4.2 平面（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

4.2　平面 基础过关练 题组一　点、直线、平面位置关系的三种语言转换 1.(2025陕西榆林期中)若点A在直线m上,直线m在平面α内,则下列关系表示正确的是(　　) A.A⊂m　　B.m∈α　　C.A∈α　　D.A⊂α 2.下列关于两个相交平面的画法正确的是(　　) 3.(2025山东济南期中)如图所示,用符号语言可表示为(　　) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是　　　　.(填序号)  ①点A∈平面ABCD;②点E⊂平面ABB1A1;③点F⊂直线AA1;④CE∩平面ABCD=E;⑤D1F∩平面ABB1A1=F. 题组二　平面的基本事实及其应用 5.(2025吉林四平期中)有下列四个判断:①两条相交直线确定一个平面;②两条平行直线确定一个平面;③三个点确定一个平面;④一条直线和一点确定一个平面.正确判断的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 6.(2024江苏扬州邗江中学期中)下列命题是真命题的是(　　) A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面 B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面 C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面 7.已知α,β为不重合的两个平面,A,B,M,N为空间中不同的四个点,a为直线,则下列推理正确的是　　　　.(填序号)  ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β; ②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN; ③A∈α,A∈β⇒α∩β=A. 8.(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线. (2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABCD所在平面外一点,画出平面SBC和平面SAD的交线. 题组三　共点、共线、共面问题 9.(2025湖南长沙月考)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　) A.点A　　B.点B　　 C.点C但不过点M　　D.点C和点M 10.如图所示,在长方体A1B1C1D1-ABCD中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1四点不共面 C.A,M,C,O四点不共面 D.B,B1,O,M四点共面 11.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线. 12.如图所示的空间图形中,AB∥A1B1,AC∥A1C1,BC∥B1C1,且AB<A1B1,AC<A1C1,BC<B1C1.求证:直线A1A,B1B,C1C相交于一点. 13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线. 能力提升练 题组一　平面的基本事实及其应用 1.(2023上海普陀曹杨二中期末)设P1,P2,P3,P4为空间中的四个不同的点,则“P1,P2,P3,P4中有且仅有三个点在同一条直线上”是“P1,P2,P3,P4在同一个平面内”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 2.(2025山东东营开学考试)在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若EF∩GH=P,则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.既在直线AC上也在直线BD上 D.既不在直线AC上也不在直线BD上 题组二　共点、共线、共面问题 3.(2024福建晋江二中等校期中联考)如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K,则下列正确说法的个数是(　　) (1)M,N,K三点共线; (2)P,N,M,C四点共面; (3)BC∥NK. A.0　　B.1　　C.2　　D.3 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC,BD交于点O,判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)点A,O,C可以确定一个平面; (2)由点A,B1,C1确定的平面为平面ADC1B1. 5.如图所示,△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:三条直线AA1,BB1,CC1交于一点. 6.(2023广东广州玉岩中学期中)如图,在正四棱柱A'B'C'P'-ABCP中,Q,R分别是A'B',B'C'上一点. (1)请在正四棱柱A'B'C'P'-ABCP中画出经过P,Q,R三点的截面(不需要证明); (2)若Q,R分别为A'B',B'C'的中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点. 答案与分层梯度式解析 4.2　平面 基础过关练 1.C 2.D 3.A 5.B 6.D 9.D 10.A 1.C　 2.D　对于A,题图中没有画出平面α与平面β的交线,另外题图中的虚、实线也没有按照画法原则去画,因此A中的画法不正确;同理,B,C中的画法也不正确,D中的画法正确. 3.A　平面α与平面β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表示为α∩β=m,n⊂α,m∩n=A. 4.答案　①⑤ 解析　由题图知,点E∈平面ABB1A1,故②错误;点F∈直线AA1,故③错误;CE∩平面ABCD=CE,故④错误;①⑤正确. 5.B　两条相交直线和两条平行直线均能确定一个平面,①②正确;在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误;直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确判断的个数为2. 6.D　对于A,当一条直线与另两条直线都相交时,三条直线可能不共面,故A错误;对于B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故B错误;对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;对于D,一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线确定一个平面,故D正确. 7.答案　①② 解析　对于①,由基本事实:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,可知a⊂β,故①正确; 对于②,由M∈α,N∈α,可知MN⊂α,同理,MN⊂β,所以α∩β=MN,故②正确; 对于③,若A∈α,A∈β,则A∈(α∩β),由基本事实:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可知α∩β是经过点A的一条直线而不是点A,故③不正确. 8.解析　(1)记B1D1∩A1C1=O,连接AO,则AO即为平面AB1D1与平面ACC1A1的交线,如图. (2)延长BC与AD,交于点O,连接SO,则SO即为平面SBC和平面SAD的交线,如图. 9.D　∵直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ, ∴γ∩β=MC,∴γ与β的交线必经过点C和点M. 10.A　连接A1C1,AC(图略),易知A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1. ∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1, 又M∈平面AB1D1, ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理,点A、点O均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,∴A,M,O三点共线. 11.证明　∵AB∥CD,∴AB,CD共面. 设AB⊂β,CD⊂β,则AC⊂β, 又E∈AC,∴E∈β. 又AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E, ∴B,D,E为平面α与平面β的公共点, ∴B,E,D三点共线. 12.证明　如图,∵AB∥A1B1,AB<A1B1, ∴直线A1A,B1B在同一个平面内,并且它们相交, 设A1A∩B1B=D.① ∵AC∥A1C1, ∴AC与A1C1确定一个平面AA1C1C, ∵A1A⊂平面AA1C1C, ∴D∈平面AA1C1C. 同理,D∈平面BB1C1C. 又平面AA1C1C∩平面BB1C1C=C1C,∴D∈C1C.② 由①②,可知A1A,B1B,C1C三线共点, 即直线A1A,B1B,C1C相交于一点. 13.证明　(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故直线CC1与BF必相交, 设交点为O,则OC1=C1C. 同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O',则O'C1=C1C,故O'与O重合.由此得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点共面. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1,CC1确定的平面为α,平面DBFE为β. ∵Q∈A1C1,∴Q∈α, 又Q∈EF,∴Q∈β, ∴点Q在平面α与β的交线上, 同理,P∈α,P∈β, ∴点P在平面α与β的交线上,∴α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,∴R∈PQ, 故P,Q,R三点共线. 能力提升练 1.A 2.B 3.B 1.A　若P1,P2,P3,P4中有且仅有三个点在同一条直线上,则有一个点不在该直线上,由推论(1)可知,P1,P2,P3,P4在同一平面内,故充分性成立;当P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2时,P1,P2,P3,P4在同一平面内,但P1,P2,P3,P4中无三点共线,故必要性不成立. 2.B　如图, ∵EF⊂平面ABC,GH⊂平面ACD,EF∩GH=P, ∴P∈平面ABC,P∈平面ACD, 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴P∈AC,即点P一定在直线AC上. 3.B　由题意得M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD, 所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点, 所以M在平面PQR与平面BCD的交线上, 同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上, 所以M,N,K三点共线,所以(1)正确; 因为N∉平面PCM,所以(2)错误; 因为BC∩NK=M,所以(3)错误. 4.解析　(1)不正确.因为点A,O,C在同一条直线上,所以不能确定一个平面. (2)正确.因为点A,B1,C1三点不共线, 所以可确定一个平面. 又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1, 所以由点A,B1,C1确定的平面为平面ADC1B1. 5.证明　设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α,β,γ,AA1与BB1的交点为P, 因为P∈AA1,P∈BB1,AA1⊂β,BB1⊂α, 所以P∈α,P∈β,即P∈(α∩β). 又α∩β=CC1,所以P∈CC1, 所以三条直线AA1,BB1,CC1交于一点P. 6.解析　(1)如图,作直线QR分别交P'A',P'C'的延长线于点M,N,连接PM交AA'于点S,连接PN交CC'于点T,连接SQ,TR,则经过P,Q,R三点的截面为五边形PSQRT. (2)证明:如图,因为AQ与BB'在同一个平面内且不平行,所以直线AQ与BB'必相交,设交点为O. 因为Q为A'B'的中点,AB∥QB',所以OB'=BB', 同理,直线CR与BB'也相交,设交点为O', 则O'B'=B'B,所以O'与O重合. 因为O∈AQ,O∈CR,所以AQ∩CR=O, 所以AQ,CR,BB'交于一点O,故AQ,CR,BB'三线共点. 7 学科网（北京）股份有限公司 $