2）等价转化：极值点个数 = 变号零点个数，令，转化为方程零点问题； （3）优先参变分离得，分离困难则构造并求二阶导； （3）图象/单调性分析： 参变分离：分析的单调、最值、极限，结合与交点个数定范围； 构造函数：分析的单调、极值、极限，列不等式组（如两极值异号对应2个变号零点）； （4）检验临界值、零点是否为变号零点，确保零点在定义域内。 【例11】若函数没有极值，则__________． 【例12】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【变式6-1】若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围. 类型七、利用导数解决实际问题 【例13】将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例14】某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【变式7-1】在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 【变式7-2】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元. (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的. 【变式7-3】学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 1．已知，且，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某公园内有一个三角形的人工湖，其中．为便于游客观光，公园的主管部门准备修建两条观光近和（为线段上一点，且异于），已知修建的单位长度费用是修建的单位长度费用的3倍，要使修建这两条观光道的费用最低，则______． 7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是______． 8．若函数在处取得极值，则__________. 9．已知函数，且，，，则的大小关系为________． 10．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 11．设函数在及时取得极值．若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $