专题10 情景阅读材料题（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题10 情景阅读材料题 一、解答题 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性．    拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板可绕底座铰链转动，支撑杆的上端位于脚踏板的点处．通过移动支撑杆下端点的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力的大小可用公式表示为，其中（单位：千克）为体重，牛/千克．是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足．    如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角度数分别为．已知．（1）小海的体型是50千克，如果拉伸力在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为时，支撑杆恰好与底座垂直，求此时支撑杆下端点与铰链点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从调到，即支撑杆的位置变化到时，支撑杆的端点在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到）： 【答案】（1）小海选择档位能达到锻炼的目的；（2）此时支撑杆下端点与铰链点的距离为；（3）支撑杆的端点在竖直方向下降约为． 【分析】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可得，则，即可得出答案； （2）由题意可知，，根据含角的直角三角形的性质可得答案； （3）过点作于点，根据解直角三角形求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， ∴， ∴小海选择档位能达到锻炼的目的； （2）由题意可知， ，， ∴， ∴， ∴此时支撑杆下端点与铰链点的距离为； （3）过点作于点，如图： ∴， ∴， ∴支撑杆的端点在竖直方向下降约为． 2．（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)符合场景2的要求，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； （3）解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 3．（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 答：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为． 4．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 5．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； （2）解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， （3）解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 6．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 7．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求． （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 8．（2026·上海金山·一模）某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设为岛的顶点，过点的铅垂线与地面的交点为，则岛的高度即为．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点较近的点处，从点处透过测量杆的上端望岛顶的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点．第二次，把测量杆竖直立在距离点较远的点处三点在一条直线上），同样地，从点处透过测量杆的上端望岛顶（即测量线）的连线延长后交地面于点．连接并延长交于点． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点作的平行线．．．．．．； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． (1)求证：； (2)求证：①； (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设是矩形的对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点，直线分别与边交于点，那么矩形的面积等于矩形的面积．说理如下：如果把图形看作由移置到处，同时、各移到、，那么依据出入相补原理，得（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，合比的性质，等比的性质； （1）利用得，再利用合比的性质可将转化为； （2）由（1）可得，再利用等比的性质可得； （3）在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，由出入相补原理得：，得出，，进而得出，再由等比的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴由等比的性质得：． （3）证明：如图所示，在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形， 由出入相补原理得：，， ∴，， 将上述等积式写成比例式得：，， ∵，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴由等比的性质得：． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 【答案】(1)矩形、矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设，则，，根据勾股定理和折叠的性质得，进而得到和，然后计算，即可判断； （2）将折到上的对应点为点，连接，，设，则，，，求得，然后设，则，再根据折叠的性质表示出、，结合在和中，利用勾股定理建立方程，求得x，最后计算即可； （3）根据题中步骤画出示意图，然后延长、交于点T，设，，根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，，然后根据平行线的性质和等角对等边推出，接着由，可知，代入求得m、n的关系，最后由，即可证得结论． 【详解】（1）解：设，则 由题知，， ∴， 由折叠可知，， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形；矩形是黄金矩形； （2）证明：如图所示，将折到上的对应点为点，连接，， 设，则，， 由题知，， ∴， 设，则， ∵将折到上，对应点为点， ∴，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴矩形是黄金矩形． （3）解：如图所示示意图即为所求， 设，， ∵四边形、为矩形， ∴，，， 如图，延长、交于点T， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，黄金分割点，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握折叠的性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海青浦·期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： (1)当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； (2)已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【答案】(1)驾驶员能顺畅地从车中出来，理由见解析 (2)汽车不会占用到人行道，理由见解析 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用． 【详解】（1）解：如图，过前车门顶点向车身作垂线，垂足为点． 根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为，， ∵车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离， ∴此时另一侧车身与墙之间的距离为， 则车身与墙之间的距离为 假设前车门与车身的夹角， 在中，， ∴． ∵， ∴驾驶员能顺畅地从车中出来； （2）解：考虑极限状态，如图，前车门顶点在墙上，过点作，过点作，与交于点，容易得到 当前车门完全打开时与车身夹角为，即， 在中，，， ∴，． 由（1），，∴ 在中，，， ∴， ∴， ∵与人行道的距离为厘米，， ∴汽车不会占用到人行道． 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关键． 试卷第24页，共25页 试卷第25页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10情景阅读材料题 一、解答题 1.(25-26九年级上·上海浦东新期末)阅读下列材料，回答问题， 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用.从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范 围，提升身体的灵活性和协调性， 拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）.脚 踏板AB可绕底座铰链B转动，支撑杆CD的上端位于脚踏板的点D处.通过 移动支撑杆CD下端点C的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸 强度.当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸 力F,这个力的大小决定了拉伸的强度.拉伸力F的大小可用公式表示为 F=mg·sina,其中m(单位：千克)为体重，g≈l0牛/千克.a是脚踏板与 水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸 或拉仲不足， 如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角度数分别为 20°、25°、30°.已知BD=30cm,(1)小海的体型是50千克，如果拉伸力F在 180牛至220牛可以达到锻炼的目的.结合计算说明，在这三档之中，小海选 择哪个档位能达到锻炼的目的. (2)当档位夹角为30°时，支撑杆CD恰好与底座BM垂直，求此时支 A 撑杆下端点C与铰链B点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ D (3)当档位夹角从30°调到20°，即支撑杆的位置变化到DC时，支撑 B 杆CD的端点D在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到0.01）： a 20° 25° sina 0.34 0.42 cosa 0.94 0.91 试卷第25页，共25页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026上海黄浦一模)在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地 板进行切割后再拼接的方法.现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为2：1（如图1-1），工人准备用这 两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）. 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（∠M0N=90°），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿OA切 割后拼接铺入该转角处： 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（∠POQ=60°)，可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿 OB切割后拼接铺入该转角处. M D 甲 H 0 图1-1 图1-2 图1-3 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴∠MON的 两边，再将乙种地板的长边紧贴∠MON的一边ON推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面 即为一条线段，该线段不在边ON上的端点即可标记为A,此时OA即为甲种地板的切割线；用类似方法（如 图2-2)，也可在乙种地板上确定切割线OA M M 图2-1 图2-2 (I)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即tan∠AON= (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角∠B0Q的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规 等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的 同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 试卷第24页，共25页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.将甲种地板的长边 CF紧贴墙边OP推至 其短边CD的一个顶点 D落在OQ上为止； 2.将乙种地板的长边 G紧贴由第一步所固 定的甲种地板的长边 DE推至其短边GH的 一个顶点H落在O0上 为止，标记此时该顶点 H的位置； 3.将前两步中的地板 都取走，重新拿一块乙 种地板，将长边KR紧 贴墙边00推至其短边 TK的一个顶点T落在 D H OP上为止，此时顶点 T与前一步标记的点 H的连线即为切割 线. 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由. 3.(2026上海金山一模) 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮 椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力.为 甲 确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以 组 下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准。 图1 每段坡道垂直升高不宜超过75cm,超过时需设置休 FG=39cm DE =109cm,AC =250cm. 试卷第25页，共25页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 息平台.为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道 的相关数据，如图1、图2、图3 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通 行，可将坡道设计为折返形，如图4.折返形坡道（坡 组 道OV一休息平台VR一坡道VC')设计需满足以下关 图2 键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平 NK =91.2cm,NM =26.6cm 长度最大560cm,休息平台宽度最小150cm,轮椅入 口宽度最小150cm. 丙 组 图3 C'9=9.8cm,PQ=33.6cm 休息平台宽为 0 图4 VR,轮椅入口宽为OT,A'T=30cm,点T到连廊的距离TI为520cm. (I)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高(BC或B'C'),并判断是否安全； (②)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、 坡道VC')的坡度和坡高以及设计过程， 4.(2026上海虹口一模)【模型探究】 如图，己知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足 ∠MPN+∠A0B=180°.求证：OP2=OM.ON. B A M 【模型应用】 (1)己知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠A0B的平分线上一点，如果∠A0B=60°， 试卷第24页，共25页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 0M=6,0N=4,0P=2√6，那么∠MPN的度数为 (2)如图，已知LA0B=90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M,并在∠AOB内部求 作一个点P,满足∠MPN=135°且PM=2PN. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) N 5.(25-26九年级上·上海普陀期末)【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得 到一个菱形.小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个 菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形ABCD中，AC≠BD,点E 、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EH IBDFG, ,如果四边形EFGH是菱形， 那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与AI的交流中，AI给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知EFGH己经是平行四边形，所以 要画出这个菱形，只要确定点E在AB上的位 置，使EH=EF即可。根据这个想法，设 AE BE =k,通过确定k的值，使EH=EF。 B 思考路径中提到的的值与什么值相关？ k的值主要与四边形的对角线AC和BD的长度 相关。 【解决问题】 ()根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即 ”) (②)根据小普同学与AI的对话，设AC=a,BD=b,用含a、b的代数式表示k; (3)在图中，画出符合要求的菱形EFGH,写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹， 试卷第25页，共25页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2025·上海嘉定·一模)如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法， 请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段AB黄金分割呢？下面给出一种方法. 作法：如图 D 1.过点B作BC⊥AB,使 A B 1 BC-74B. 2.连接AC,在线段AC上截取CD=CB, 3. 在线段AB上截取AP=AD. 则AP2=AB·PB ()请写出图中 的值是 AB (②)我们把顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数.请利用无刻度直尺和 圆规，作出以线段EF为底边的黄金三角形EFG(不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论)， F 7.（2026上海闵行一模)探究活动：巧拼地砖外边. 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料MOBP中MO∥PB,小条形边角料NOAQ中 ON‖Ag,∠MOB=∠NOA=135°)，如图1拼接到直角地砖∠MON=90°)的外边上，发现点A与点B不能 重合.为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和 台切割机，经过图2一图9的操作解决了问题，完成了拼接. 试卷第24页，共25页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 N N M 名 M M M O 小 大 D CB(A) CB B 图1 图2 图3 图4 图5 【操 作说 【操作说明】 明】 沿着射线OB方 【操作说明】 画出 【操作说明】 向，平移小条形边 将一大一小两根条 QA的 【操作说明】 画出MO的延 角料NOAQ,使点 形边角料拼在直角 延长 连接OC. 长线，交小条形 A与点B重合，得 地砖的外边 线，交 边角料的边于D 到四边形 BP于 ONOB. 点 C. NN) M M M O/D) g C(B) 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 【操作说明】 【操作说明】 沿着OC、BD切 连接BD. 拼接切割后的两根条形边角料， 割 试卷第25页，共25页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N 2 小 么 M 0 M O 大 大 图① 图② (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母： (2)如果大条形边角料为M0BP的宽度为12cm,小条形边角料为NOAQ的宽度为9cm,大条形边角料M0BP 裁剪后的锐角是LOCP,那么tan∠OCP= (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由， 8.(2026上海金山一模)某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究. 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法.最早见于《周髀算经》.刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、 测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也.”如图1，“日去地”减去表高与表高之比 、CE或南戴日下”与南影之比 BE CM CD-CM MK 等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比 DA-MK 后者 是两个差数，故有“重差”的称谓.下面作简要介绍 如图1，为了测量海岛的高度，设B为岛的顶点，过点B的铅垂线与地面的交点为C,则岛的高度即为BC.接 下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”)竖直立在地面上距离点 C较近的点M处，从点M处透过测量杆的上端Q望岛顶B,BQ的连线（把它叫做测量线）延长后交地面 于点K,第二次，把测量杆竖直立在距离点C较远的点D处(M、D、C三点在一条直线上)，同样地，从点 D处透过测量杆的上端P望岛顶B,BP(即测量线)的连线延长后交地面于点A.连接PQ并延长交BC于 点E. 求证： BE-CD-CMCMI-CD-CM. CE DA-MK MK DA-MK 日(B) H Ⅲ T W 0 E P ' 表高{心 K 地(C) M/南影D北影 G R 图1 图2 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明O和②都成立，只需证明BE-C4和O或②成立.大家分别提 CE MK 试卷第24页，共25页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 出了自己的分析或证明思路 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质 有关知识加以解决： 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记∠BKC=α，∠A=阝； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点P作BK的平行线.： 请根据同学们提出的分析或思路完成(1)和(2). (1)求证： BE CM CE MK (2)求证： BE CD-CMD: CE DA-MK (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设O是矩形FGHN的对角线FH上任意一点，过 点O分别作一组邻边的平行线TW、SR,直线TW分别与边FN、GH交于点T、W,直线RS分别与边 FG、NH交于点R、S,那么矩形TOSN的面积等于矩形ROWG的面积.说理如下：如果把图形看作由 △FHN移置到△FHG处，同时I、Ⅱ各移到T'、IⅢ，那么依据出入相补原理，得Ⅲ=Ⅲ'（指面积相等）.请 利用这个结论证明①成立， 9.(25-26九年级上·上海杨浦·期末)综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为5-」的矩形称为黄金矩形.黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然 2 界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 ()小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直 接写出结论 4 B C B FC 图1 图2折出正方形ABCD 图3对折正方形ABCD B G 图4将FD折至FG 图5过点G折出矩形ABGH 试卷第25页，共25页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形BGHC,你能证明矩形 BGHC是黄金矩形吗？请写出证明过程 A D 6 B FC B F C 图6正方形ABCD 图7对折正方形ABCD 图8沿EC折叠矩形CDEF E D E R 图11 B F C B F C 图9将BC折到CE上 图1O过点G折出矩形BGHC 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片ABCD(如图11)，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题 ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G: ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F; ③沿过点E的直线折出矩形ENCD,折痕EN交线段CG于点M,连接MH. 如果MH⊥EN,请说明点G是线段AB的黄金分割点 10.(25-26九年级上·上海青浦期末)某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD,车 位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示.己知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车 身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来.图2是该汽车外形的部分数据， 例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米.图3是 车门打开的示意图.假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离. (参考数据：sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，c0s25°≈0.91，tan25°≈0.46， sim53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33.) 结合上述条件，回答下列问题： ①460 @00 E ②100③160 ⑤20 1439 D ④215 500 26 单位：厘米 C 单位：厘米 ⑥20 图1 图2 图3 试卷第24页，共25页