第1章 平面向量及其应用 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第1章　平面向量及其应用 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 2.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当·取得最小值时,点P的坐标是(　　) A.(2,0)　　B.(4,0)　　C.　　D.(3,0) 3.P是△ABC所在平面上一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形　　　B.直角三角形 C.等腰三角形　　D.等边三角形 4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧上的点且∠PBC=45°,则·=(　　) A.-4　　B.2-4　　C.+4　　D.2+4 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.在△ABC中,∠A=60°,a=2,b=4,那么满足条件的△ABC(　　) A.有一个解　　B.有两个解　　C.无解　　D.不确定 7.山西应县木塔,始建于1056年,是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑,与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔MN的高度,在塔的附近找到一座建筑物AB,高为15 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M、建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°,在A处测得木塔顶部M的仰角为30°,则估算木塔的高度为(　　) A.(15+45)m　　B.(45+15)m　　C.(15+45)m　　D.(45+15)m 8.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上任意一点,实数x,y满足+x+y=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为(　　) A.-1　　B.1　　C.-　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.关于平面向量a,b,c,下列说法错误的是(　　) A.若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b=λa B.若a·b=0,则a,b的夹角为直角 C.若a·b=a·c,则b=c D.若a=(2,1),b=(1,m),且a⊥b,则m=-2 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=2,a=2,则(　　) A.b2+c2=8 B.向量,夹角的最小值为 C.A的最大值为 D.△ABC的面积的最小值为 11.下列命题中正确的是(　　) A.已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a与b的夹角为 B.若a,b,c是平面内三个非零向量,则(a·b)c=a(b·c) C.若a=(sin θ,),b=(1,),其中θ∈,则a⊥b D.若O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则直线AP一定经过△ABC的内心 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的四等分点,P为BN上一点,若=+,则m=　　　　.  13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,=,则△ABC的面积的最大值为　　　　.  14.如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°方向的C处,12时20分测得轮船在海岛北偏西60°方向的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5 km的港口E处,如果轮船始终匀速直线前进,则船速为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在①csin C=sin A+bsin B,∠B=60°,②c=2,cos A=这两个条件中任选一个作为下面问题的条件,并解答. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,　　　　,求△ABC的面积S.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)设a,b是两个不共线的非零向量. (1)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值; (2)若向量a,b满足|a|=5,|b|=4,(a+b)⊥b,求|2a+b|. 17.(15分)如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB. (1)试用向量a,b分别表示,; (2)若AM交DN于点O,求的值. 18.(17分)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=sin A+. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC的面积的最大值以及周长的最大值. 19.(17分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t). (1)若⊥a,且||=||,求向量; (2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取得最大值4时,求·. 答案全解全析 1.D　因为a·(a+b)=|a|2+a·b=25-6=19, |a+b|====7, 所以cos<a,a+b>===. 2.D　∵点P在x轴上,∴可设点P的坐标是(x,0),又A(2,-1),B(4,2),∴=(2-x,-1),=(4-x,2),∴·=(2-x)(4-x)-2=x2-6x+6=(x-3)2-3,∴当x=3时,·取得最小值,此时点P的坐标是(3,0). 3.B　∵P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0, ∴||-|(-)+(-)|=0,∴||=|+|,∴|-|=|+|,两边平方并化简,得·=0,∴⊥,∴∠A=90°,故△ABC是直角三角形. 4.B　解法一:·=·(-)=·-=2×2×cos 45°-2×2=2-4. 解法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(0,0),C(2,0), 因为P为弧上的点且∠PBC=45°,所以P(,), 则=(,),=(2-,-), 所以·=×(2-)+×(-)=2-4. 5.B　因为p∥q,所以(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab, 所以a2+b2-c2=ab,所以cos C==,又C∈(0,π),所以C=. 6.C　∵a=2,b=4,∠A=60°,∴a<bsin A,∴△ABC无解. 