第4章 专题强化练8 空间几何体的内切球和外接球（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

专题强化练8　空间几何体的内切球和外接球 1.(2024甘肃酒泉期末)若正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的表面积为16π,则该正方体内最多可容纳半径为1的小球的个数为(　　) A.7　　B.8　　C.9　　D.10 2.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025辽宁沈阳第二十中学月考)已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,其外接球球心O满足=3,则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积的比值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(多选题)(2025安徽皖中名校联盟期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,Q是线段AB的中点,P是线段BC1(含端点)上的动点,则下列命题正确的是(　　) A.三棱锥P-A1QC的体积为 B.直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为2 C.PA1+PQ的值可以为 D.在直三棱柱ABC-A1B1C1内部能够放入一个表面积为π的球 5.(2025重庆十八中月考)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3,则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　) A.12π　　B.27π　　C.　　D. 6.下图是四个几何体的展开图,图①是由四个边长为3的正三角形组成;图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成;图③是由8个边长为3的正三角形组成;图④是由6个边长为3的正方形组成. 若直径为4的球形容器(不计容器厚度)内有一几何体,则该几何体的展开图可以是　　　　(填序号).  7.(2025湖南常德第一中学期中)如图,圆柱内接于球O,已知球O的半径R=2,设圆柱的底面半径为r. (1)以r为变量,表示圆柱的表面积S和体积V; (2)当r为何值时,该球内接圆柱的侧面积取得最大值?最大值是多少? 答案与分层梯度式解析 专题强化练8　空间几何体的内切球和外接球 1.B 2.B 3.B 4.AD 5.D 1.B　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 则其内切球的直径为a, 由题意知4π×=16π,所以a=4,即正方体的棱长为4,易得该正方体内最多可以放8个半径为1的小球. 2.B　该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为=4,故S△CAB=×6×4=×(5+5+6)r,解得r=, 故V1=π×r3=π,V2=π×32×4=12π,故=×=. 3.B　设圆台O1O2的高为4h,则由题意得||=3||=3h,作出圆台的轴截面如图: 由圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,得圆O1,O2的半径分别为2,6, 设外接球半径为R,由勾股定理得R2=4+9h2=36+h2,解得h=2,R=2, 故所求体积的比值为=. 4.AD　对于A,如图1,连接AC1,交A1C于点E,连接EQ, 因为四边形AA1C1C为平行四边形, 所以E为AC1的中点, 又因为Q为AB的中点,所以EQ∥BC1, 又EQ⊂平面A1QC,BC1⊄平面A1QC, 所以BC1∥平面A1QC, 因为P是线段BC1(含端点)上的动点,所以点P到平面A1QC的距离等于点C1到平面A1QC的距离,为定值, 所以==,易得点Q到平面ACC1A1的距离等于BC的长的,故=××2×2×1=,故A正确. 对于B,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成棱长为2的正方体,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径等于该正方体的体对角线长的一半,为,故B错误. 对于C,将△BQC1沿BC1翻折到△A1BC1所在平面,如图2, 易得A1C1=2,C1Q=,∠A1C1B=90°,因为AC1=BC1=AB=2,Q为AB的中点,所以∠BC1Q=30°,所以∠A1C1Q=90°+30°=120°, 在△A1C1Q中,由余弦定理可得A1Q2=A1+C1Q2-2A1C1·C1Qcos 120°=4+6-2×2××=10+2, 当A1,P,Q三点共线时,PA1+PQ取得最小值,为,又<, 故PA1+PQ的值不可能为,故C错误. 对于D,设△ABC的内切圆的半径为r, 则r===2-, 因为2r=4-2<2,所以在直三棱柱ABC-A1B1C1内部可以放入的球的半径的最大值为2-, 设表面积为π的球的半径为R,则4πR2=π,可得R=0.5, 因为r-R=2--0.5=1.5->0,即r>R,所以直三棱柱ABC-A1B1C1内部能够放入一个表面积为π的球,故D正确. 5.D　如图1所示,设O,O1分别为正方形ABCD,正方形A1B1C1D1的中心,连接OO1,BO,B1O1,过点O作OE⊥CD于点E,过点O1作O1E1⊥C1D1于点E1,连接EE1,则OO1为正四棱台的高,EE1为其斜高, 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3, 所以B1O1=,BO=4,OO1==3, 因为OO1=3>=5(5是以正四棱台侧棱中点为顶点的正方形的边长,即若球与棱台的上、下底面均相切,则球面超出了四棱台侧面),所以半径最大的球不与上、下底面同时相切. 易得EE1==6,则sin∠OEE1==,则∠OEE1=. 如图2,过O,E,E1,O1作正四棱台的截面,截面截球得大圆,则该圆与等腰梯形两腰和下底相切,设大圆圆心为O2,则∠O2EO=, 则OO2=OEtan =<=(球与四个侧面及下底面相切,且球面没有超出上底面),故最大内切球与四个侧面及下底面相切, 故该正四棱台内半径最大的球的半径为,其表面积为4π×=. 6.答案　① 解析　设几何体外接球的球心为O,半径为R, 对于①,几何体是棱长为3的正四面体, 如图,设H为底面中心,则BH=,PH=. ∴R2=BH2+(PH-R)2,解得R=,∴2R=<4,故满足要求. 对于②,几何体是棱长为3的正四棱锥, 如图,设H为底面中心,则BH=PH=. ∴H即为球心O,R=,∴2R=3>4,故不满足要求. 对于③,几何体是棱长为3的正八面体,其外接球直径与棱长为3的正四棱锥相同,故不满足要求; 对于④,几何体是棱长为3的正方体,体对角线的长度即为外接球直径,如图, ∴2R==3>4,故不满足要求. 故答案为①. 7.解析　(1)如图,记圆柱底面的一条直径为AB,连接AO,取AB的中点O',连接OO'. 设圆柱的高为h,则h=2OO'=2=2, 所以圆柱的侧面积为2πrh=4πr, 则圆柱的表面积S=2πr2+4πr, 圆柱的体积V=πr2h=πr2·2=2πr2. (2)由(1)知,圆柱的侧面积为4πr, 4πr=4π≤4π=8π, 当且仅当r2=4-r2,即r=时,等号成立,故当r=时,圆柱的侧面积取得最大值,为8π. 7 学科网（北京）股份有限公司 $