2026年河北省中考数学模拟测试卷八

翩 …宿 条形码粘贴处 0 0 2026年河北省九年级巩固练习（八） 总分 核分人 数学 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 三 题号 17 18 g 21 22 23 24 得分 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.石家庄某气象站记录的一周最低气温分别为-2℃、-1℃、2℃、3℃、0℃、-3℃、1℃，其中 最低的温度是( A.0C B.-3℃ C.-2℃ D.-1℃ 2.如图1，两条平行于主光轴(OD)的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交 于主光轴上的点F若∠1+∠2=36°，则∠AFB的度数为( A.36° B.56° C.60° D.72° 3.已知n为正整数，下列运算不正确的是() 图1 A.d·d=2n B.(a)"=atn C.a÷d'=an D.（ab)=db 4.唐三彩是盛唐艺术的“名片”，下列四件唐三彩珍品（忽略色彩、纹饰，仅观察轮廓形 状)，其中主视图与左视图完全一致的是( 5.实数x在数轴上的位置如图2所示，则工在数轴上的对应点大约是( A.点A B.点B 0x1 2 3 C.点C 图2 D.点D 数学（八）第1页（共8页） 6.正定凌霄塔是河北省重点文物保护单位，其底座是正八边形，则该正八边形的一个内角的度数 为( ) A.1209 B.135 C.1409 D.150° 7.某航天企业参与的卫星项目中，卫星每秒传输数据约1.2×10°字节，按此速度，1小时传输的数 据量用科学记数法表示为( A.4.32×10字节 B.43.2×102字节 C.4.32×102字节 D.0.432×102字节 8. 某套中考模拟数学试卷按容易题、中档题、较难题为5：3：2的比例命题，满分为120分.若小明 此套试卷容易题得分率100%、中档题得分率75%、较难题得分率50%，则他的最终成绩是( ) A.109分 B.99分 C.96分 D.89分 9.陈师傅应客户要求加工4个长为4cm,宽为3cm的矩形零件.在交付客户之前，陈师傅需要对 4个零件进行检测.根据零件的检测结果，下列图中有可能不合格的零件是( 4 cm 4cm 4cm 4cm ■ 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm A.□ B 4cm 0,对于M=2NX牛2下列结论正确的有( 2 ①当x=2时，M=W;②当x=-2时，N=0;③当x>0时，M-N>0 A.① B.② C.①③ D.②③ 11将一张平行四边形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，CE,CF为折痕，折叠后点B',D',C在 同一直线上，连接BB',DB'.已知B'C=B'D,∠BB'C=58°，∠EBC=49°，则∠B'DA的度数为( A.18° B B.22° C.25° D.30° 12.如图4，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M,N在格点上，BM= 图3 4,BN=2.若P是这个网格图形中的格点，连接PM,PV,则所有满 A D 足∠MPN=45°的△PMN中，DP的最大值是() A.3V2+V10 B.4 C.3V2 D.2V10 图4 数学（八）第2页（共8页） 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中16小题第一空1 分，第二空2分) 13.计算：V27-V3= 14.校园实验场地的一段护栏需要加固，如图5，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间 的距离相等)且平行的木条构成.经测量AB=30cm,则AC的长度应为 cm. 15.设a,b是方程x2+x-2027=0的两个实数根，则d2+2a+b的值为 P P P P 0 P 实物图 局部示意图 图5 P P P 图6 16.如图6，P~P2为圆周上十二等分点，弦PP,=4,则弦PP。与圆围成的阴影部分的面积是 ;设弦PP的长度为1，则P= 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）》 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 人们在长期传承中形成了独特的运算思维，为传承这种思维，设计了一套新的运算规则：对 于任意实数a,b,规定“a△b=G-2ab+b,a□b=a-b(a≠-b)”. a+b (1)计算(-3)△2的值： (2)先化简，再求值：(x△1)+(x□1)(x2-1),其中x=V2+1. ■ 数学（八）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分)》 在一元二次方程解法习题课上，小亮同学解方程-x2+8x=-9的过程如图7所示. (1)小亮解方程的方法是 (填“配方法”“公式法”或“因式分解法”) 他的求解过程从第 步开始出现错误（填序号）； (2)选择你喜欢的方法对这个方程进行正确求解. 解：x2+8x=-9 密 x2-8x=9…(① x2-8x+16=9…② (x-4)2=9…③ x-4=±3……④ x1=7,x2=1.…⑤ 图7 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 足球运球绕杆是河北体育中考的选考项目，某校为精准掌握九年级学生对该项目的 备考情况，某次测试后，随机抽取部分九年级学生的足球运球绕杆测试成绩作为样本，从 高到低分成A,B,C,D四个等级进行统计，并将结果制成如图8所示的不完整的统计图. 封 (1)本次抽样调查抽取了 名学生的成绩；在扇形统计图中，D对应的扇形的圆心 角是 度；所抽取学生的成绩的中位数会落在 等级； (2)若该校九年级有1000名学生，请估计此次测试足球运球绕杆测试成绩达到A级的 学生有多少人； (3)已知样本中的A级学生为3名男生和1名女生，老师随机从中选取2名学生在体育 课上展示，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男一女的概率， ◆频数/人 18 16 14 C 12 线 10 8 6 -4 B45% 4 A B D 等级 图8 数学（八）第4页（共8页） ■ 0 ………… 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 图9是某滑雪场山脚到山顶的雪道扶梯侧面示意图，滑雪者在山脚休息区的A处 (测角仪高度忽略不计)，测得山顶雪具租赁处指示牌P的仰角为27°，他向正前方走了 5米来到雪道扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米(BD=13米)到达山顶平台D处， 此时用测角仪测得指示牌P的仰角为53°(DE∥AC).已知雪道扶梯BD的坡度为 1:2.4(坡度指垂直高度与水平长度的比).（参考数据：sin27≈ 0,c0s270≈9 tan270 10 ,sim530≈4 1 ,cos53°≈3 5，tan53≈4) 3 (1)求点D到山脚地面的垂直高度； (2)滑雪场规定，雪具租赁处指示牌到山脚地面的 E 垂直高度不得低于10米，判断雪具租赁处指示牌 1270 P的高度是否符合规定，并说明理由， B 图9 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 旋转式智能提水装置是农业中广泛应用的节水灌溉设备，兼具高效、精准、环保的优 势.某生态农场引入了该类装置（如图10-1）.假定供水系统的水流量始终保持稳定，装置 运转时，其转轮边缘的每一个提水筒均随转轮做逆时针匀速圆周运动，持续完成“取水 输水-放水”的灌溉循环.每旋转一周用时120s. 【问题设置】把转轮抽象为一个半径为2米的⊙0，如图10-2,0M始终垂直于水平面 当=0s时，某提水筒G恰好位于水面A处，此时∠AOM=30° 【问题解决】 (1)当t=5s时，提水筒G运动到点D,求此时∠DOM的度数； (2)经过95s后提水筒G运动到点B处，如图10-2所示，求提水筒G运动的路径长； (3)旋转一周的过程中，当= 时，提水筒G与水面的距离为(1+V3)米 ---M 图10-1 图10-2 数学（八）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 如图11，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(1,6),B(6,1),P为线段AB上 的动点 (1)①求直线AB的函数解析式； ②若反比例函数y=k的图象经过点A,则k= ;此时线段AB与反比例函数图象围成的 封闭图形（不含边界）中的整点（横、纵坐标均为整数）有 个； (2)若反比例函数y=k的图象经过点P,求点P从点A到点B的运动过程中，k的取值范围. 图11 数学（八）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 图12-1是某市一抛物线型拱桥，图12-2是其在直角坐标系中的侧面示意图：桥拱顶部为原 点0(0,0)，正常水位时水面宽AB=32m,此时水面离桥拱顶部的距离为8m.如图12-3，因安全 防护需要，在桥拱顶部上方及桥两端竖立支柱，架设的左、右钢缆为对称的抛物线（关于y轴对 称)，左面钢缆过支柱顶端C(-16,6)和E(0,6),其解析式为y=ax2+x+c(-16≤x≤0). (1)按图12-2所示的平面直角坐标系，求此拱桥所在抛物线的函数解析式； (2)①求左、右两条钢缆的最低点之间的水平距离； ②安全绳长度为“钢缆到桥拱的竖直距离”，求安全绳长度的最小值； (3)当水位上涨后，水面所在直线为y=(t<0),若钢缆到水面的竖直距离的最小值为7，直接写出t 的值. y E 0 B 图12-1 图12-2 图12-3 ■ 数学（八）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】某中学“工业构件几何建模”实践小组，聚焦本地重型装备制造业 的正方形重载机械构件，开展“动点节点与外接圆轨迹”探究活动.该构件中： 正方形ABCD为基础承载框架，边长为工程设计变量； P是边BC上的活动连接节点（可沿BC滑动，模拟构件的伸缩铰接结构）： 以AB,BP为铰接边的△ABP是“受力铰接区域”，其外接圆为该区域的运动轨迹圆 (节点P滑动时，轨迹圆随P同步变化)： 密 E是轨迹圆上位于正方形内部的加固节点，且加固连杆满足EA=EP(保证铰接区域 的受力平衡) 【操作验证：节点结构的几何性质】 (1)实践小组通过力学仿真发现：“加固杆EA,EP与铰接边AP构成的△PAE是等腰直 角三角形.请结合图13-1从几何角度证明该结论； 【探究发现：构件尺寸的关联规律】 如图13-2，连接加固节点E与框架顶点D的连杆DE是构件的“斜向支撑”，过点 E作EF⊥BC于点F(F为支撑脚节点). PF的长度DE的长度 (2)在正方形框架边长不变的情况下，小组测得点P滑动到不 2V2 同位置时DE与PF的数据（如右表），请探究线段DE与PF 的数量关系，并说明理由； 4 4V2 封 【拓展应用：工程参数的计算】 6V2 当正方形框架的边长为m时，测得活动节点P滑动至BC中点时，斜向支撑DE= 5V2(该尺寸为构件的临界受力参数). (3)求m的值； (4)保持点P在BC中点处，若Q是△ABP运动轨迹圆上的备用加固节点（位于正方形 外部)，AQ为备用加固杆.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，直接写出所有满足要 求的AQ的长度 线 B 图13-1 图13-2 备用图 数学（八）第8页（共8页） 2026年河北省九年级巩固练习（八) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 1 12 答案 A 二、（每小题3分，共计12分） 13.2V3 14.75 15.2026 16.16”-4V5:32-165 3 三、17.解：(1)a△b=(a-b)2,.(-3)△2=(-3-2)2=25；…(3分) (2)原式=2(x-1)2… …(5分) 当√21时，原式=4.… …(7分) 18.解：（1)配方法；… (1分) ②；… …(3分) (2)方程的解为公=9，X2-1.… …(8分) 19.解：(1)40,45，B: …(3分) 4 (2)1000× =100(人). 40 答：足球运球绕杆测试成绩达到A级的学生约有100人； …(5分) (3)树状图如下：…(7分) 开始 共有12种等可能的结果，一男一女的情况为6种， 男1 男2 男3 ∴.所选2名学生恰好为一男一女的概率为 61 个N 122 …(8分) 男2男3女男1男3女男1男2女男1男2男3 20.解：(1)如图，过点D作DF⊥AC于点F,.∠DFB=∠DFC=90° 19题图 .自动扶梯BD的坡度为1：2.4， ∴.BF=2.4DF,∴.DF2+(2.4DF)=13,解得DF=5或DF=-5(舍去)， .点D到山脚地面的垂直高度为5米； …(4分) (2)符合规定；… …(5分) 理由：如图，过点P作PQ1AC于点Q,交DE于点M. ,PO 1 AC,DF⊥AC,∴.∠AQP=∠DFQ=90°. ME 又，DEI‖AC,∴.∠PMD=∠AQP=90°，∠DMQ=180°-∠AQP=90°， ∴.四边形DMQF是矩形，.MQ=DF=5,FQ=DM F OC 20题图 :tian∠PDE=PM≈4 DM≈后设PM=4,则DM≈3x,∴PQ=PM+M0=4r+5. 由(1)得BF=12,.AQ=AB+BF+FQ≈5+12+3x=17+3x 数学（八）第1页（共3页） 金RaP0中，n4P0≈P四)0,4x+5h73,解得正 A0 2 P0=4r+54×2+5=10.6>10, .指示牌P的高度符合规定。…（8分) 21.解：（1)转轮每旋转一周用时120S,∴.每秒转过360°÷120=3°.…（1分) 当t=5时，提水简旋转15°，.∠D0M=30°+15°=45°；…(3分) (2).3°X95=285°，… ………（5分) ÷提水简G运动的路径长为285×2_19元. …(7分) 180 6 (3)30或70. … …（9分) 22.解：(1)①设直线AB的函数解析式为y=ax+b, a+b=6, a=-1, 将点A(1,6),B(6,1)代入解析式，得 解得 6a+b=1, b=7, ,∴.直线AB的函数解析式为y=-x+7;…… …（4分) ②6；3；…(6分） (2)设P(t,-t+7)(1≤t≤6). :反比例函数y=k的图象经过点P,根据反比例函数性质得k=t(-t+7)=-t+7t,…(7分) 该函数为开口向下的二次函数，对称轴为t=3.5, 当t=3.5时，k取得最大值，kx=-3.5+7×3.5=12.25; 当t=1或t=6时，k取得最小值6， k的取值范围为6≤k≤12.25（或写成9）.… …(9分) 4 23.解：(1)桥拱顶点为原点0(0,0)，设其函数解析式为y=kx. 将点A(-16,-8)代入y=kx,得k=- 32 因此，拱桥所在抛物线的函数解析式为y-X,…（3分) 32 (2)①将点C(-16,6),E(0,6)代入y=ax+x+c,解得a=1 16 ,c-6, “左面钢缆抛物线的解析式为y产己x:+6=(x+8)42,顶点（最低点）坐标为(-8,2) 16 16 左、右钢缆关于y轴对称，∴.右面钢缆的顶点（最低点）坐标为(8,2)， .左、右两条钢缆的最低点之间的水平距离为8-（-8)=16(m);…（7分) @对于左钢缆，安全绳长度dxx6-（-二x)=3xx6-三(x+)410 210 16 32 32 32 31 3 6时，d-0,安全绳的长度最小为0米：…(9分) 10 .当x=- 3 3 数学（八）第2页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（八) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 1 10 12 答案 二、（每小题3分，共计12分） 13.2V3 14.75 15.2026 16.16元-45：32-165 3 三、17.解：(1)a△b=(a-b)2,.(-3)△2=(-3-2)2=25；…(3分) (2)原式=2(x-1)2… …(5分) 当公√2+1时，原式=4.… …(7分) 18.解：（1)配方法；… (1分) ②… …(3分) (2)方程的解为公=9,2-1.… …(8分) 19.解：(1)40,45，B: …(3分) 4 (2)1000× =100(人). 40 答：足球运球绕杆测试成绩达到A级的学生约有100人； …(5分) (3)树状图如下：…(7分) 开始 共有12种等可能的结果，一男一女的情况为6种， 男1 男2 男3 个N ∴.所选2名学生恰好为一男一女的概率为 61 122 …(8分) 男2男3女男1男3女男1男2女男1男2男3 20.解：(1)如图，过点D作DF⊥AC于点F,.∠DFB=∠DFC=90° 19题图 .自动扶梯BD的坡度为1：2.4， ∴.BF-2.4DF,.DF2+(2.4DF=13,解得DF=5或DF=-5(舍去)， 点D到山脚地面的垂直高度为5米； …(4分) (2)符合规定；… …(5分) 理由：如图，过点P作PQ1AC于点Q,交DE于点M. ,PO 1 AC,DF⊥AC,∴.∠AQP=∠DFQ=90°. 又，DEI∥AC,∠PMD=∠AQP=90°，∠DMQ=180°-∠AQP=90°， ME ∴.四边形DMQF是矩形，.MQ=DF=5,FQ=DM F OC 20题图 :tian∠PDE=PM≈4 DM≈3设PM=4,则DM≈3，∴PQ=PM+M0=4+5. 由(1)得BF=12,.AQ=AB+BF+FQ≈5+12+3x=17+3x. 数学（八）第1页（共3页） 面aP0中，amAP%,P四)04+5873如，解得 A0 2 :P0=4r+54×7+5=10.6>10, 5 指示牌P的高度符合规定。…（8分) 21.解：（1)转轮每旋转一周用时120S,∴.每秒转过360°÷120=3°.…（1分) 当t=5时，提水筒旋转15°，.∠D0M=30°+15°=45°；…（3分) （2).3°X95=285°，… …(5分) ·提水筒G运动的路径长为285×2_19元. …(7分) 180 6 (3)30或70. …(9分) 22.解：(1)①设直线AB的函数解析式为y=axtb, a+b=6, a=-1, 将点A(1,6),B(6,1)代入解析式，得 解得 6a+b=1, b=7, .直线AB的函数解析式为y=-x+7;… ……（4分) ②6；3；…(6分) (2)设P(t,-t+7)(1≤t≤6). :反比例函数y=上的图象经过点P,根据反比例函数性质得k=t(-t+7)=-+7t,…(7分) 该函数为开口向下的二次函数，对称轴为t=3.5, 当t=3.5时，k取得最大值，k=-3.5+7×3.5=12.25; 当t=1或t=6时，k取得最小值6， ∴k的取值范围为6≤k≤12.25（或写成9）. …(9分) 4 23.解：(1)桥拱顶点为原点0(0,0)，设其函数解析式为y=kx. 将点A(-16,-8)代入y=kx,得k=- 32 因此，拱桥所在抛物线的函数解析式为y-X:…（3分) 32 (2)①将点C(-16,6),E(0,6)代入y=axx+c,解得a= 16 ,c-6, “左面钢缆抛物线的解析式为y上x:+6=(x+8)42,顶点（最低点）坐标为(-8,2) 16 16 左、右钢缆关于y轴对称，∴.右面钢缆的顶点（最低点）坐标为(8,2)， .左、右两条钢缆的最低点之间的水平距离为8-(-8)=16(m);…(7分) ②对于左钢缆，安全绳长度dx+x6-（-x)=3xx6=3(g+16)+10 16 210 16 321 32 32 3 3 10 .当=- 时，d-10,安全绳的长度最小为0米：…(9分) 3 3 3 数学（八）第2页（共3页） (3)t=-5. …(11分) 24.解：（1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90° :点E在△ABP的外接圆上，∴∠AEP+∠B=180°，.∠AEP=90° 又EA=EP,△PAE是等腰直角三角形；… …(3分) (2)DE=V2P℉； ……（4分) 理由：如图，延长FE交AD于点H,易得四边形CDHF为矩形， ∴.∠AHE=∠DHE=∠EFP=90°，∴∠EAH+∠AEH=90° ∠AEP=90°，∠PEF+∠AEH=90°，∠EAH=∠PEF. 又：EA=ER,aEAH≌△PEF(AAS),AH=EF,EH=PF. B 24题图 AD DC=HF,:AH+HD=EF+HE,:HD HE PF, DE=V2HE=V2PF …（7分) (3)由(2)知DE=V2PF 如图，：DE=5V2,∴P℉=5，EH=HD=5.:四边形CDHP为矩形，∴.CF=DH5,PC=10. ,P是BC的中点，.BC=2PC=20:…(10分) (4)AQ的长是510或152.…(12分) 【精思博考：AP=10V5.①当∠PAQ=∠EDA=45°时，：∠AQP=90°，∴.AQ=5√10；②当∠PAQ=∠DAE时，HD=HE=5, :tan∠DAB=,tan∠PAg9,即PQA0.在Rt△AP9中，利用勾股定理可解得A0-15V5) AQ 3 3 数学（八）第3页（共3页）翩 …宿 条形码粘贴处 0 0 2026年河北省九年级巩固练习（八） 总分 核分人 数学 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 三 题号 17 18 g 21 22 23 24 得分 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.石家庄某气象站记录的一周最低气温分别为-2℃、-1℃、2℃、3℃、0℃、-3℃、1℃，其中 最低的温度是( A.0C B.-3℃ C.-2℃ D.-1℃ 2.如图1，两条平行于主光轴(OD)的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交 于主光轴上的点F若∠1+∠2=36°，则∠AFB的度数为( A.36° B.56° C.60° D.72° 3.已知n为正整数，下列运算不正确的是() 图1 A.d·d=2n B.(a)"=atn C.a÷d'=an D.（ab)=db 4.唐三彩是盛唐艺术的“名片”，下列四件唐三彩珍品（忽略色彩、纹饰，仅观察轮廓形 状)，其中主视图与左视图完全一致的是( 5.实数x在数轴上的位置如图2所示，则工在数轴上的对应点大约是( A.点A B.点B 0x1 2 3 C.点C 图2 D.点D 数学（八）第1页（共8页） 6.正定凌霄塔是河北省重点文物保护单位，其底座是正八边形，则该正八边形的一个内角的度数 为( ) A.1209 B.135 C.1409 D.150° 7.某航天企业参与的卫星项目中，卫星每秒传输数据约1.2×10°字节，按此速度，1小时传输的数 据量用科学记数法表示为( A.4.32×10字节 B.43.2×102字节 C.4.32×102字节 D.0.432×102字节 8. 某套中考模拟数学试卷按容易题、中档题、较难题为5：3：2的比例命题，满分为120分.若小明 此套试卷容易题得分率100%、中档题得分率75%、较难题得分率50%，则他的最终成绩是( ) A.109分 B.99分 C.96分 D.89分 9.陈师傅应客户要求加工4个长为4cm,宽为3cm的矩形零件.在交付客户之前，陈师傅需要对 4个零件进行检测.根据零件的检测结果，下列图中有可能不合格的零件是( 4 cm 4cm 4cm 4cm ■ 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm A.□ B 4cm 0,对于M=2NX牛2下列结论正确的有( 2 ①当x=2时，M=W;②当x=-2时，N=0;③当x>0时，M-N>0 A.① B.② C.①③ D.②③ 11将一张平行四边形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，CE,CF为折痕，折叠后点B',D',C在 同一直线上，连接BB',DB'.已知B'C=B'D,∠BB'C=58°，∠EBC=49°，则∠B'DA的度数为( A.18° B B.22° C.25° D.30° 12.如图4，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M,N在格点上，BM= 图3 4,BN=2.若P是这个网格图形中的格点，连接PM,PV,则所有满 A D 足∠MPN=45°的△PMN中，DP的最大值是() A.3V2+V10 B.4 C.3V2 D.2V10 图4 数学（八）第2页（共8页） 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中16小题第一空1 分，第二空2分) 13.计算：V27-V3= 14.校园实验场地的一段护栏需要加固，如图5，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间 的距离相等)且平行的木条构成.经测量AB=30cm,则AC的长度应为 cm. 15.设a,b是方程x2+x-2027=0的两个实数根，则d2+2a+b的值为 P P P P 0 P 实物图 局部示意图 图5 P P P 图6 16.如图6，P~P2为圆周上十二等分点，弦PP,=4,则弦PP。与圆围成的阴影部分的面积是 ;设弦PP的长度为1，则P= 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）》 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 人们在长期传承中形成了独特的运算思维，为传承这种思维，设计了一套新的运算规则：对 于任意实数a,b,规定“a△b=G-2ab+b,a□b=a-b(a≠-b)”. a+b (1)计算(-3)△2的值： (2)先化简，再求值：(x△1)+(x□1)(x2-1),其中x=V2+1. ■ 数学（八）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分)》 在一元二次方程解法习题课上，小亮同学解方程-x2+8x=-9的过程如图7所示. (1)小亮解方程的方法是 (填“配方法”“公式法”或“因式分解法”) 他的求解过程从第 步开始出现错误（填序号）； (2)选择你喜欢的方法对这个方程进行正确求解. 解：x2+8x=-9 密 x2-8x=9…(① x2-8x+16=9…② (x-4)2=9…③ x-4=±3……④ x1=7,x2=1.…⑤ 图7 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 足球运球绕杆是河北体育中考的选考项目，某校为精准掌握九年级学生对该项目的 备考情况，某次测试后，随机抽取部分九年级学生的足球运球绕杆测试成绩作为样本，从 高到低分成A,B,C,D四个等级进行统计，并将结果制成如图8所示的不完整的统计图. 封 (1)本次抽样调查抽取了 名学生的成绩；在扇形统计图中，D对应的扇形的圆心 角是 度；所抽取学生的成绩的中位数会落在 等级； (2)若该校九年级有1000名学生，请估计此次测试足球运球绕杆测试成绩达到A级的 学生有多少人； (3)已知样本中的A级学生为3名男生和1名女生，老师随机从中选取2名学生在体育 课上展示，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男一女的概率， ◆频数/人 18 16 14 C 12 线 10 8 6 -4 B45% 4 A B D 等级 图8 数学（八）第4页（共8页） ■ 0 ………… 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 图9是某滑雪场山脚到山顶的雪道扶梯侧面示意图，滑雪者在山脚休息区的A处 (测角仪高度忽略不计)，测得山顶雪具租赁处指示牌P的仰角为27°，他向正前方走了 5米来到雪道扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米(BD=13米)到达山顶平台D处， 此时用测角仪测得指示牌P的仰角为53°(DE∥AC).已知雪道扶梯BD的坡度为 1:2.4(坡度指垂直高度与水平长度的比).（参考数据：sin27≈ 0,c0s270≈9 tan270 10 ,sim530≈4 1 ,cos53°≈3 5，tan53≈4) 3 (1)求点D到山脚地面的垂直高度； (2)滑雪场规定，雪具租赁处指示牌到山脚地面的 E 垂直高度不得低于10米，判断雪具租赁处指示牌 1270 P的高度是否符合规定，并说明理由， B 图9 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 旋转式智能提水装置是农业中广泛应用的节水灌溉设备，兼具高效、精准、环保的优 势.某生态农场引入了该类装置（如图10-1）.假定供水系统的水流量始终保持稳定，装置 运转时，其转轮边缘的每一个提水筒均随转轮做逆时针匀速圆周运动，持续完成“取水 输水-放水”的灌溉循环.每旋转一周用时120s. 【问题设置】把转轮抽象为一个半径为2米的⊙0，如图10-2,0M始终垂直于水平面 当=0s时，某提水筒G恰好位于水面A处，此时∠AOM=30° 【问题解决】 (1)当t=5s时，提水筒G运动到点D,求此时∠DOM的度数； (2)经过95s后提水筒G运动到点B处，如图10-2所示，求提水筒G运动的路径长； (3)旋转一周的过程中，当= 时，提水筒G与水面的距离为(1+V3)米 ---M 图10-1 图10-2 数学（八）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 如图11，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(1,6),B(6,1),P为线段AB上 的动点 (1)①求直线AB的函数解析式； ②若反比例函数y=k的图象经过点A,则k= ;此时线段AB与反比例函数图象围成的 封闭图形（不含边界）中的整点（横、纵坐标均为整数）有 个； (2)若反比例函数y=k的图象经过点P,求点P从点A到点B的运动过程中，k的取值范围. 图11 数学（八）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 图12-1是某市一抛物线型拱桥，图12-2是其在直角坐标系中的侧面示意图：桥拱顶部为原 点0(0,0)，正常水位时水面宽AB=32m,此时水面离桥拱顶部的距离为8m.如图12-3，因安全 防护需要，在桥拱顶部上方及桥两端竖立支柱，架设的左、右钢缆为对称的抛物线（关于y轴对 称)，左面钢缆过支柱顶端C(-16,6)和E(0,6),其解析式为y=ax2+x+c(-16≤x≤0). (1)按图12-2所示的平面直角坐标系，求此拱桥所在抛物线的函数解析式； (2)①求左、右两条钢缆的最低点之间的水平距离； ②安全绳长度为“钢缆到桥拱的竖直距离”，求安全绳长度的最小值； (3)当水位上涨后，水面所在直线为y=(t<0),若钢缆到水面的竖直距离的最小值为7，直接写出t 的值. y E 0 B 图12-1 图12-2 图12-3 ■ 数学（八）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】某中学“工业构件几何建模”实践小组，聚焦本地重型装备制造业 的正方形重载机械构件，开展“动点节点与外接圆轨迹”探究活动.该构件中： 正方形ABCD为基础承载框架，边长为工程设计变量； P是边BC上的活动连接节点（可沿BC滑动，模拟构件的伸缩铰接结构）： 以AB,BP为铰接边的△ABP是“受力铰接区域”，其外接圆为该区域的运动轨迹圆 (节点P滑动时，轨迹圆随P同步变化)： 密 E是轨迹圆上位于正方形内部的加固节点，且加固连杆满足EA=EP(保证铰接区域 的受力平衡) 【操作验证：节点结构的几何性质】 (1)实践小组通过力学仿真发现：“加固杆EA,EP与铰接边AP构成的△PAE是等腰直 角三角形.请结合图13-1从几何角度证明该结论； 【探究发现：构件尺寸的关联规律】 如图13-2，连接加固节点E与框架顶点D的连杆DE是构件的“斜向支撑”，过点 E作EF⊥BC于点F(F为支撑脚节点). PF的长度DE的长度 (2)在正方形框架边长不变的情况下，小组测得点P滑动到不 2V2 同位置时DE与PF的数据（如右表），请探究线段DE与PF 的数量关系，并说明理由； 4 4V2 封 【拓展应用：工程参数的计算】 6V2 当正方形框架的边长为m时，测得活动节点P滑动至BC中点时，斜向支撑DE= 5V2(该尺寸为构件的临界受力参数). (3)求m的值； (4)保持点P在BC中点处，若Q是△ABP运动轨迹圆上的备用加固节点（位于正方形 外部)，AQ为备用加固杆.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，直接写出所有满足要 求的AQ的长度 线 B 图13-1 图13-2 备用图 数学（八）第8页（共8页）核分人 2026年河北省九年级巩固练习（八) 总分 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 题号 学校 > 18 g 少0 N 22 23 24 得分 班级 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓名 1. 石家庄某气象站记录的一周最低气温分别为-2℃、-1℃、2℃、3℃、0℃、-3℃、1℃，其中 最低的温度是( 考 场 A.0℃ B.-3℃ C.-2℃ D.-1℃ 2.如图1，两条平行于主光轴(OD)的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交 考号 封 于主光轴上的点F若∠1+∠2=36°，则∠AFB的度数为() ·.... A.36 座位号 B.56° C.60° D.72 3.已知n为正整数，下列运算不正确的是() 图1 Ad·d=ad2n B.(a)=atn C.d-d=a D.(ab)"=ab" 4. 唐三彩是盛唐艺术的“名片”，下列四件唐三彩珍品（忽略色彩、纹饰，仅观察轮廓形 状)，其中主视图与左视图完全一致的是( 线 5. 实数x在数轴上的位置如图2所示，则1在数轴上的对应点大约是( A.点A D B.点B 0x1 C.点C 图2 D.点D 数学（八）第1页（共8页） 6.正定凌霄塔是河北省重点文物保护单位，其底座是正八边形，则该正八边形的一个内角的度数 为( A.120° B.135 C.140° D.1509 7.某航天企业参与的卫星项目中，卫星每秒传输数据约1.2×10字节，按此速度，1小时传输的数 据量用科学记数法表示为( A.4.32×101字节 B.43.2×102字节 C.4.32×102字节 D.0.432×102字节 8.某套中考模拟数学试卷按容易题、中档题、较难题为5：3：2的比例命题，满分为120分.若小明 此套试卷容易题得分率100%、中档题得分率75%、较难题得分率50%，则他的最终成绩是() A.109分 B.99分 C.96分 D.89分 9.陈师傅应客户要求加工4个长为4cm,宽为3cm的矩形零件.在交付客户之前，陈师傅需要对 4个零件进行检测.根据零件的检测结果，下列图中有可能不合格的零件是( 4cm 4 cm 4cm 4 cm 3 cm 3 cm ■ 2.5cm A. B. 3 cm 3 cm D 2.5cm 4cm 10.对于M=2,N=2,下列结论正确的有( 2 x+2 ①当x=2时，M=N;②当x=-2时，N=0:③当x>0时，M-N>0 A.① B.② C.①③ D.②③ 11.将一张平行四边形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，CE,CF为折痕，折叠后点B',D',C在 同一直线上，连接BB,DB'.已知B'C=B'D,∠BB'C=58°，∠EBC=49°，则∠B'DA的度数为( A.18 B B.22 C.25° D.30° 12.如图4，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M,N在格点上，BM= 图3 4,BN=2.若P是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满 A「-- D 足∠MPN=45的△PMW中，DP的最大值是( A.3V2+V10 B.4 C.3V2 BL D.2V10 图4 数学（八）第2页（共8页） 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中16小题第一空1 分，第二空2分) 13.计算：V27-V3 14.校园实验场地的一段护栏需要加固，如图5，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间 的距离相等)且平行的木条构成.经测量AB=30cm,则AC的长度应为 cm. 15.设a,b是方程x2+x-2027=0的两个实数根，则d2+2a+b的值为 P P 0 实物图 局部示意图 图5 P> P P 图6 16.如图6，P~P2为圆周上十二等分点，弦PP,=4,则弦PP。与圆围成的阴影部分的面积是 ;设弦PP的长度为l,则P= 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 人们在长期传承中形成了独特的运算思维，为传承这种思维，设计了一套新的运算规则：对 于任意实数a,b,规定“a△b=d-2b+b,a☐b=a-b(a≠-b)” a+b (1)计算(-3)△2的值； (2)先化简，再求值：(x△1)+(x口1)(x2-1),其中x=V2+1. ■ 数学（八）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 在一元二次方程解法习题课上，小亮同学解方程-x+8x=-9的过程如图7所示. (1)小亮解方程的方法是 (填“配方法”“公式法”或“因式分解法”)； 他的求解过程从第 步开始出现错误（填序号）； (2)选择你喜欢的方法对这个方程进行正确求解。 解：-x2+8x=-9 密 x2-8x=9…① x2-8x+16=9…(② (x-4）P=9…③ x-4=士3…（④ x1=7,2=1.…⑤ 图7 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 足球运球绕杆是河北体育中考的选考项目，某校为精准掌握九年级学生对该项目的 备考情况，某次测试后，随机抽取部分九年级学生的足球运球绕杆测试成绩作为样本，从 高到低分成A,B,C,D四个等级进行统计，并将结果制成如图8所示的不完整的统计图. 封 (1)本次抽样调查抽取了 名学生的成绩；在扇形统计图中，D对应的扇形的圆心 角是 度；所抽取学生的成绩的中位数会落在 等级； (2)若该校九年级有1000名学生，请估计此次测试足球运球绕杆测试成绩达到A级的 学生有多少人； (3)已知样本中的A级学生为3名男生和1名女生，老师随机从中选取2名学生在体育 课上展示，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男一女的概率， ◆频数人 18 16 14 D 12 线 10 8 6 5 --4 B45% 4 ⊙ C D等级 图8 数学（八）第4页（共8页） 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 图9是某滑雪场山脚到山顶的雪道扶梯侧面示意图，滑雪者在山脚休息区的A处 (测角仪高度忽略不计)，测得山顶雪具租赁处指示牌P的仰角为27°，他向正前方走了 5米来到雪道扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米(BD=13米)到达山顶平台D处， 此时用测角仪测得指示牌P的仰角为53(DE∥AC).已知雪道扶梯BD的坡度为 1:2.4(坡度指垂直高度与水平长度的比).（参考数据：sim270≈ 20,C0s27°≈9 0,tan270 密 2,sin53°≈4 色 ,c0s53°≈ 5,tan53≈4)》 3 (1)求点D到山脚地面的垂直高度； (2)滑雪场规定，雪具租赁处指示牌到山脚地面的 D653o E 垂直高度不得低于10米，判断雪具租赁处指示牌 1270 P的高度是否符合规定，并说明理由 C 图9 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 旋转式智能提水装置是农业中广泛应用的节水灌溉设备，兼具高效、精准、环保的优 势.某生态农场引入了该类装置（如图10-1）.假定供水系统的水流量始终保持稳定，装置 运转时，其转轮边缘的每一个提水筒均随转轮做逆时针匀速圆周运动，持续完成“取水 输水-放水”的灌溉循环.每旋转一周用时120s. 【问题设置】把转轮抽象为一个半径为2米的⊙0，如图10-2,0M始终垂直于水平面 当=0s时，某提水筒G恰好位于水面A处，此时∠AOM=30° 【问题解决】 线 (1)当t=5s时，提水筒G运动到点D,求此时∠DOM的度数； (2)经过95s后提水筒G运动到点B处，如图10-2所示，求提水筒G运动的路径长； (3)旋转一周的过程中，当= 时，提水筒G与水面的距离为(1+V3)米， C-4 图10-1 图10-2 数学（八）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 如图11，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(1,6),B(6,1),P为线段AB上 的动点 (1)①求直线AB的函数解析式； ②若反比例函数y=k的图象经过点A,则= ;此时线段AB与反比例函数图象围成的 封闭图形（不含边界）中的整点（横、纵坐标均为整数）有 个； (2)若反比例函数y=k的图象经过点P,求点P从点A到点B的运动过程中，k的取值范围 P 0 图11 数学（八）第6页（共8页）》 ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 图12-1是某市一抛物线型拱桥，图12-2是其在直角坐标系中的侧面示意图：桥拱顶部为原 点0(0,0)，正常水位时水面宽AB=32m,此时水面离桥拱顶部的距离为8m.如图12-3，因安全 防护需要，在桥拱顶部上方及桥两端竖立支柱，架设的左、右钢缆为对称的抛物线（关于y轴对 称)，左面钢缆过支柱顶端C(-16,6)和E(0,6),其解析式为y=ax2+x+c(-16≤x≤0)】 (1)按图12-2所示的平面直角坐标系，求此拱桥所在抛物线的函数解析式； (2)①求左、右两条钢缆的最低点之间的水平距离； ②安全绳长度为“钢缆到桥拱的竖直距离”，求安全绳长度的最小值； (3)当水位上涨后，水面所在直线为y=(t<0),若钢缆到水面的竖直距离的最小值为7，直接写出( 的值. y来 图12-1 图12-2 图12-3 ■ 数学（八）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】某中学“工业构件几何建模”实践小组，聚焦本地重型装备制造业 的正方形重载机械构件，开展“动点节点与外接圆轨迹”探究活动.该构件中： 正方形ABCD为基础承载框架，边长为工程设计变量； P是边BC上的活动连接节点（可沿BC滑动，模拟构件的伸缩铰接结构）； 以AB,BP为铰接边的△ABP是“受力铰接区域”，其外接圆为该区域的运动轨迹圆 (节点P滑动时，轨迹圆随P同步变化)； 密 E是轨迹圆上位于正方形内部的加固节点，且加固连杆满足EA=EP(保证铰接区域 的受力平衡. 【操作验证：节点结构的几何性质】 (1)实践小组通过力学仿真发现：“加固杆EA,EP与铰接边AP构成的△PAE是等腰直 角三角形.请结合图13-1从几何角度证明该结论； 【探究发现：构件尺寸的关联规律】 如图13-2，连接加固节点E与框架顶点D的连杆DE是构件的“斜向支撑”，过点 E作EF⊥BC于点F(F为支撑脚节点). PF的长度DE的长度 (2)在正方形框架边长不变的情况下，小组测得点P滑动到不 2 同位置时DE与PF的数据（如右表），请探究线段DE与P℉ 2V2 的数量关系，并说明理由； 4 4V2 【拓展应用：工程参数的计算】 6 6V2 当正方形框架的边长为m时，测得活动节点P滑动至BC中点时，斜向支撑DE= 5V2(该尺寸为构件的临界受力参数)。 (3)求m的值； (4)保持点P在BC中点处，若Q是△ABP运动轨迹圆上的备用加固节点（位于正方形 外部)，AQ为备用加固杆.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，直接写出所有满足要 求的AQ的长度. D B 图13-1 图13-2 备用图 数学（八）第8页（共8页） ■