6．4平面向量的应用（16大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

6．4平面向量的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：向量法证明平面几何相关结论 2 题型二：向量法求解平面几何中的量 2 题型三：向量在物理问题中的实际应用 3 题型四：已知两边及一角解三角形 4 题型五：已知三边解三角形 4 题型六：余弦定理判定三角形形状 5 题型七：已知两角及一边解三角形 5 题型八：已知两边及一对角解三角形 5 题型九：三角形形状的综合判定 5 题型十：平面内距离问题求解 6 题型十一：实际测量中的高度问题 6 题型十二：实际问题中的角度求解 7 题型十三：三角形解的个数判断 8 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 8 题型十五：三角形结合图形的综合问题 9 题型十六：三角形面积与周长的计算 10 02 重难点拓展 12 题型一：向量法证明平面几何相关结论 1．在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 2．已知四边形的四个顶点坐标为、、、.用向量的方法证明：四边形是正方形. 3．已知在中，，，试证明三角形的面积. 题型二：向量法求解平面几何中的量 4．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 5．如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 6．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型三：向量在物理问题中的实际应用 7．如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 8．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 9．有两根柱子相距，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点．如果送电线在这点垂直向下的作用力是，则这条呈水平的绳子的中点下降，求此时绳子所受张力的大小． 题型四：已知两边及一角解三角形 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 11．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 12．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 题型五：已知三边解三角形 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 14．在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 15．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型六：余弦定理判定三角形形状 16．在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 17．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 题型七：已知两角及一边解三角形 19．在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 20．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 21．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 题型八：已知两边及一对角解三角形 22．在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 23．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 24．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型九：三角形形状的综合判定 25．在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 26．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型十：平面内距离问题求解 27．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 28．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 29．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 题型十一：实际测量中的高度问题 30．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 31．如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 32．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 题型十二：实际问题中的角度求解 33．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 34．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 35．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．西偏南方向上 题型十三：三角形解的个数判断 36．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 37．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 39．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 40．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 41．已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 题型十五：三角形结合图形的综合问题 42．已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 43．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. 44．已知向量，函数． (1)在中，分别为内角的对边，若，求A； (2)在（1）条件下，，求的面积． 题型十六：三角形面积与周长的计算 45．已知函数.在中，，且. (1)求的大小： (2)若，，求的面积. 46．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 47．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 1．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．如图所示，在河岸上测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 6．设中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 8．（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的有（   ） A．总存在某内角 B．若，则 C． D． 9．（多选题）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 10．如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 11．作用在同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则与之间的夹角的正弦值为________． 12．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 13．如图，隔河看两目标，，但不能到达，在岸边选取相距的两点，并测得，，，（，，，在同一平面内），求两目标，之间的距离． 14．如图所示，在中，，，点在边上，，求的长度． 15．的内角所对的边分别为，若，求角． 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 17．已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 18．记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6．4平面向量的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：向量法证明平面几何相关结论 2 题型二：向量法求解平面几何中的量 4 题型三：向量在物理问题中的实际应用 7 题型四：已知两边及一角解三角形 9 题型五：已知三边解三角形 10 题型六：余弦定理判定三角形形状 11 题型七：已知两角及一边解三角形 12 题型八：已知两边及一对角解三角形 13 题型九：三角形形状的综合判定 13 题型十：平面内距离问题求解 14 题型十一：实际测量中的高度问题 16 题型十二：实际问题中的角度求解 18 题型十三：三角形解的个数判断 20 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 21 题型十五：三角形结合图形的综合问题 24 题型十六：三角形面积与周长的计算 26 02 重难点拓展 28 题型一：向量法证明平面几何相关结论 1．在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【解析】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 2．已知四边形的四个顶点坐标为、、、.用向量的方法证明：四边形是正方形. 【解析】四边形中，，，，则， 于是，四边形是平行四边形， 又，因此是矩形，又， 所以矩形是正方形. 3．已知在中，，，试证明三角形的面积. 【解析】证明：因为， 所以 . 题型二：向量法求解平面几何中的量 4．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 5．如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【解析】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 6．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【解析】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 题型三：向量在物理问题中的实际应用 7．如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【解析】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 8．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【解析】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 9．有两根柱子相距，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点．如果送电线在这点垂直向下的作用力是，则这条呈水平的绳子的中点下降，求此时绳子所受张力的大小． 【解析】如图，设，垂直向下的作用力对应向量，绳子所受张力对应向量分别为，， 则根据平面向量加法的平行四边形法则，得，其中是向量的相反向量，且. 因为两根柱子相距，绳子的中点下降， 所以等腰中，，， 可得. 因为为锐角，所以 由，解得. 因为送电线在这点垂直向下的作用力是， 所以绳子所受张力大小分别为． 则此时绳子所受的张力大小约为． 题型四：已知两边及一角解三角形 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由余弦定理得，所以. 故选：D 11．在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 12．在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 题型五：已知三边解三角形 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 14．在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 15．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据余弦定理得. 故选：C 题型六：余弦定理判定三角形形状 16．在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 17．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】因为，由余弦定理得， 化简得， 若，即，此时为直角三角形； 若，则，此时为等腰三角形． 综上，为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 题型七：已知两角及一边解三角形 19．在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 20．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】在中，，则， 因为，则，， 又，解得，，又， 在中，，所以， 所以， 所以. 故选：A. 21．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 题型八：已知两边及一对角解三角形 22．在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由正弦定理得，则. 故选：C 23．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 24．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 题型九：三角形形状的综合判定 25．在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 【答案】B 【解析】,两边平方得到：， 因为若对任意恒成立，所以， 即 化简不等式得： ， 由余弦定理得：，化简得：， 所以，为直角三角形. 故选：B 26．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 题型十：平面内距离问题求解 27．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 28．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【解析】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 29．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【解析】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 题型十一：实际测量中的高度问题 30．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【解析】设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米. 故选：C 31．如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 32．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 题型十二：实际问题中的角度求解 33．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 34．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解析】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 35．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．西偏南方向上 【答案】C 【解析】因为点在点的北偏东方向上， 如图所示，点在点的南偏西方向上． ， 选项C符合题意. 故选：C. 题型十三：三角形解的个数判断 36．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【解析】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 37．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 38．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 题型十四：三角形边长、面积与周长的最值及范围 39．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【解析】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 40．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【解析】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 41．已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 【解析】（1）由正弦定理得：，即， ，又，. （2）为边中点，， ， ， （当且仅当时取等号），最大值为. 题型十五：三角形结合图形的综合问题 42．已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 【解析】（1）的最小正周期为， 它的图象相邻两条对称轴的距离为； （2）由题意得，即， 因为，所以，故， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得， 其中， 故面积， 故面积的最大值为. 43．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. 【解析】（1） ， 的最小正周期； （2）由，可得，又， ，， ， 由，得， 由余弦定理得：，得， 由正弦定理得外接圆的半径. 44．已知向量，函数． (1)在中，分别为内角的对边，若，求A； (2)在（1）条件下，，求的面积． 【解析】（1）由向量，函数， 得． 由，即， 因为，所以， 从而，解得． （2）由余弦定理，得， 则，则．所以， 所以的面积． 题型十六：三角形面积与周长的计算 45．已知函数.在中，，且. (1)求的大小： (2)若，，求的面积. 【解析】（1），在中，，所以， 因为，所以， 则有：或， 即或，因为，所以，即， 所以. （2）因为，， 则，即， 所以. 46．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【解析】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 47．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【解析】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 1．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 3．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 4．如图所示，在河岸上测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可求出，由，可利用正弦定理求出，故选D． 5．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【解析】， . 故选:B 6．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 7．（多选题）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【解析】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确. 故选：BCD 8．（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的有（   ） A．总存在某内角 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于选项A：根据，则，在三角形中必存在一个不大于的锐角，故A正确． 对于选项B：因为，所以，由正弦定理得，故B错误. 对于选项C：在三角形中，A、B、C均不为， 由可得：， 故.故C正确. 对于选项D：因为， 所以由正弦定理得，故D正确. 9．（多选题）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【解析】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 10．如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【解析】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 11．作用在同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则与之间的夹角的正弦值为________． 【答案】 【解析】由题意，知应与的合力平衡．设与之间的夹角为，如图， 可知当三力平衡时，由余弦定理得， 再由正弦定理得，即． 12．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【解析】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 13．如图，隔河看两目标，，但不能到达，在岸边选取相距的两点，并测得，，，（，，，在同一平面内），求两目标，之间的距离． 【解析】在中，，，．． 在中，． 在中，由正弦定理，得． 则在中，由余弦定理，得 ． ． ∴两目标之间的距离为． 14．如图所示，在中，，，点在边上，，求的长度． 【解析】在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，由正弦定理得，， 所以． 15．的内角所对的边分别为，若，求角． 【解析】由及正弦定理知， 整理得， 即． 故由余弦定理可知，又，所以． 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由已知及正弦定理得， 即． 故，又，所以， 所以，所以． （2）由已知，又，所以， 由已知及余弦定理得， 故，所以， 所以的周长为， 17．已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【解析】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 18．记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【解析】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $