6．4平面向量的应用（思维导图+7大知识点+16大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6．4平面向量的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量在平面几何中的应用 4 知识点二：向量在解析几何中的应用 4 知识点三：向量在物理中的应用 4 知识点四：余弦定理 5 知识点五：正弦定理 5 知识点六：解三角形的概念 5 知识点七：利用正、余弦定理解三角形 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：向量法证明平面几何相关结论 7 题型二：向量法求解平面几何中的量 9 题型三：向量在物理问题中的实际应用 14 题型四：已知两边及一角解三角形 16 题型五：已知三边解三角形 17 题型六：余弦定理判定三角形形状 18 题型七：已知两角及一边解三角形 19 题型八：已知两边及一对角解三角形 21 题型九：三角形形状的综合判定 22 题型十：平面内距离问题求解 24 题型十一：实际测量中的高度问题 26 题型十二：实际问题中的角度求解 29 题型十三：三角形解的个数判断 30 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 32 题型十五：三角形结合图形的综合问题 35 题型十六：三角形面积与周长的计算 38 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 知识点四：余弦定理 1、三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 2、余弦定理的变形公式： 3、利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点五：正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点六：解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点七：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 题型一：向量法证明平面几何相关结论 【例1】如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【解析】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【变式1-1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【变式1-2】在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 【解析】设，． 因为，． 所以． 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以，即． 因为，所以设， 再设，，，与的夹角为， 则与的夹角为，与的夹角为． 因为，即，所以． 所以． 同理可得．所以． 又，，所以，即． 【变式1-3】如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 【解析】证法1：因为，， 且，所以． 因为，且和不共线，所以， 同理， 所以四边形是平行四边形． 证法2：根据角边角可得，， 所以，，所以， 所以四边形是平行四边形． 题型二：向量法求解平面几何中的量 【例2】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【变式2-1】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解析】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 【变式2-2】如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【解析】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 【变式2-3】如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 【解析】法一：如图，过点作，延长交于点，则． 因为， 所以，则，所以，，从而，， 所以． 法二：由得，所以， 以下证明结论：在平面内，若有，其中是平面内一点，是的三个顶点，则. 由可得， 由向量叉乘的几何意义， 同理可得，所以. 利用以上结论，因为，所以，即. 法三：如图，延长交于点，设， 因为，所以． 又因为三点共线，所以，即， 因为等高，所以，即． 因为， ，，所以． 因为等高，所以，即，所以． 题型三：向量在物理问题中的实际应用 【例3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【解析】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 【变式3-1】今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【解析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． 【变式3-2】某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移． 【解析】如图所示，设此人从点出发向东行走10m到达点，再向北偏东方向行走到达点， 由点作的垂线交的延长线于点，则，即， 在中，． 因为，所以． 故此人实际行走的位移为从点向北偏东度（其中）的方向行走了． 【变式3-3】已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【解析】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力． 在中，，，， ．． 与的合力的模为，与成角竖直向上． 题型四：已知两边及一角解三角形 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】，，， ， ，． 故选：D. 【变式4-1】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【解析】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 【变式4-2】在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于，最小角小于， ∴第三边即为a，且，， ， . 故选：C． 【变式4-3】在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据余弦定理得. 由于，所以. 故选：D. 题型五：已知三边解三角形 【例5】已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 【变式5-1】记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意由余弦定理得，又，所以. 故选：D 【变式5-2】在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得， 因为为三角形内角，所以， 所以. 故选：C 【变式5-3】在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 则，， 则角. 故选：C. 题型六：余弦定理判定三角形形状 【例6】在中，，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解析】在中，，由余弦定理得， 此时，， 所以为等腰三角形且为钝角三角形，排除A、C、D选项 故选：B 【变式6-1】已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，所以， 则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又， 所以为等边三角形． 故选：C． 【变式6-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 【变式6-3】在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 题型七：已知两角及一边解三角形 【例7】在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 【变式7-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由三角形内角和可得， 由正弦定理可得，解得. 故选：D. 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 题型八：已知两边及一对角解三角形 【例8】若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 【变式8-1】已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】根据正弦定理可得：， ，解得. 因为，所以，所以. 故选：A. 【变式8-2】在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，由正弦定理得， 而，即，所以. 故选：A 【变式8-3】在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，即， 所以， 又，所以，故. 故选：C 题型九：三角形形状的综合判定 【例9】在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 【变式9-1】在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 【变式9-2】在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式9-3】设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 题型十：平面内距离问题求解 【例10】位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】题意如图， 当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 【变式10-1】如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】A 【解析】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，设距离为， 其中，显然， 则 其中开口向上，对称轴为， 故当小时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：A 【变式10-2】如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 【变式10-3】已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 题型十一：实际测量中的高度问题 【例11】一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 【变式11-1】“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 【变式11-2】小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 【变式11-3】如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 题型十二：实际问题中的角度求解 【例12】某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【解析】由题意，点A在点B的北偏东55°方向，即从点B看，点A位于正北方向顺时针旋转55°． 那么从点A看，点B位于正南方向顺时针旋转55°，即南偏西55°． 故选：D． 【变式12-1】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 【变式12-2】一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【解析】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 【变式12-3】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 题型十三：三角形解的个数判断 【例13】已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【变式13-1】已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 【变式13-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【解析】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 【变式13-3】中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ） A．若，则一定为锐角三角形 B．若，，，则有两解 C．，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，即为锐角，但不能确定为锐角，故不一定为锐角三角形，故A错误； 对于B，， 所以有两解，故B正确； 对于C，若，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，或或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误； 故选：B． 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 【例14】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1），故， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以， 所以为钝角三角形； （2）由（1）知， 又，故， 即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，周长的最大值为 【变式14-1】在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 【变式14-2】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 【变式14-3】记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【解析】（1）由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 【变式14-4】在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 题型十五：三角形结合图形的综合问题 【例15】已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为. (1)求在区间上的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，且边上的高，求的周长. 【解析】（1）由题知， ，， ，即在区间上的值域为. （2）， ， ，即， ，，， 由余弦定理得，即 得，解得或（舍）， ， 的周长为. 【变式15-1】已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)若在区间上的取值范围是，求m的取值范围； (3)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 【解析】（1） ， 由，得，所以函数的对称中心为， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）当时，， 又因为在区间上的取值范围是， 所以，由，得， 所以m的取值范围为； （3）因为，可得，所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，解得， 又因为锐角外接圆半径为，所以， 所以， 所以 ， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以， 所以周长的取值范围为． 【变式15-2】已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【解析】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 【变式15-3】已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，， ， ， 令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）①因为， 所以， 因为，所以， 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即 所以，又， 所以三角形为等边三角形. ②因为，， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以面积的最大值为. 题型十六：三角形面积与周长的计算 【例16】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【解析】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 【变式16-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 【解析】（1）， ， 即，， 又，． （2），， ， ∴由余弦定理，得， ，即 ，. ∴周长为． 【变式16-2】在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）在中利用余弦定理可得，， 因为，所以， 又，所以； （2）由，结合正弦定理可得，， 因为，所以， 选①：若，则，则（负值舍去），则， 故的周长为； 选②：，则， 则，则，得（负值舍去）， 故，，， 故的周长为； 选③：因为边上的高等于，所以， 因为，所以，则（负值舍去），则， 故的周长为； 【变式16-3】在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为，得， 因为，，所以， 所以，所以，所以； （2）由，解得． 由余弦定理可得，， 所以，所以的周长为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6．4平面向量的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量在平面几何中的应用 4 知识点二：向量在解析几何中的应用 4 知识点三：向量在物理中的应用 4 知识点四：余弦定理 5 知识点五：正弦定理 5 知识点六：解三角形的概念 5 知识点七：利用正、余弦定理解三角形 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：向量法证明平面几何相关结论 7 题型二：向量法求解平面几何中的量 8 题型三：向量在物理问题中的实际应用 9 题型四：已知两边及一角解三角形 10 题型五：已知三边解三角形 11 题型六：余弦定理判定三角形形状 11 题型七：已知两角及一边解三角形 12 题型八：已知两边及一对角解三角形 12 题型九：三角形形状的综合判定 13 题型十：平面内距离问题求解 13 题型十一：实际测量中的高度问题 14 题型十二：实际问题中的角度求解 15 题型十三：三角形解的个数判断 16 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 16 题型十五：三角形结合图形的综合问题 18 题型十六：三角形面积与周长的计算 19 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 知识点四：余弦定理 1、三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 2、余弦定理的变形公式： 3、利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点五：正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点六：解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点七：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 题型一：向量法证明平面几何相关结论 【例1】如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【变式1-1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【变式1-2】在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 【变式1-3】如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 题型二：向量法求解平面几何中的量 【例2】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【变式2-2】如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【变式2-3】如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 题型三：向量在物理问题中的实际应用 【例3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【变式3-1】今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【变式3-2】某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移． 【变式3-3】已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 题型四：已知两边及一角解三角形 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【变式4-1】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【变式4-2】在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 题型五：已知三边解三角形 【例5】已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 题型六：余弦定理判定三角形形状 【例6】在中，，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【变式6-1】已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-3】在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 题型七：已知两角及一边解三角形 【例7】在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式7-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型八：已知两边及一对角解三角形 【例8】若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式8-2】在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D． 题型九：三角形形状的综合判定 【例9】在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式9-1】在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式9-2】在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式9-3】设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型十：平面内距离问题求解 【例10】位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式10-2】如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型十一：实际测量中的高度问题 【例11】一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【变式11-2】小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-3】如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 题型十二：实际问题中的角度求解 【例12】某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【变式12-1】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式12-3】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 题型十三：三角形解的个数判断 【例13】已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【变式13-3】中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ） A．若，则一定为锐角三角形 B．若，，，则有两解 C．，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 【例14】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【变式14-1】在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【变式14-2】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【变式14-3】记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【变式14-4】在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 题型十五：三角形结合图形的综合问题 【例15】已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为. (1)求在区间上的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，且边上的高，求的周长. 【变式15-1】已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)若在区间上的取值范围是，求m的取值范围； (3)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 【变式15-2】已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【变式15-3】已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 题型十六：三角形面积与周长的计算 【例16】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【变式16-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 【变式16-2】在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式16-3】在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $