精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

2025-2026学年度高二下学期开学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：D 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则即可求解. 【详解】解：因为复数满足（i为虚数单位），所以， 故选：D. 3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 4. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 5. 已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的周期性得，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果. 【详解】因为是为周期的周期函数 所以， 因为在上是奇函数，则， 又因为当时，，则 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得. 【详解】因为， 则，即， 所以， 则. 故选：B. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 8. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 二、多选题 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过特殊值验证排除错误选项，结合基本不等式推导的范围，进而分析各选项中式子的取值情况. 【详解】选项A：取，则，，故，A错误. 选项B：，由得，故， 当且仅当时取等号，B正确. 选项C：，由得， 当且仅当时取等号，C正确. 选项D：，由得， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 是向量的单位向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A； 根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B； 根据投影向量的计算公式即可判断C； 判断向量是否与向量共线，及模是否为1，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则， 所以，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量为， 故C错误； 对于D，因为向量的模等于1， ，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为_______. 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】由和两类情况，结合前项的和求解即可； 【详解】当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为： 13. 已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 14. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】正六棱锥，如图所示，为底面中心， 取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以． 即， 即，又，且，解得 所以． 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 即． 16. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接， ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. 【小问2详解】 由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得. 故的面积为. 18. 已知数列的前项和为，，当时，． （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，即可证明数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出； （2）由（1）知，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 解：当时，由，得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，即． 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以，① 所以，② ①②得 ， 所以． 19. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明：依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二下学期开学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 11. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 是向量的单位向量 三、填空题 12. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为_______. 13. 已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 14. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 四、解答题 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 16. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 18. 已知数列的前项和为，，当时，． （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求数列的前项和为． 19. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $