4.1.1 第1课时 几类简单多面体（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

第4章　立体几何初步 4.1　空间的几何体 4.1.1　几类简单几何体 第1课时　几类简单多面体 基础过关练 题组一　棱柱 1.(2025河南南阳期中)下列几何体不属于棱柱的是(　　) 　　　　　　 2.(多选题)(2025安徽淮北部分学校开学考试)下列命题中为假命题的是(　　) A.长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体 B.棱柱的每个面都是平行四边形 C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D.正四棱柱是平行六面体 题组二　棱锥 3.下列几何体中不是棱锥的为(　　) 　　　　　　 4.(2024江苏扬州邗江中学期中)下面关于棱锥的表述正确的是(　　) A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫棱锥 B.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 5.(2025安徽皖南八校期中)在三棱台ABC-A'B'C'中,截去三棱锥A-A'B'C',则剩余部分是(　　) A.三棱锥　　B.三棱台　　C.四棱锥　　D.三棱柱 题组三　棱台 6.棱台不具备的特点是(　　) A.两底面相似　　 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等　　 D.侧棱延长后都交于一点 7.某简单多面体共有12条棱,则该多面体可以是(　　) A.四棱台　　B.五棱锥　　C.三棱柱　　D.五棱台 题组四　多面体的平面展开图 8.(2025山东名校联盟期中)下列平面图形中,不是正方体的平面展开图的是(　　) 　　　　　　 9.下图是空间几何体的平面展开图,请问各是什么空间几何体? 能力提升练 题组一　多面体的结构特征 1.如图,将水平地面上装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　) A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 2.《九章算术》是我国古代张苍、耿寿昌整理的一部数学专著,是“算经十书”中最重要的一部,书中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,下列说法错误的是(　　) A.“羡除”有且仅有两个面为三角形 B.“羡除”一定不是台体 C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除” D.“羡除”至多有两个面为梯形 3.(2024上海延安中学期中)正多面体各个面都是全等的正多边形,其中,面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.如图,正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,则正二十面体的顶点的个数为　　　　.  题组二　多面体的侧面展开图及应用 4.(2025河北NT20名校联合体期中)如图,在正三棱锥P-ABC中,PA=2,三条侧棱两两夹角均为40°,M,N分别是PA,PB上的动点,则△CMN的周长的最小值为(　　) A.2　　B.2　　C.2　　D.2 5.(2024甘肃武威期末)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为　　　　cm.  6.(2024山东菏泽鄄城一中月考)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4,且∠APB=30°,若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周后回到点A处,则蚂蚁爬行的最短距离为　　　　.  题组三　多面体中的计算问题 7.若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形,高为,所有侧棱均相等,则侧棱长为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2024山西临汾期中)一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且侧面梯形的高为2,则该正四棱台的高为　　　　.  9.(2024辽宁抚顺德才高级中学月考)如图,已知四棱锥V-ABCD的底面是面积为16的正方形,侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为6. (1)求四棱锥V-ABCD的高; (2)求四棱锥V-ABCD的斜高. 答案与分层梯度式解析 第4章　立体几何初步 4.1　空间的几何体 4.1.1　几类简单几何体 第1课时　几类简单多面体 基础过关练 1.D 2.ABC 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 1.D　根据棱柱的定义可知,不属于棱柱的图形只有D选项. 2.ABC　对于A,当底面不是矩形时,直四棱柱不是长方体,故A为假命题; 对于B,棱柱的上、下底面可能不是平行四边形,故B为假命题; 对于C,可能是两对称面为矩形的平行六面体,故C为假命题; 对于D,正四棱柱是平行六面体,故D为真命题. 3.A　根据棱锥的定义,知B、C、D中的几何体是棱锥,A中的几何体不是棱锥. 4.B　对于A,棱锥是有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体,故A错误; 对于B,底面五边形被从同一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形,所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥,故B正确; 对于C,如图①所示,该几何体的各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥,故C错误; 　 对于D,如图②所示,满足AB=BC=CA=SA,SB=SC,但此三棱锥不一定是正三棱锥,故D错误. 5.C　如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,截去三棱锥A-A'B'C'后得到的是四棱锥A-BCC'B'. 6.C　因为棱锥的侧棱不一定相等,所以截得棱台的侧棱也不一定相等. 7.A　依次画出四棱台、五棱锥、三棱柱、五棱台,可知四棱台共有12条棱. 8.D　根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体,而D中的平面图形折起后重叠一个面,故D中的平面图形不是正方体的平面展开图. 9.解析　如图所示. 　　　 (1)是正六棱柱.(2)是正五棱锥. 能力提升练 1.A 2.D 4.A 7.C 1.A　倾斜后水槽中的水形成的几何体始终有两个平面平行,侧棱互相平行且相等,由棱柱的定义可知,此几何体是棱柱. 2.D　如图,AE∥BF∥CD,且四边形ACDE为梯形,所以该五面体为“羡除”.对于A,由题知,“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A中说法正确;对于B,因为AE∥BF∥CD,所以其侧棱不可能交于一点,所以“羡除”一定不是台体,故B中说法正确;对于C,假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形,则AE∥BF∥CD,且AE=BF=CD,则四边形ACDE为平行四边形,与四边形ACDE为梯形矛盾,故C中说法正确;对于D,若AE≠BF≠CD,则“羡除”有三个面为梯形,故D中说法错误. 3.答案　12 解析　因为每个面都是三角形,每个面对应3条棱,且每1条棱被2个三角形共用,即1个面对应条棱,所以共有×20=30条棱,所以由顶点数-棱数+面数=2,得顶点数=棱数+2-面数=30+2-20=12. 4.A　如图,将正三棱锥P-ABC的侧面沿PC剪开,展成一个平面图形, 则PC=PC'=2,∠CPA=∠BPC'=∠APB=40°,∠CPC'=120°. 连接CC',交PA于M,交PB于N, 则线段CC'的长就是△CMN的周长的最小值, 在△PCC'中,由余弦定理, 得CC'===2. 故△CMN的周长的最小值为2. 5.答案　 解析　如图所示,将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿着侧棱AA1剪开,展成一个平面图形,则这个平面图形为长为6 cm,宽为5 cm的矩形, 则所求最短路线的长为AA'1== cm. 6.答案　4 解析　将题图中的正四棱锥P-ABCD的侧面沿侧棱PA剪开,展成平面图形,如图所示,根据两点之间线段最短,可知蚂蚁爬行的最短距离为AA'的长. 由∠APB=30°,可得∠APA'=120°, 又因为AP=A'P=4, 所以AA'===4, 故蚂蚁爬行的最短距离为4. 7.C　如图,在正三棱锥A-BCD中,由题可得BC=CD=BD=3.设点A在底面BCD的射影为点O,则AO=,且点O是△BCD的重心,∴OB=××3=, 则在Rt△AOB中,AB==. 8.答案　2 解析　如图,在正四棱台ABCD-EFGH中,EQ⊥AB于点Q,EN⊥AC于点N,O,M分别为上、下底面的中心, 设棱台的上、下底面的边长分别为a,b,则4b-4a=16,即b-a=4,由题知EQ=2,则EA====4, 所以OM=EN====2, 故该正四棱台的高为2. 9.解析　(1)由于四棱锥V-ABCD的侧面是全等的等腰三角形,底面为正方形,故该四棱锥是正四棱锥. 如图,连接AC,BD,交于点O,连接VO, 则VO为正四棱锥的高,△VCO为直角三角形,且VO⊥AC,易知正方形ABCD的边长为4,则AC=4,所以OC=2,所以VO==8, 故四棱锥V-ABCD的高为8. (2)由于正四棱锥的侧面是等腰三角形, 故四棱锥V-ABCD的斜高为=2. 导师点睛 　　在正棱锥的计算问题中要善于应用由高、斜高、斜高在底面内的射影构成的直角三角形和由高、侧棱、侧棱在底面内的射影构成的直角三角形. 7 学科网（北京）股份有限公司 $