7.D　sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=, 在Rt△ABC中,AC==(15+15)m, 在△ACM中,∠ACM=180°-60°-15°=105°,∠MAC=30°+15°=45°, 则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°, 由正弦定理,得=, 所以MC==(15+15)×=(30+30)m, 在Rt△MNC中,MN=MCsin∠MCN=(30+30)×sin 60°=(45+15)m. 8.D　由题意可得,EF是△ABC的中位线,∴P到BC的距离等于△ABC中BC边上的高的一半,可得S1=S=S2+S3,∴λ2+λ3=,由此可得λ2·λ3≤=,当且仅当λ2=λ3,即P为EF的中点时,等号成立, ∴+=0. 由平行四边形法则,可得+=2①,+=2②, ①+②,得2++=0. ∵+x+y=0,∴x=y=,∴2x+y=. 故当λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为. 9.BC　由共线向量定理可知A中说法正确;当a=0或b=0时,a·b=0也成立,所以B中说法错误;因为a·b=a·c,所以|b|cos<a,b>=|c|cos<a,c>,所以C中说法错误;a·b=2+m=0,解得m=-2,所以D中说法正确. 10.AC　由·=2,得bccos A=2, 在△ABC中,由余弦定理得,a2=4=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4, 则b2+c2=8,故A正确; 由A得b2+c2=8≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立,所以cos A===≥,又A∈(0,π),所以A的最大值为,故向量,夹角的最小值为,故B错误,C正确; 由以上分析知A∈,则sin A∈,则S△ABC=bcsin A≤×4×=,故△ABC的面积的最大值为,故D错误. 11.CD　对于A,设a,b的夹角为θ, ∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=a·b+2b2=0, ∴|a||b|cos θ+2|b|2=0, ∵|a|=4|b|, ∴4|b|2cos θ+2|b|2=0,∴cos θ=-, ∵θ∈[0,π],∴θ=,故A错误. 对于B,设a·b=λ,b·c=t,λ,t∈R, 则(a·b)c=a(b·c)⇔λc=ta, ∵a,c均为任意向量,∴λc=ta不一定成立,故B错误. 对于C,∵θ∈,∴-1<sin θ<0, ∴a·b=sin θ+=sin θ+=sin θ-sin θ=0, ∴a⊥b,故C正确. 对于D,由已知得=λ,是方向上的单位向量,设为,是方向上的单位向量,设为,则以AE,AF为邻边的平行四边形为菱形,故点P在∠BAC的平分线上,故直线AP一定经过△ABC的内心,故D正确. 12.答案　 解析　由题意得=4,则=+=+(-)=m+=m+,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=. 13.答案　 解析　由=及正弦定理,得=, 所以sin B=cos B,所以tan B=, 又B∈(0,π),所以B=, 由b2=a2+c2-2accos B可得,4=a2+c2-ac, 又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=2时取等号,所以ac≤4, 所以S△ABC=acsin B≤×4×=, 故△ABC的面积的最大值为. 14.答案　 km/h 解析　由题知,轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而轮船始终匀速直线前进,故BC=4EB.设EB=x km,则BC=4x km,由已知得∠BAE=30°,∠BAC=120°,∠EAC=150°. 在△AEC中,由=,得 sin C===. 在△ABC中,由=,得 AB=== km. 在△ABE中,由余弦定理,得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos 30°=+25-2××5×=,∴BE= km, 故船速的大小为= km/h. 15.解析　选①:由正弦定理及csin C=sin A+bsin B,得c2=a+b2,(3分) ∵a=3,∴b2=c2-3,(5分) 又∵∠B=60°,∴b2=c2+9-2×3×c×=c2-3c+9,(8分) ∴c2-3c+9=c2-3,解得c=4,(10分) ∴△ABC的面积S=acsin B=×3×4×sin 60°=3.(13分) 选②:∵a=3,c=2,cos A=, ∴由余弦定理可得=,(3分) 解得b=或b=-2(舍去).(6分) 易得sin A=,(9分) ∴△ABC的面积S=bcsin A=××2×=.(13分) 16.解析　(1)因为4a+kb与ka+b共线, 所以存在实数λ,使得4a+kb=λ,(3分) 即a+b=0,(5分) 又a,b是两个不共线的非零向量, 所以(7分) 解得或所以实数k的值是4或-4.(9分) (2)因为(a+b)⊥b, 所以(a+b)·b=a·b+|b|2=0, 所以a·b=-|b|2=-16,(11分) 所以|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×25+4×(-16)+16=52,(13分) 所以|2a+b|=2.(15分) 17.解析　(1)∵AN=AB,∴==a,(1分) ∴=-=a-b.(3分) ∵BM=BC, ∴===b,(5分) ∴=+=a+b.(7分) (2)∵A,O,M三点共线,∴∥.(8分) 设=λ(0<λ<1), 则=-=λ-=λ-b=λa+b.(10分) ∵D,O,N三点共线,∴∥, 设=μ(0<μ<1),则λa+b=μ.(12分) ∵向量a,b不共线,∴解得(14分) ∴=,=, ∴=.(15分) 18.解析　(1)依题意得,sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C, 由正弦定理,得b2+c2=a2+bc, 所以cos A==.(3分) 因为A∈(0,π),所以A=.(6分) (2)由a2=b2+c2-2bccos A得,12=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c=2时,等号成立,(9分) 所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤3, 所以△ABC的面积的最大值为3.(11分) 因为12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=, 所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.(14分) 所以a+b+c≤6, 故△ABC的周长的最大值为6.(17分) 19.解析　(1)由题意知=(n-8,t). ∵⊥a,a=(-1,2), ∴·a=8-n+2t=0,∴n=8+2t.(3分) 又∵||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,解得t=±8.(6分) 当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8, ∴=(24,8)或=(-8,-8).(8分) (2)由题意知=(ksin θ-8,t). ∵与a共线,a=(-1,2),∴t=-2ksin θ+16, ∴tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k+.(10分) ∵k>4,∴0<<1,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值,为.(12分) 由=4,得k=8,∴sin θ=,(14分) 又0≤θ≤,∴θ=,此时=(4,8),(15分) ∴·=(8,0)·(4,8)=8×4+0×8=32.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $