4.4.2 平面与平面垂直（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直，涵盖二面角及其平面角、面面垂直的判定与性质定理，通过定义辨析、定理推导衔接线面垂直知识，搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生构建立体几何知识脉络。 其亮点在于以知识辨析深化概念理解，如对比二面角与平面角培养数学眼光，通过正方体、四棱锥等典例训练逻辑推理的数学思维，结合符号与图形语言强化数学表达。学生能提升空间观念和推理能力，教师可获得系统教学资源与方法参考。

　二面角 知识点 1 4.4　平面与平面的位置关系 4.4.2　平面与平面垂直 必备知识 清单破 1.半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面. 2.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的 棱,这两个半平面叫作二面角的面,将这个二面角记作二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.   第4章　立体几何初步 高中同步 3.二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂 直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.   二面角的大小可以用它的平面角来度量.范围:0°≤∠AOB≤180°.平面角是直角的二面角叫 作直二面角. 第4章　立体几何初步 高中同步 　两个平面互相垂直 知识点 2 文字语言 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面 角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 符号语言 α⊥β 图形语言   　　注意:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水 平平面的平行四边形的横边垂直. 第4章　立体几何初步 高中同步 　两个平面垂直的判定定理 知识点 3 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这 两个平面垂直 符号语言 若a⊂α,a⊥β,则α⊥β 图形语言   第4章　立体几何初步 高中同步 　两个平面垂直的性质定理 知识点 4 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线 垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与 另一个平面垂直 符号语言 若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,则AB⊥β 图形语言   第4章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.二面角与平面几何中的角是一样的,对吗? 2.二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关系吗? 3.若α⊥β,过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线与平面α有什么位置关系? 4.两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗? 5.如果α⊥β,β⊥γ,那么平面α与平面γ有什么样的位置关系? 第4章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不对.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形;二面角是从一条直线出发的两 个半平面组成的图形.二面角的平面角是一个平面几何中的角. 2.没有.二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 3.该垂线在平面α内. 4.不是.两个平面垂直时,在一个平面内,只有垂直于两平面的交线的直线才垂直于另一个平 面. 5.平行或相交. 第4章　立体几何初步 高中同步 证明两个平面互相垂直  证明平面与平面垂直的方法 关键能力 定点破 定点 1 1.利用平面与平面垂直的定义来证明. 基本步骤: (1)找出两相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角; (3)根据定义,这两个相交平面互相垂直. 第4章　立体几何初步 高中同步 2.利用平面与平面垂直的判定定理来证明. 基本步骤: (1)定思路:分析题意,根据题中已知条件,在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直; (2)证线面:选择恰当的方法证明线面垂直; (3)证面面:根据面面垂直的判定定理证明. 3.若一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面互相垂直. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例    如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA.   第4章　立体几何初步 高中同步 思路点拨    (1)取EC的中点F,连接DF,证明Rt△EFD≌Rt△DBA,从而可得DE=DA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN,可得MN∥BD,从而B,D,M,N四点共面,由EC⊥平面ABC,可得EC ⊥BN,又CA⊥BN,从而证得BN⊥平面ECA,进而证得平面BDM⊥平面ECA. (3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由面面垂直的判定定理得平面DEA⊥ 平面ECA. 第4章　立体几何初步 高中同步 证明    (1)取EC的中点F,连接DF. 因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以EC⊥BC. 易知DF∥BC,所以DF⊥EC. 因为BD∥EC,所以BD⊥平面ABC, 因为AB⊂平面ABC,所以BD⊥AB. 因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD. 又易知∠DFE=∠DBA,FD=BC=AB, 所以Rt△EFD≌Rt△DBA,所以DE=DA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN∥EC,且MN= EC,CA⊥BN. 第4章　立体几何初步 高中同步 因为EC∥BD,所以MN∥BD, 所以B,D,M,N四点共面. 因为EC⊥平面ABC,BN⊂平面ABC, 所以EC⊥BN, 又CA⊥BN,EC∩CA=C,EC,CA⊂平面ECA, 所以BN⊥平面ECA. 因为BN⊂平面MNBD, 所以平面MNBD⊥平面ECA, 即平面BDM⊥平面ECA. (3)易知DM∥BN,又由(2)知BN⊥平面ECA, 所以DM⊥平面ECA,又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA. 第4章　立体几何初步 高中同步 　求二面角的大小  定点 2 1.求二面角的大小的步骤   简记为“一作二证三求”. 第4章　立体几何初步 高中同步 2.作二面角的平面角的常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如 图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两 条交线所成的角即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向 二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角(或其补角).如图③,∠AOB 为二面角α-l-β的平面角. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点. (1)求证:平面MNF⊥平面NEF; (2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.   思路点拨    (1)将面面垂直的证明转化为线面垂直的证明来解决. (2)作出二面角M-EF-N的平面角,在三角形中求该角的正切值. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为N,F分别是棱B1C1,BC的中点, 所以NF⊥平面A1B1C1D1, 又MN⊂平面A1B1C1D1, 所以NF⊥MN. 因为M,E分别是棱C1D1,A1B1的中点, 所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形,所以∠MNC1=∠B1NE=45°, 所以∠MNE=90°, 所以MN⊥NE. 因为NF∩NE=N,NF,NE⊂平面NEF, 所以MN⊥平面NEF, 又MN⊂平面MNF, 第4章　立体几何初步 高中同步 所以平面MNF⊥平面NEF. (2)如图,在平面NEF中,过点N作NG⊥EF于点G,连接MG.   由(1)知MN⊥平面NEF, 又EF,NG⊂平面NEF, 所以MN⊥EF,MN⊥NG, 又MN∩NG=N,MN,NG⊂平面MNG, 所以EF⊥平面MNG, 第4章　立体几何初步 高中同步 又MG⊂平面MNG, 所以EF⊥MG, 所以∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 设该正方体的棱长为2, 则NE=MN= ,NF=2,EF= , 所以在Rt△NEF中,NG= = , 所以在Rt△MNG中,tan∠MGN= = = , 所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为 . 第4章　立体几何初步 高中同步 方法总结 1.求二面角的关键是找出(或作出)其平面角,再把平面角放到三角形中求解.一般采用垂线法 来作平面角,即过在二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线,过垂 足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角. 2.充分理解二面角的意义: (1)要注意二面角与两相交平面所成的角的区别. (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的半平面内的角的联系与区 别. 第4章　立体几何初步 高中同步 　与面面垂直有关的探索性问题  定点 3 1.解与垂直有关的探索性问题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合 一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,求出一些所需要的条件. 解决一些较复杂的问题时,要注意转化思想的应用. 2.空间中三种垂直关系的相互转化如图.   第4章　立体几何初步 高中同步 典例1　如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2, PC⊥平面ABCD,在线段AB上是否存在一点E,使平面PDE⊥平面PAC?若存在,说明E点的位 置;若不存在,请说明理由.   思路点拨    要使平面PDE⊥平面PAC,可在平面PDE内找一直线垂直于平面PAC,易得DE⊥ PC,则只需在线段AB上找到一点E,使得DE⊥AC即可. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    假设在线段AB上存在点E,使平面PDE⊥平面PAC,此时DE⊥AC. ∵PC⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴PC⊥DE. 又AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC, ∴DE⊥平面PAC, ∵DE⊂平面PDE, ∴平面PDE⊥平面PAC. 在直角梯形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,CD=2, ∴AC= ,∠ABC=45°, ∴sin∠ACD= ,cos∠ACD= ,∠DAE=135°, 由DE⊥AC,可得∠ACD=∠ADE. 在△ADE中,可得sin∠AED=sin (∠DAE+∠ADE)=sin(∠DAE+∠ACD)=sin∠DAE·cos∠ACD 第4章　立体几何初步 高中同步 +cos∠DAE·sin∠ACD= × + × = , 由正弦定理可得 = , 即 = ,得AE= . 又易知AB=2 ,∴AE= AB. ∴在线段AB上存在点E,使平面PDE⊥平面PAC,点E为AB的中点. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例2　如图,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC, AD上的动点,且 = =λ(0<λ<1). (1)求证:无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (2)是否存在λ∈(0,1),使平面BEF⊥平面ACD?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.   第4章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD. 又BC⊥CD,且AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴CD⊥平面ABC. ∵ = =λ(0<λ<1), ∴EF∥CD, ∴EF⊥平面ABC, ∵EF⊂平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ABC. 故无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC. (2)存在,当λ= 时,平面BEF⊥平面ACD. ∵EF⊥平面ABC,BE⊂平面ABC, 第4章　立体几何初步 高中同步 ∴BE⊥EF. 若平面BEF⊥平面ACD, 则由平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊥EF,BE⊂平面BEF,可得BE⊥平面ACD, 又AC⊂平面ACD, ∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°, ∴BD= , ∵∠ABD=90°,∠ADB=60°, ∴AB= tan 60°= , ∴AC= = . 易得Rt△AEB∽Rt△ABC, 第4章　立体几何初步 高中同步 ∴ = , 解得AE= , ∴λ= = . 故当λ= 时,平面BEF⊥平面ACD. 第4章　立体几何初步 高中同步 $