8.1 功与功率 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

人教版物理必修第二册 第八章｜ 机械能守恒定律 第1节　功与功率 核心素养点击 物理观念 (1)理解功的概念，掌握功的计算式。 (2)知道功是标量，理解正功、负功的含义。 (3)理解功率的概念。 科学思维 (1)知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。 (2)会运用极限思想得到瞬时功率表达式P＝Fv。 (3)能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。 科学态度与责任 关注生产生活中常见的机械做功的功率大小及其意义，养成分析物理过程的良好习惯。 1．填一填 (1)功的公式：W＝ 。 (2)公式的意义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的 。 (3)功是标量。 (4)功的单位：在国际单位制中，功的单位是 ，简称焦，符号是 。 (5)功的正负判断 夹角α cos α 功W 说明 α＝ cos α＝0 W＝0 力F对物体 0≤α＜ cos α＞0 W＞0 力F对物体做 功 ＜α≤π cos α＜0 W＜0 力F对物体做 功 (6)合力对物体所做的功：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的 。 2．判断 (1)只要有力的作用，力对物体就一定做功。( ) (2)只有在力和位移方向相同时，力才对物体做功。( ) (3)力F1做的功为10 J，力F2做的功为－15 J，力F1比F2做的功多。( ) (4)力的方向和位移的方向不在同一条直线上时，力对物体一定做负功。( ) 1．填一填 (1)物理意义：表示力对物体做功的 。 (2)定义：力做的功W与完成这些功所用时间t之 。 (3)定义式：P＝。 (4)单位：在国际单位制中，功率的单位是 ，简称 ，符号是 。 (5)功率是标量。 (6)功率与速度的关系 P＝Fv，其中F沿物体的 方向。 ①当v为平均速度时，P为平均功率。 ②当v为瞬时速度时，P为瞬时功率。 ③应用：由功率与速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成 。 (7)额定功率与实际功率 ①额定功率：机械能长时间正常工作时的功率。 ②实际功率：机械实际工作时的功率。 注意：机械工作时的实际功率不能长时间超过额定功率，否则容易损坏机械。 2．判断 (1)功率是描述力做功大小的物理量。( ) (2)功率越大，说明力做的功越快。( ) (3)根据P＝Fv可知，汽车牵引力大小一定与速度大小成反比。( ) (4)机械的实际功率有时可以大于额定功率。( ) 　　 【重难释解】 1．对做功概念的理解 (1)做功的两个必要的因素： ①作用在物体上的力。 ②物体在力的方向上发生的位移。 (2)功是过程量：功总是与一个具体的过程相对应，要明确是哪个力(或几个力)对哪个物体在哪个过程中所做的功。 2．功的公式W＝Flcos α的理解 (1)适用条件：公式中的F必须是恒力，公式W＝ Flcos α不适用于变力做功的计算。 (2)F与l、α必须是对应于同一过程的量。 3．正功和负功的意义 4．正功和负功的判断 (1)根据力F与位移l方向的夹角α大小判断——适用于直线运动中恒力做功： ①0≤α＜，力F对物体做正功，力F是动力； ②α＝，力F对物体不做功； ③＜α≤π，力F对物体做负功(或者说物体克服力F做功)，力F是阻力。 (2)根据力F与瞬时速度v方向的夹角θ大小判断——常用于曲线运动： ①0≤θ＜，力F对物体做正功，力F是动力(如图中F1所示)； ②θ＝，力F对物体不做功(如图中F2所示)； ③＜θ≤π，力F对物体做负功(或者说物体克服力F做功)，力F是阻力(如图中F3所示)。 　如图所示，小孩坐在雪橇上，小孩和雪橇的总质量为40 kg。大人施加的拉力F＝100 N，方向与水平地面夹角为θ＝37°，雪橇移动了l＝2 m，雪橇与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求： (1)拉力F所做的功W1； (2)摩擦力Ff所做的功W2； (3)重力G所做的功W3； (4)支持力FN所做的功W4； (5)合力F合所做的功W。 【素养训练】 1．如图所示，质量为m的小车在与竖直方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离L，车与地面之间的动摩擦因数为μ。下列说法正确的是(　　) A．拉力对小车做功FL B．拉力对小车做功为FLsin α C．摩擦力对小车做功为－μmgL D．重力对小车做功为mgL 2．起重机以1 m/s2的加速度，将质量为100 kg的货物由静止匀加速向上提升，g取10 m/s2，则第1 s内起重机对货物做功为(　　) A．500 J　　　 　　　　 B．550 J C．1 000 J D．1 100 J 3．如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同。设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则(　　) A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2 B．若水平面光滑，则W1>W2 C．若水平面粗糙，则W1>W2 D．若水平面粗糙，则W1<W2 　　 【重难释解】 1．公式P＝和P＝Fv的比较 公式 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论 (2)功率P的大小与W、t无关 2．功率的计算方法 (1)平均功率的计算： ①利用P＝。 ②利用P＝Fcos α，其中 为物体运动的平均速度。 (2)瞬时功率的计算： ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为该时刻的瞬时速度。 ②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。 ③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。 典例2　(2024·福建高考)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图(b)所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°，sin 25.5°＝0.43，cos 25.5°＝0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时，人与木板沿直线匀速前进，在15 s内前进了20 m，求此过程中： (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 【素养训练】 4．下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv，说法正确的是(　　) A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大 B．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率 C．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率 D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比 5．(多选)“高空抛物”一直被称为悬在城市头顶上的痛，尤其是人为的高空抛物，更给公共安全带来极大的危害性。最高人民法院发布《关于依法妥善审理高空抛物、坠物案件的意见》，对于故意高空抛物的，根据具体情形进行处罚。如图所示，若从七楼阳台约20 m高处，将一质量为1 kg 的花盆水平推出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．前1 s内重力的平均功率为50 W B．整个过程中重力的平均功率为200 W C．落到地面上时，重力的瞬时功率为200 W D．落到地面上时，重力的瞬时功率为100 W 6．假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为0的匀加速直线运动，当飞机位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2。求飞机滑跑过程中： (1)加速度a的大小； (2)牵引力的平均功率P。 　　 【重难释解】 两种启动方式的过程分析(条件：水平路面，阻力一定) 启动方式 以恒定功率启动 以恒定牵引力启动 P-t图和 v-t图 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变(v↑)⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 　一列火车总质量m＝500 t，发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是火车重力的。(g取10 m/s2) (1)求火车在水平轨道上行驶的最大速度； (2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，求当火车行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，火车的瞬时加速度a1、a2的大小； (3)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的最长时间。 [迁移·发散] [讨论]　火车在水平直轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P′。 [变式]　如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s 的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求： (1)起重机允许输出的最大功率； (2)重物做匀加速直线运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。 【素养训练】 7．质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 8.一辆小车原先在平直公路上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受到的牵引力F牵和阻力Ff随时间的变化规律如图所示，则作用在小车上的牵引力的功率随时间变化规律是(　　) 9．(2025·广东广州阶段练习)某公司对研发的新能源汽车进行测试，一辆测试用的小型电动汽车质量m＝180 kg，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到7.2×103 W后保持功率恒定，匀加速持续的时间是8 s，该车运动的速度与时间的关系图像如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)该车在运动过程中所受阻力大小； (2)该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； (3)从静止开始到18 s末该车所受牵引力做的功。 一、培养创新意识和创新思维 求解变力做功的四种方法 1．平均力法 当力F的大小随位移l呈线性变化时，F的平均值＝，则F做的功W＝l。 2．图像法 在F-l图像中，图线与l轴所围成的面积表示力F做的功W。如图所示，l轴上方的面积表示力F对物体做正功，l轴下方的面积表示力F对物体做负功。 3．微元法 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。例如，物体在水平面上沿着半径为R的圆周运动一周的过程中，摩擦力做功W＝－μmg·2πR。 4．转换替代法 若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。 【针对训练】 1．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　) A．(－1)d　　　　　　 B．(－1)d C. D.d 2.如图所示，为一物体所受的力F随位移x变化的图像，则在这一过程中，力F对物体做的功是多少？ 3.如图所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重物G匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功。 二、注重学以致用和思维建模 1.每年春节前温州农村都有捣年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”。捣年糕时，一人将“石杵”一起一落挥动，另一人在“石杵”挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性。已知“石杵”质量为20 kg，人每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90 cm，则人挥动“石杵”做功的功率约为(　　) A．60 W B．120 W C．180 W D．540 W 2.如图所示，一小学生将质量为2 kg的铅球以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地。g取10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是(　　) A．下落过程中重力的平均功率是400 W B．下落过程中重力的平均功率是100 W C．铅球落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W D．铅球落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W 3．生活中有一种健身的“蹦床运动”，是目前一种流行的燃脂训练运动，燃脂效果相当于动感单车，却比动感单车安全。蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中动作。利用传感器记录弹性网受到的压力并在计算机上作出压力(F)－时间(t)的图像，如图乙所示： (1)图中的1.1 s到2.3 s，弹性网处于什么状态？2.3 s到4.3 s，运动员处于什么状态？请分析说明。 (2)若运动员质量为40 kg，则运动员落回蹦床瞬间重力的功率约为多大？ (g取10 m/s2) [课时跟踪检测] 组—重基础·体现综合 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．功是矢量，正、负表示方向 B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系 D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量 2．(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中(　　) A．前2 s内重力做功的功率为300 W B．前2 s内重力做功的功率为675 W C．第2 s末重力做功的功率为600 W D．第2 s末重力做功的功率为900 W 3.某款新能源汽车正在进行爬坡实验，速度的大小为v，如图所示。保持发动机输出功率不变，为使牵引力变为原来的2倍，速度的大小应变为(　　) A．0.25v　　　　　　 B．0.5v C．2v D．4v 4．(2024·海南高考)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几千米时打开主伞，飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　　) A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态 C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功 5．质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　) A．90 W　　　　　　　　 B．30 kW C．36 kW D．300 kW 6.高二某同学参加引体向上体能测试，如图所示，在20 s内完成10次标准动作，每次引体向上的高度约为50 cm，则此过程中该同学克服重力做功的平均功率最接近于(g取10 m/s2)(　　) A．0　　　　　　　　 B．150 W C．450 W D．750 W 7．(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　) A．3t0时刻的瞬时功率为 B．3t0时刻的瞬时功率为 C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 8.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(重力加速度为g)(　　) A．mg B.mg C．mg D.mg 9．两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 10.拖把由拖杆和拖把头构成，如图所示。设拖把的质量为m，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，某同学用这种拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向施加一力来推拖把。若拖杆与竖直方向的夹角为θ，拖把头在地板上沿直线匀速向前移动距离s，求： (1)推拖把的力做的功。 (2)摩擦力对拖把头做的功。 组—重应用·体现创新 11.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　) 12．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在恒力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)(　　) A．物体加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．2 s末F的功率大小为42 W D．2 s内F做功的平均功率为42 W 13.一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。试求： (1)根据图线ABC判断汽车做什么运动； (2)最大速度v2的大小； (3)整个运动过程中的最大加速度大小； (4)匀加速运动过程的最大速度是多大？匀加速运动过程用时多长？当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？ 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章｜ 机械能守恒定律 第1节　功与功率 核心素养点击 物理观念 (1)理解功的概念，掌握功的计算式。 (2)知道功是标量，理解正功、负功的含义。 (3)理解功率的概念。 科学思维 (1)知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。 (2)会运用极限思想得到瞬时功率表达式P＝Fv。 (3)能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。 科学态度与责任 关注生产生活中常见的机械做功的功率大小及其意义，养成分析物理过程的良好习惯。 1．填一填 (1)功的公式：W＝Flcos_α。 (2)公式的意义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 (3)功是标量。 (4)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 (5)功的正负判断 夹角α cos α 功W 说明 α＝ cos α＝0 W＝0 力F对物体不做功 0≤α＜ cos α＞0 W＞0 力F对物体做正功 ＜α≤π cos α＜0 W＜0 力F对物体做负功 (6)合力对物体所做的功：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。 2．判断 (1)只要有力的作用，力对物体就一定做功。(×) (2)只有在力和位移方向相同时，力才对物体做功。(×) (3)力F1做的功为10 J，力F2做的功为－15 J，力F1比F2做的功多。(×) (4)力的方向和位移的方向不在同一条直线上时，力对物体一定做负功。(×) 1．填一填 (1)物理意义：表示力对物体做功的快慢。 (2)定义：力做的功W与完成这些功所用时间t之比。 (3)定义式：P＝。 (4)单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。 (5)功率是标量。 (6)功率与速度的关系 P＝Fv，其中F沿物体的速度方向。 ①当v为平均速度时，P为平均功率。 ②当v为瞬时速度时，P为瞬时功率。 ③应用：由功率与速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比。 (7)额定功率与实际功率 ①额定功率：机械能长时间正常工作时的功率。 ②实际功率：机械实际工作时的功率。 注意：机械工作时的实际功率不能长时间超过额定功率，否则容易损坏机械。 2．判断 (1)功率是描述力做功大小的物理量。(×) (2)功率越大，说明力做的功越快。(√) (3)根据P＝Fv可知，汽车牵引力大小一定与速度大小成反比。(×) (4)机械的实际功率有时可以大于额定功率。(√) 　　 【重难释解】 1．对做功概念的理解 (1)做功的两个必要的因素： ①作用在物体上的力。 ②物体在力的方向上发生的位移。 (2)功是过程量：功总是与一个具体的过程相对应，要明确是哪个力(或几个力)对哪个物体在哪个过程中所做的功。 2．功的公式W＝Flcos α的理解 (1)适用条件：公式中的F必须是恒力，公式W＝ Flcos α不适用于变力做功的计算。 (2)F与l、α必须是对应于同一过程的量。 3．正功和负功的意义 4．正功和负功的判断 (1)根据力F与位移l方向的夹角α大小判断——适用于直线运动中恒力做功： ①0≤α＜，力F对物体做正功，力F是动力； ②α＝，力F对物体不做功； ③＜α≤π，力F对物体做负功(或者说物体克服力F做功)，力F是阻力。 (2)根据力F与瞬时速度v方向的夹角θ大小判断——常用于曲线运动： ①0≤θ＜，力F对物体做正功，力F是动力(如图中F1所示)； ②θ＝，力F对物体不做功(如图中F2所示)； ③＜θ≤π，力F对物体做负功(或者说物体克服力F做功)，力F是阻力(如图中F3所示)。 　如图所示，小孩坐在雪橇上，小孩和雪橇的总质量为40 kg。大人施加的拉力F＝100 N，方向与水平地面夹角为θ＝37°，雪橇移动了l＝2 m，雪橇与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求： (1)拉力F所做的功W1； (2)摩擦力Ff所做的功W2； (3)重力G所做的功W3； (4)支持力FN所做的功W4； (5)合力F合所做的功W。 [解析]　(1)对雪橇和小孩整体进行受力分析，如图所示。 拉力F所做的功W1＝Flcos θ＝100×2×0.8 J＝160 J。 (2)FN＝G－Fsin θ＝40×10 N－100×0.6 N＝340 N， Ff＝μFN＝0.2×340 N＝68 N， 摩擦力Ff所做的功W2＝Ffl cos 180°＝68×2×(－1)J＝－136 J。 (3)重力G所做的功W3＝Glcos 90°＝0。 (4)支持力FN所做的功W4＝FNlcos 90°＝0。 (5)合力F合所做的功W＝W1＋W2＋W3＋W4＝24 J， 也可由合力求总功 F合＝Fcos θ－Ff＝100×0.8 N－68 N＝12 N， F合与l方向相同，所以W＝F合l＝12×2 J＝24 J。 [答案]　(1)160 J　(2)－136 J　(3)0　(4)0　(5)24 J 求合力做功的两种方法 (1)先求合力，再求合力的功 当物体在运动过程中所受的各力均不发生变化时，即物体所受的合力为恒力时，适合先求合力F合，再求合力的功W合＝F合lcos α。 (2)先求分功，再求总功 物体在运动过程中所受的力中有的力发生变化，或者有些力分阶段存在，且方便求得各个力的功时，应选择W合＝W1＋W2＋…＋Wn求合力做的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。 注意：第二种方法适用范围更广。 【素养训练】 1．如图所示，质量为m的小车在与竖直方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离L，车与地面之间的动摩擦因数为μ。下列说法正确的是(　　) A．拉力对小车做功FL B．拉力对小车做功为FLsin α C．摩擦力对小车做功为－μmgL D．重力对小车做功为mgL 解析：选B　拉力对小车做功为W＝FLsin α，A错误，B正确；摩擦力对小车做功为－FfL＝－μFNL＝－μ(mg－Fcos α)L，C错误；在重力方向小车没有位移，则重力对小车做功为零，D错误。 2．起重机以1 m/s2的加速度，将质量为100 kg的货物由静止匀加速向上提升，g取10 m/s2，则第1 s内起重机对货物做功为(　　) A．500 J　　　 　　　　 B．550 J C．1 000 J D．1 100 J 解析：选B　根据牛顿第二定律得F－mg＝ma， 解得F＝mg＋ma＝100×(10＋1)N＝1 100 N。 上升的位移x＝at2＝×1×12 m＝0.5 m。 则拉力做功W＝Fx＝1 100×0.5 J＝550 J。 故B正确，A、C、D错误。 3．如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同。设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则(　　) A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2 B．若水平面光滑，则W1>W2 C．若水平面粗糙，则W1>W2 D．若水平面粗糙，则W1<W2 解析：选A　设两物块的位移均为l，则F1做功为W1＝F1lcos α，F2做功为W2＝F2lcos α，因F1＝F2，则W1＝W2，故B、C、D错误，A正确。 　　 【重难释解】 1．公式P＝和P＝Fv的比较 公式 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论 (2)功率P的大小与W、t无关 2．功率的计算方法 (1)平均功率的计算： ①利用P＝。 ②利用P＝Fcos α，其中 为物体运动的平均速度。 (2)瞬时功率的计算： ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为该时刻的瞬时速度。 ②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。 ③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。 典例2　(2024·福建高考)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图(b)所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°，sin 25.5°＝0.43，cos 25.5°＝0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时，人与木板沿直线匀速前进，在15 s内前进了20 m，求此过程中： (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 [解析]　(1)由于木板匀速运动，则有f＝2Fcos θ＝450 N。 (2)根据功的定义式有W＝2Flcos θ＝9.0×103 J。 (3)根据功率的定义有P＝＝600 W。 [答案]　(1)450 N　(2)9.0×103 J　(3)600 W 计算功率时应该注意的问题 (1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。 (2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。 (3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。不同情况应选择不同的公式。 【素养训练】 4．下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv，说法正确的是(　　) A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大 B．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率 C．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率 D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比 解析：选D　公式P＝中，W大，但是时间t不知道，所以功率并不一定大，A错误；公式P＝求的是一段时间的平均功率，B错误；P＝Fv，当速度是瞬时速度时，求的是瞬时功率，当速度为平均速度时，求的就是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当P一定时，F与v成反比，D正确。 5．(多选)“高空抛物”一直被称为悬在城市头顶上的痛，尤其是人为的高空抛物，更给公共安全带来极大的危害性。最高人民法院发布《关于依法妥善审理高空抛物、坠物案件的意见》，对于故意高空抛物的，根据具体情形进行处罚。如图所示，若从七楼阳台约20 m高处，将一质量为1 kg 的花盆水平推出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．前1 s内重力的平均功率为50 W B．整个过程中重力的平均功率为200 W C．落到地面上时，重力的瞬时功率为200 W D．落到地面上时，重力的瞬时功率为100 W 解析：选AC　花盆只受重力，竖直方向上做自由落体运动，前1 s内花盆下落的高度为h1＝gt12＝5 m，所以前1 s内重力做功为WG1＝mgh1＝50 J，平均功率P1＝＝50 W，A正确；花盆下落的时间可由公式h＝gt2求得，代入数据得t＝2 s，整个过程中重力做功为WG2＝mgh＝200 J，故平均功率为P2＝＝100 W，B错误；落到地面时，在竖直方向有v2＝2gh，求得到达地面上时竖直方向的速度为20 m/s，所以重力的瞬时功率P3＝mgv＝1×10×20 W＝200 W，C正确，D错误。 6．假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为0的匀加速直线运动，当飞机位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2。求飞机滑跑过程中： (1)加速度a的大小； (2)牵引力的平均功率P。 解析：(1)飞机做初速度为0的匀加速直线运动，有 v2＝2ax ① 代入数据解得a＝2 m/s2。 ② (2)飞机受到的阻力F阻＝0.1mg ③ 设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有 F－F阻＝ma ④ 飞机滑跑过程中的平均速度＝ ⑤ 因此牵引力的平均功率P＝F ⑥ 联立②③④⑤⑥式得P＝8.4×106 W。 ⑦ 答案：(1)2 m/s2　(2)8.4×106 W 　　 【重难释解】 两种启动方式的过程分析(条件：水平路面，阻力一定) 启动方式 以恒定功率启动 以恒定牵引力启动 P-t图和 v-t图 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变(v↑)⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 　一列火车总质量m＝500 t，发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是火车重力的。(g取10 m/s2) (1)求火车在水平轨道上行驶的最大速度； (2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，求当火车行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，火车的瞬时加速度a1、a2的大小； (3)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的最长时间。 [解析]　(1)火车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时，火车的加速度为0，速度达到最大值vm，则vm＝＝＝＝12 m/s。 (2)当v<vm时，火车做加速运动，v1＝1 m/s， 则F1＝＝6×105 N， 根据牛顿第二定律得a1＝＝1.1 m/s2； v2＝10 m/s，则F2＝＝6×104 N， 根据牛顿第二定律得a2＝＝0.02 m/s2。 (3)由题分析得F′＝Ff＋ma＝3×105 N， 在此过程中，速度增大，发动机功率增大，设功率达到额定功率时速度为v′， 即v′＝＝2 m/s， 由v′＝at得t＝＝4 s。 [答案]　(1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2　(3)4 s [迁移·发散] [讨论]　火车在水平直轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P′。 解析：火车以v＝36 km/h＝10 m/s的速度匀速行驶，则发动机的实际功率P′＝Fv＝Ffv＝5×105 W。 答案：5×105 W [变式]　如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s 的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求： (1)起重机允许输出的最大功率； (2)重物做匀加速直线运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。 解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。P0＝F0vm① F0＝mg② 代入数据，解得P0＝5.1×104 W。③ (2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有P0＝Fv1 ④ F－mg＝ma ⑤ v1＝at1 ⑥ 由③④⑤⑥，代入数据，得t1＝5 s ⑦ t＝2 s时，重物处于匀加速直线运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at ⑧ P＝Fv2 ⑨ 由⑤⑧⑨，代入数据，得P＝2.04×104 W。 答案：(1)5.1×104 W　(2)5 s　2.04×104 W 机车启动问题中几个常见问题及求解方法 (1)求解机车的最大速度vm：机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。 (2)求解汽车匀加速运动持续的时间：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的末速度vm′＝，则时间t＝。 (3)求解瞬时加速度：根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 【素养训练】 7．质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　在匀速运动时，摩擦力Ff＝F＝，当速度为时，牵引力F1＝，由F1－Ff＝ma得a＝＝＝，故C正确。 8.一辆小车原先在平直公路上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受到的牵引力F牵和阻力Ff随时间的变化规律如图所示，则作用在小车上的牵引力的功率随时间变化规律是(　　) 解析：选C　若小车开始以初速度v0做匀速运动，某时刻起由题图知，加速度恒为a＝，速度v＝v0＋at，则牵引力的功率P＝F牵v＝F牵v0＋F牵at，故C正确。 9．(2025·广东广州阶段练习)某公司对研发的新能源汽车进行测试，一辆测试用的小型电动汽车质量m＝180 kg，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到7.2×103 W后保持功率恒定，匀加速持续的时间是8 s，该车运动的速度与时间的关系图像如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)该车在运动过程中所受阻力大小； (2)该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； (3)从静止开始到18 s末该车所受牵引力做的功。 解析：(1)当牵引力等于阻力时，该车速度达到最大值，则有Pm＝Fvm＝fvm， 可得该车在运动过程中所受阻力大小为f＝＝ N＝720 N。 (2)根据题图可知，该车匀加速阶段的加速度大小为a＝＝ m/s2＝1 m/s2， 根据牛顿第二定律有F牵－f＝ma， 可得该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小为F牵＝f＋ma＝720 N＋180 N＝900 N。 (3)0～8 s内该车的位移大小为 x1＝at12＝×1×82 m＝32 m 该过程中牵引力做的功为 W1＝F牵x1＝900×32 J＝2.88×104 J 变加速过程中，即8～18 s内，该车牵引力的功率恒为7.2×103 W，所以该过程中牵引力做的功为W2＝Pt2＝7.2×103×10 J＝7.2×104 J 则从静止开始到18 s末该车所受牵引力做的功为W＝W1＋W2＝2.88×104 J＋7.2×104 J＝1.008×105 J。 答案：(1)720 N　(2)900 N　(3)1.008×105 J 一、培养创新意识和创新思维 求解变力做功的四种方法 1．平均力法 当力F的大小随位移l呈线性变化时，F的平均值＝，则F做的功W＝l。 2．图像法 在F-l图像中，图线与l轴所围成的面积表示力F做的功W。如图所示，l轴上方的面积表示力F对物体做正功，l轴下方的面积表示力F对物体做负功。 3．微元法 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。例如，物体在水平面上沿着半径为R的圆周运动一周的过程中，摩擦力做功W＝－μmg·2πR。 4．转换替代法 若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。 【针对训练】 1．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　) A．(－1)d　　　　　　 B．(－1)d C. D.d 解析：选B　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力，再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝1d＝d，第二次做功W＝2d′＝d′，联立以上两式得d′＝－(＋1)d(舍)或d′＝(－1)d。 2.如图所示，为一物体所受的力F随位移x变化的图像，则在这一过程中，力F对物体做的功是多少？ 解析：力F对物体做的功等于x轴上方梯形“面积”和x轴下方三角形“面积”的代数和，大小为W＝2×3 J＝6 J。 答案：6 J 3.如图所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重物G匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功。 解析：拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功。以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动。所以绳子的拉力大小FT＝G。 重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA，l＝－＝， 所以绳子对重物做功W＝G·l＝G， 拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于G。 答案：G 二、注重学以致用和思维建模 1.每年春节前温州农村都有捣年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”。捣年糕时，一人将“石杵”一起一落挥动，另一人在“石杵”挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性。已知“石杵”质量为20 kg，人每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90 cm，则人挥动“石杵”做功的功率约为(　　) A．60 W B．120 W C．180 W D．540 W 解析：选A　挥动“石杵”一次所做的功W＝mgh＝20×10×0.9 J＝180 J；1 min内做的总功W总＝nW＝20×180 J＝3 600 J，则人挥动“石杵”做功的平均功率＝＝ W＝60 W，故A正确，B、C、D错误。 2.如图所示，一小学生将质量为2 kg的铅球以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地。g取10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是(　　) A．下落过程中重力的平均功率是400 W B．下落过程中重力的平均功率是100 W C．铅球落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W D．铅球落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W 解析：选C　铅球2 s下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地的竖直分速度为vy＝gt＝20 m/s，所以铅球落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgvy＝400 W，下落过程中重力的平均功率是＝＝200 W，故C正确。 3．生活中有一种健身的“蹦床运动”，是目前一种流行的燃脂训练运动，燃脂效果相当于动感单车，却比动感单车安全。蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中动作。利用传感器记录弹性网受到的压力并在计算机上作出压力(F)－时间(t)的图像，如图乙所示： (1)图中的1.1 s到2.3 s，弹性网处于什么状态？2.3 s到4.3 s，运动员处于什么状态？请分析说明。 (2)若运动员质量为40 kg，则运动员落回蹦床瞬间重力的功率约为多大？ (g取10 m/s2) 解析：(1)由题图可知1.1 s到2.3 s运动员与弹性网之间的力先增大后减小，故弹性网处于压缩状态；2.3 s到4.3 s运动员与弹性网之间的力为0，故运动员处于腾空状态。 (2)由题图可知运动员在空中的最长时间为 t＝4.3 s－2.3 s＝2 s 根据运动的对称性可知，从最高点落到弹性网的时间为：＝1 s， 落到弹性网时的速度为v＝g＝10 m/s 重力的瞬时功率为P＝mgv＝4 000 W。 答案：(1)见解析　(2)4 000 W [课时跟踪检测] 组—重基础·体现综合 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．功是矢量，正、负表示方向 B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系 D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量 解析：选BCD　功有正、负之分，但功是标量，故A错误，B正确；由W＝Flcos α可知力对物体做正功还是负功主要取决于力和位移的方向关系，故C正确；力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量，故D正确。 2．(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中(　　) A．前2 s内重力做功的功率为300 W B．前2 s内重力做功的功率为675 W C．第2 s末重力做功的功率为600 W D．第2 s末重力做功的功率为900 W 解析：选AC　前2 s物体下落高度h＝gt2＝20 m，前2 s内重力做功的功率P1＝＝ W＝300 W，A正确，B错误；2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正确，D错误。 3.某款新能源汽车正在进行爬坡实验，速度的大小为v，如图所示。保持发动机输出功率不变，为使牵引力变为原来的2倍，速度的大小应变为(　　) A．0.25v　　　　　　 B．0.5v C．2v D．4v 解析：选B　设汽车牵引力为F，由功率的公式P＝Fv，发动机功率不变，为使牵引力变为原来的2倍，F′＝2F，v′＝＝，所以速度大小应变为0.5v，B正确。 4．(2024·海南高考)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几千米时打开主伞，飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　　) A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态 C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功 解析：选A　返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱所受重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。 5．质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　) A．90 W　　　　　　　　 B．30 kW C．36 kW D．300 kW 解析：选C　根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力等于阻力，即F＝f＝1.8×103 N，此时汽车发动机的实际输出功率即瞬时功率，根据P＝Fv，代入数据解得此时汽车发动机的实际输出功率为36 kW，故A、B、D错误，C正确。 6.高二某同学参加引体向上体能测试，如图所示，在20 s内完成10次标准动作，每次引体向上的高度约为50 cm，则此过程中该同学克服重力做功的平均功率最接近于(g取10 m/s2)(　　) A．0　　　　　　　　 B．150 W C．450 W D．750 W 解析：选B　该同学的质量约为60 kg，引体向上的高度为50 cm，该同学做功的平均功率为P＝＝n＝150 W，故B正确。 7．(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　) A．3t0时刻的瞬时功率为 B．3t0时刻的瞬时功率为 C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 解析：选AC　由于物体在光滑水平面上只受力F作用，故物体做匀加速直线运动；在0～2t0，其加速度大小a1＝，根据匀加速直线运动的速度公式可得2t0时刻的速度大小v1＝a1(2t0)＝；在2t0～3t0，其加速度大小为a2＝，由匀加速直线运动的速度公式可得3t0时刻的速度大小v2＝v1＋a2t0＝；利用瞬时功率的公式求出3t0时刻的力的瞬时功率P1＝2F0×v2＝，故A正确，B错误。根据动能定理有W＝mv22－0，得出全过程外力做功为W＝；由功率的定义式可求出这一段时间内水平力的平均功率＝＝，故C正确，D错误。 8.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(重力加速度为g)(　　) A．mg B.mg C．mg D.mg 解析：选B　小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距离为s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正确。 9．两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　由题意可知，两节动车编组前分别有P1＝f1v1，P2＝f2v2，当将它们编组后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，联立可得v＝，故选D。 10.拖把由拖杆和拖把头构成，如图所示。设拖把的质量为m，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，某同学用这种拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向施加一力来推拖把。若拖杆与竖直方向的夹角为θ，拖把头在地板上沿直线匀速向前移动距离s，求： (1)推拖把的力做的功。 (2)摩擦力对拖把头做的功。 解析：(1)对拖把进行受力分析，如图所示 水平方向Fsin θ＝f， 竖直方向N＝Fcos θ＋mg，且f＝μN， 根据功的定义，推拖把的力F做的功WF＝Fssin θ＝。 (2)摩擦力f对拖把头做功 Wf＝fs·cos 180°＝－Fsin θ·s＝－。 答案：(1)　(2)－ 组—重应用·体现创新 11.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　) 解析：选A　由P-t图像知：0～t1，汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2，汽车以恒定功率P2行驶。设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知，a减小，而速度不可能突变，故B、C、D错误，A正确。 12．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在恒力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)(　　) A．物体加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．2 s末F的功率大小为42 W D．2 s内F做功的平均功率为42 W 解析：选A　速度—时间图线的斜率表示加速度，则物体的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；根据牛顿第二定律得2F－mg＝ma，则F＝＝ N＝12 N，故B错误；2 s末物体的速度为4 m/s，则拉力作用点的速度为8 m/s，拉力的功率P＝Fv＝12×8 W＝96 W，故C错误；2 s内物体的位移 x＝×2×22 m＝4 m，则拉力作用点的位移s＝8 m，拉力平均功率P＝＝ W＝48 W，故D错误。 13.一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。试求： (1)根据图线ABC判断汽车做什么运动； (2)最大速度v2的大小； (3)整个运动过程中的最大加速度大小； (4)匀加速运动过程的最大速度是多大？匀加速运动过程用时多长？当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？ 解析：(1)由题图可知，在AB段汽车的牵引力不变，而水平方向的阻力恒定，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度不变的加速运动。在BC段汽车的牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度减小的加速运动，此过程中BC的斜率不变，斜率k＝＝Fv＝P保持不变，所以BC段是以恒定的功率加速。 (2)当汽车的速度为最大速度v2时， 牵引力为F1＝1×103 N， v2＝＝ m/s＝20 m/s， 故v2的大小为20 m/s。 (3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大， 阻力F阻＝＝ N＝1 000 N， 加速度为a＝＝2 m/s2， 故整个运动过程中最大加速度大小为2 m/s2。 (4)匀加速运动的最大速度即与B点对应的速度v1＝＝ m/s≈6.67 m/s， 故匀加速运动过程所用时间t＝≈3.33 s。 当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段， 故此时的功率为最大功率Pmax＝2×104 W。 答案：(1)见解析　(2)20 m/s　(3)2 m/s2 (4)6.67 m/s　3.33 s　2×104 W 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $