专题08 解直角三角形及其应用（5大考点，50题）（上海专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题08 解直角三角形及其应用（5大考点，50题） 5大考点概览 考点01解直角三角形 考点02坡度坡比问题 考点03仰角俯角问题 考点04方位角问题 考点05其他问题 解直角三角形 考点1 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可． 【详解】解：如图所示： ∵中，， ∴， ∴， ， ， ． 故选：A． 2．（2026·上海徐汇·一模）在中，已知，那么的余切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求，再根据余切定义求的余切值即可． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 二、填空题 1．（2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学）在中，（是锐角），，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，，，点在边上，点E，F在边上，如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点C作于点H，解可得，解得到，解得到的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H， 在中，， ∴； 在中，， 在中，，； 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握新定义是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是“差直三角形”，且， ∴或， ①当时，则，过点作交的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，作， 同理，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）或； 故； 综上：或； 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，为中线，点E在边上，．如果，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用余切求边长和直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，进而得出，再由即可得出结果． 【详解】∵，为中线，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即． 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，，．点M是中点，点D在边上，连接，将沿着直线翻折，点B的对应点为点E．连接，如果，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折的性质，锐角三角函数的定义；过A点作，过点E作，利用锐角三角函数的定义可求出，，，平行线间的距离处处相等可得，然后分类讨论，可求出或，然后根据特殊角的三角函数值和翻折的性质即可求解． 【详解】解：过A点作， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 过点E作，当点E在A点左侧，如图所示： ∵点M是中点， ∴， ∵将沿着直线翻折，点B的对应点为点E， ∴，， ∵，，，即、为平行线间的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作，当点E在A点右侧，如图所示： 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，延长交于点，根据题意设，则，证明，得到，根据勾股定理，得到，根据解直角三角形得到，证明，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图： 在中，， 设，则， ∵，平分， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海普陀·期末）我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据中垂点的定义，利用相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：，为边上的高， 点为的中点，． 点O是的中垂点， 或点为的中点． 如图， 当点为的中点，时， ，． 在中，， 设，则， ，． ，， ， ， 即， ， ， ； 当点为的中点，时， ，为边上的高， 点为的中点． 如图，连接， 即为的中位线， ，， ， ． 综上，的值为或． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论，构造，进而根据勾股定理得到的长度，即可求出结果． 本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , 由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , ． 故答案为：或． 10．（2026·上海闵行·一模）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 11．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知中，，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作于点，分别解和，求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，， ∴； 在中，，， ∴， ∴； 故答案为： 12．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 13．（2026·上海杨浦·一模）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握以上性质． 过点作于点，过点作于点，连接，利用平行线和等边三角形的性质，求出相关线段的长度和数量关系，利用直角三角形斜边中线定理求出长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接. ， ． ，根据同高， ， 将看作两个三角形的同底，且，则等于的高， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ∴， ， ， ，点为中点， ∴， ． ． 故答案为：． 14．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 15．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 16．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，点G是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及重心的性质．延长交于点D，过点D作于点E，根据重心的性质以及，可求出，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点D，过点D作于点E， ∵点G是的重心，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 17．（2026·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 18．（2026·上海松江·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设，分别解，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， 设， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 坡度坡比问题 考点2 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从点处传送到斜坡高处，物体沿斜坡方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（   ） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点作垂直地面于点，设，则，再根据勾股定理即可求解，知道坡比的概念是解题的关键． 【详解】解：过点作垂直地面于点，如图： 由题意可得：， 设，则， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴物体离地面的高度为米， 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（    ） A．12米 B．13米 C．24米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查坡比的概念，由坡比定义为垂直高度与水平距离之比，已知坡比和垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜坡长度． 【详解】∵坡比为，即垂直高度：水平距离， ∴垂直高度米时，水平距离米， 在中，斜坡米． ∴物体所经过的路程为26米． 故选：D． 二、填空题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是 ．（用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理以及坡比的定义．根据坡比定义，垂直高度与水平距离的比为，设垂直高度为，则水平距离为，利用勾股定理，得，求解得到，即可作答． 【详解】解：依题意，设垂直高度为米，水平距离为米， ∵坡比， ∴得， 即， 根据勾股定理，， ∴， ∵， 因此， 故答案为： 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸 米． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设，，由题意可知：，，则， 列方程求解即可． 【详解】解：如图所示：斜坡的坡度为，设，， 由题意可知：，， ∴即， 解得， 故答案为． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为 米． 【答案】26 【分析】本题考查了坡度的概念及用勾股定理求斜边长，根据坡度定义，已知垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜边长度即步道长度． 【详解】解：坡度比为，即垂直高度与水平距离之比为，垂直高度为10米， 则水平距离为米， 根据勾股定理，这段缓坡步道的长度（米）， 故答案为：26 ． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1的斜坡笔直滑下米，那么他下降的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用中的坡度坡比问题，坡比即为斜坡倾角的正切值()，结合勾股定理或直角三角形三边比例即可求解． 【详解】解：设斜坡的倾角为，则 在直角三角形中，设垂直高度，水平距离为， 由勾股定理得斜边为， ∴． ∵ ∴ 故答案为：． 5．（2026·上海闵行·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【详解】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2026·上海徐汇·一模）如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和坡比的计算，正确掌握勾股定理和坡比的计算方法是解题的关键． 先根据勾股定理，计算出水平距离的长，再计算坡比即可求解． 【详解】解：如图， 在中，米，米， 则（米）， 所以坡比． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海青浦·期末）小海沿着坡度为的斜坡上行80米时，他的铅垂高度上升了 米． 【答案】40 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据坡度比垂直高度与水平距离的比为，利用勾股定理求解斜边与垂直高度的关系． 【详解】解：设铅垂高度上升了h米，则水平距离为米． 由勾股定理，得， 即， ， ， 解得． 故答案为∶40． 8．（2026·上海静安·一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【答案】30 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 9．（2026·上海嘉定·一模）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为 ． 【答案】13m/13米 【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过B作BF⊥AF于F， 由题意得，BF＝5米， ∵斜坡的坡度i＝1∶2.4， ∴＝，即， 解得：AF＝12（米）， 由勾股定理得，AB＝（米）． 故答案是：13米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键． 三、解答题 1．（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 2．（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 答：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为． 仰角俯角问题 考点3 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 二、填空题 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，从甲楼的一窗口观测点处测得乙楼的楼顶端的仰角是，那么从乙楼顶端处看处的俯角是 °． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，作于点，，由平行线的性质得到，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，， ∴， ∴， ∴从乙楼顶端处看处的俯角是， 故答案为：． 三、解答题 1．（2026·上海嘉定·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 【答案】约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；连接并延长交于，证明四边形、是矩形，可得出，，在中，，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出的长度，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：法华塔的高度约为米． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 3．（2026·上海崇明·一模）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，含角的直角三角形性质，掌握方程思想是解题关键． （1）在中，利用和，计算出； （2）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得米． 答：风叶的长为米． 4．（2026·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 方位角问题 考点4 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 2．（2026·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小海操控一辆遥控玩具车从处沿北偏东方向走了6米到处，再从处向正南方向走了9米到达处，此时这辆遥控玩具车离处的距离是 米． 【答案】 【分析】根据题意，利用方向角，再根据两点间距离公式求解． 本题考查了方向角和勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 【详解】由题可得： ,,, , , , , 所以这辆遥控玩具车离处的距离是米． 故答案为: ． 其他问题 考点5 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海青浦·期末）学校在操场上举行庄严的升旗仪式，每个学生均站立在旗杆前方的水平地面上面向国旗行注目礼．已知国旗的初始位置距地面高度均大于或等于每个学生的身高．如果将看向国旗的视线与水平视线所形成的夹角定义为注视角，那么国旗从初始位置开始匀速上升至顶端的过程中，以下说法正确的是（   ） A．每个学生的注视角大小不变 B．每个学生的注视角逐渐减小 C．每个学生的注视角逐渐增大 D．同一时刻，相同身高学生的注视角相等 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键注视角为视线与水平线的夹角，通过正切函数关系分析，国旗匀速上升时，高度增加导致正切值增大，从而注视角增大；选项D中，相同身高但水平距离不同时注视角不等. 【详解】设学生眼睛高度为h，水平距离为d，国旗初始高度，上升速度，时间t后国旗高度． ∵， 且，，，、、、是定值， ∴随t增加而增加， ∴随t增加而增加， 又∵为锐角，的值随着的增大而增大， ∴逐渐增大， 故每个学生的注视角逐渐增大，故选项A、B说法错误，不符合题意，选项C说法正确，符合题意； 对于D，同一时刻相同，但d可能不同，即使h相同，也可能不等，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 1．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）（参考数据：，，） 【答案】否 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线．过点A作于点C，根据解直角三角形的计算求得长度，再与车跟墙壁的距离比较即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点C， 则在中，，，米， ∴， ∴不会碰到墙． 故答案为：否． 三、解答题 1．（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)符合场景2的要求，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； （3）解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示，已知座椅、上管都平行于地面，下管的长为，后叉脚的长为，上下管的夹角为，座管与上管的夹角为、与后叉脚的夹角为，车座顶端到牙盘中心的距离为，车轮半径均为．（参考数据：，，，，，，） (1)求座管的长：（精确到） (2)求座椅到地面的距离．（精确到） 【答案】(1) (2)座椅到地面的距离为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）过点作于点，先求出，再根据求解即可； （2）过点作，过点作于点，延长交于点，得到，且都平行于地面，推出，，，得到，求出，根据三角函数求出、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点作于点，延长交于点， 座椅、上管都平行于地面， ，且都平行于地面， ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 车轮半径均为， 座椅到地面的距离为． 3．（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2)正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，说明见解析 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 4．（25-26九年级上·上海青浦·期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，车位的三面围墙及墙均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为，当前车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离．(参考数据：，，，，，，，，．) 结合上述条件，回答下列问题： (1)当该汽车倒车停入车位区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； (2)已知车库门前有一条平行于且与距离厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【答案】(1)驾驶员能顺畅地从车中出来，理由见解析 (2)汽车不会占用到人行道，理由见解析 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用． 【详解】（1）解：如图，过前车门顶点向车身作垂线，垂足为点． 根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为，， ∵车外后视镜完全打开时与墙之间有厘米的安全距离， ∴此时另一侧车身与墙之间的距离为， 则车身与墙之间的距离为 假设前车门与车身的夹角， 在中，， ∴． ∵， ∴驾驶员能顺畅地从车中出来； （2）解：考虑极限状态，如图，前车门顶点在墙上，过点作，过点作，与交于点，容易得到 当前车门完全打开时与车身夹角为，即， 在中，，， ∴，． 由（1），，∴ 在中，，， ∴， ∴， ∵与人行道的距离为厘米，， ∴汽车不会占用到人行道． 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关键． 5．（2026·上海松江·一模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 试卷第60页，共60页 试卷第59页，共60页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08解直角三角形及其应用(5大考点，50题) ☆5大考点概览 考点01解直角三角形 考点02坡度坡比问题 考点03仰角俯角问题 考点04方位角问题 考点05其他响题 考点1 解直角三角形 单选题 1.（25-26九年级上·上海杨浦·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=1,下列结论中正确的是() A.sin B=3 B.cosB= 2 C.tan B= D.cot B= 2 2 2 2.(2026上海徐汇一模)在Rt△ABC中，已知LC=90°，AB=5,BC=3,那么∠B的余切值为() 4 3 B. 4 二、填空题 1.(2025学年第一学期期末学业质量调研九年级数学)在ABC中，sin4=0 (∠A是锐角)， 10 ∠B=45°，AC=V10,那么AB的长为 2.(25-26九年级上·上海宝山期末)将一副直角三角板如图放置，已知∠ACB=∠DEF=90°，∠A=45°， ∠D=30°，AB=DE,点C在边DF上，点E,F在边AB上，如果EF=2,那么AF的长为 E B 3.(25-26九年级上·上海宝山期末)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“差直三角形”，在ABC中， 8>90,mC,BC=4,如果ABC是“差直三角形%，那么AB的长为 4.(25-26九年级上·上海普陀期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，点E在边AB上， DE1D.如果8C=20,otB-,那么DE= 试卷第59页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5（②5-26九年级上上海音浦期未)如图，已知ABC巾，m8=,anC=,C=45,点M是 BC中点，点D在边AB上，连接DM,将△BDM沿着直线DM翻折，点B的对应点为点E.连接AE,如 果AE∥BC,那么∠BMD的度数为 6.(2526九年级上上海浦东新期末)如图，在R1△ABC中，∠4CB=90,an∠C1B=,CD平分 ∠4CB,E为DC延长线上一点，且∠CEA=∠CBE,那么CD的值为 CE B 7.(2026上海虹口一模)如图，在4BC中，AB=4C=10,,sin B=.点D在边BC上，连接AD,将 3 △ABD沿AD翻折得到△AED,点B对应点E,连接CE,如果CE∥AB,那么BD的长是 8.(25-26九年级上·上海普陀·期末)我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个 三角形的中垂点.已知在ABC中，4B=AC,cos∠ABC=,AD为BC边上的高，点O在AD上，连接 OE CO并延长交AB于点E,如果点O是ABC的中垂点，那么 C的值为 上海奉贤期末)如图，在ABC中，AB=AC=5,ctB=,将 的对应点为点D,连接AD交边BC于点E.如果AE=3ED,那么CE的长为 试卷第60页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 10.（2026上海闵行一模)如图，在4BC中，B=4C,4C=10,0sB=等，点D是边BC上的一点，连 接AD,如果∠ADB=90°+∠BAD,那么AD= 级上上海杨浦期末)定知4BC中，AC=4,L4=30°，tanB=,那么B 12.(2026上海松江一模)已知ABC中，∠ACB=90°，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACQ与 BP9相似，且△APQ是等腰三角形，那么%的值是 AO 13.(2026上海杨浦一模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6,∠ABC=60°，∠ADC=90°，对角线 AC与BD相交于点E,若BE=3DE,则BD= 14.（2026上海徐汇一模)如图.在A8C中，A8=AC=5ce0C=号将A4BC绕点A道时针旋转得到 ADE,点B、C分别与点D、E对应，边AD、DE分别与原三角形底边BC交于点F、G·当△DFG是等腰 三角形时，FG的长为 15.2026上格虹口一使)知图，在8c中，8c=5,c04=2,m8-子D是份的中点，E是线段 AC延长线上一点，连接BE,如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等，那么AE的长 是 试卷第59页，共60页 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 16.(25-26九年级上上海青浦期末)如图，点G是ABC的重心，AB=4,BC=3,tanB=1,则 cot∠BCG= B 17.(2026上海静安一核)如图，在s4BC中，BD是6ABC的中线，BC=2BD,AC=65,mA= 那么AB的长为 D B 18.(2026上海松江一模)已知一副三角板中，含45°三角板的斜边(BE)与含30°三角板的长直角边 《4C)相等，如图，将一副三角板拼在一起，点B、C、D在一条直线上，那么4二的值是 AD 考点2 坡度坡比问题 一、单选题 1.(25-26九年级上上海浦东新期末)如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处 传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为() 试卷第60页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 传送带 B A下 A.5米 B.10米 C.12米 D.13米 2.(25-26九年级上·上海杨浦期末)一传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，如果要把物体从地面送到离 地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（) A.12米 B.13米 C.24米 D.26米 二、填空题 1.(2026上海黄浦一模)已知一个斜坡的坡比是1：2.4，如果某人从坡底沿这个斜坡走了s米到达坡顶，那 么坡底与坡顶间的垂直距离是 ·(用s的代数式表示) 2.(25-26九年级上·上海普陀·期末)如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线 CA的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线CB的方向延伸 米. 3.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为1：2.4 ，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为米。 4.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1：2.4的斜坡笔直滑下52米，那么他 下降的高度是 米。 5.(2026上海闵行一模)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，它把物体从地面送到离地面4米高 的地方，那么物体所经过的路程是 米（结果保留根号）. B 传送带 :2 A 6.(2026上海徐汇·一模)如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一 试卷第59页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是」 二楼 6米 7.(25-26九年级上·上海青浦·期末)小海沿着坡度为1：√3的斜坡上行80米时，他的铅垂高度上升了 米. 8.(2026上海静安一模)已知一坡面的坡度i=1:√5，那么这个坡角等于°. 9.(2026上海嘉定一模)如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为i=1:2.4,它把物品从地面A送到离地 面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为 传送带 三、解答题 1.(2026上海长宁.一模)如图，已知水平地面AB上方有一水平的平台CD,该平台上有一个竖直的建筑 物EF,满足EF⊥CD.从A到C处的斜坡AC的坡度i=1:3,且AC=20V10米.已知在A处测得建筑物顶 端E的仰角为30，在C处测得E的仰角为60°.假设A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内 (I)求平台CD的高度. (②)求建筑物EF的高度.（结果保留根号） 2.(2026上海金山一模) 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮 椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力.为 甲 确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以 组 下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准. 每段坡道垂直升高不宜超过75cm,超过时需设置休 试卷第60页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 息平台.为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道 FG=39cm DE =109cm,AC =250cm 的相关数据，如图1、图2、图3. 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通 行，可将坡道设计为折返形，如图4.折返形坡道（坡 道OV一休息平台VR一坡道VC')设计需满足以下关 组 键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平 图2 长度最大560cm,休息平台宽度最小150cm,轮椅入 NK =91.2cm,NM =26.6cm 口宽度最小150cm. 丙 组 图3 C'Q=9.8cm,P=33.6cm R 休息平台宽为 S 图4 VR,轮椅入口宽为OT,A'T=30cm,点T到连廊的距离TI为520cm. (I)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高(BC或B'C'),并判断是否安全； (②)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道O”、 坡道VC')的坡度和坡高以及设计过程. 考点3 仰角俯角问题 一、单选题 1.(2026上海黄浦一模)小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼.小明在家里看对面一幢楼 的顶部A处的仰角为%，看底部B处的俯角为B,；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看 底部B处的俯角为B,,那么下列结论中，正确的是() A.a1>a2且B1>B2 B.a1>a2且B,<B2 试卷第59页，共60页 厨学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C.a1<a2且B1>B2 D.a1<a2且B1<B2 二、填空题 1.(25-26九年级上·上海浦东新·期末)如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37° ,那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是 乙楼 B 甲楼 A 三、解答题 1.（2026上海嘉定.一模)上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征.小 海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量.如图， 小海在A处用测角仪测得塔顶M的仰角为37°，再往塔的方向前进30米至B处（点N为塔底中心，且点 A、B、N在同一水平线上)，测得此时塔顶M的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米.请估算法华塔的 高度 (参考数据：血7子07：子m75173,结果精候到01米。 D y 2.(25-26九年级上·上海杨浦·期末)如图，为了测量学校教学楼AB的高度，小慧同学先在教学楼前点D 处测得楼顶A的仰角为45°，再沿BD方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为22°(B、D、C 在一条直线上)，根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼AB的高度（精确到01米）.（参考数据： 8’c0s2215 sin22°=3 ,am2号 试卷第60页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45入 22 B D 3.(2026上海崇明一模)长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源 的绿色转型（如图1）.某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实 地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如 图2)，当其中一片风叶0C与塔架0D叠合时（即0、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为200米 的E处，测得塔架顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A,B,C,D,E,O在同一 平面内.（参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，√5≈1.7.） 图1 图2 (1)求塔架OD的长度； (②)求风叶OA的长度.（精确到1米） 4.(2026上海静安·一模)舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被 广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中，梅花桩 AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）.如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的 仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米. B 图-① 图-② (I)舞狮人从A跳跃到C,随后再跳跃至E,所成的角∠ACE=_°； (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长.（结果精确到0.01米，其中tan35°≈0.70，tan47°≈1.08，） 考点4 方位角问题 试卷第59页，共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26九年级上·上海浦东新·期末)如图，监测点P在距离道路1的100米处，道路上的货车A在监测点 P的北偏西60°的方向.道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距 米 (结果保留根号). 2.(2026·上海嘉定·一模)如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q,一艘船从港口P出发沿正东方 向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距 海里. (结果保留根号) 北 P 3.(25-26九年级上·上海奉贤期末)小海操控一辆遥控玩具车从A处沿北偏东60°方向走了6米到B处，再 从B处向正南方向走了9米到达C处，此时这辆遥控玩具车离A处的距离是米， 考点5 其他问题 一、 单选题 1.(25-26九年级上·上海青浦·期末)学校在操场上举行庄严的升旗仪式，每个学生均站立在旗杆前方的水 平地面上面向国旗行注目礼.已知国旗的初始位置距地面高度均大于或等于每个学生的身高.如果将看向 国旗的视线与水平视线所形成的夹角定义为注视角，那么国旗从初始位置开始匀速上升至顶端的过程中， 以下说法正确的是() A.每个学生的注视角大小不变 B.每个学生的注视角逐渐减小 C.每个学生的注视角逐渐增大 D.同一时刻，相同身高学生的注视角相等 二、填空题 1.(2026上海徐汇·一模)某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置0'处释放， 秋干摆动到另一侧与竖直方向夹角为B的地方01，在某次秋千释放的过程中，已知c0sC)tmB一} 试卷第60页，共60页