4.1.1 几类简单几何体（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件系统涵盖空间几何体的分类、定义、性质及计算，从多面体与旋转体的基本概念入手，逐步展开棱柱、棱锥、棱台、圆柱等细分知识，构建从整体到局部的学习支架，帮助学生建立立体几何知识脉络。 其亮点在于通过知识辨析培养批判性思维，如辨析“有两个面平行其余是平行四边形是否为棱柱”，结合空间问题平面化方法（如展开图求最短距离）发展几何直观，用表格与图形结合的数学语言清晰呈现概念。实例如圆台计算通过轴截面转化为直角三角形，助力学生提升空间想象与逻辑推理能力，教师可借助结构化资源高效开展教学。

空间几何体 知识点 1 4.1　空间的几何体 4.1.1　几类简单几何体 必备知识 清单破 类别 定义 图示   我们把由若干个平面多边形(包括三角形)所围成的封闭体,叫作多面体     我们把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体   第4章　立体几何初步 高中同步 　棱柱、棱锥、棱台 知识点 2 名称 定义 图形及表示   一般地,有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面围成的多面体叫作棱柱   记作:棱柱ABCDEF-A1B1C1D1 E1F1 第4章　立体几何初步 高中同步   一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,像这样的多面体 叫作棱锥   记作:棱锥S-ABCD   过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一 点,作一个与底面平行的平面去截棱锥,截面 和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台   记作:棱台A1B1C1D1-ABCD 第4章　立体几何初步 高中同步 　棱柱、棱锥、棱台的分类 知识点 3 1.棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数分类:底面是三角形、四边形、五边形等的棱柱分别称为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等. (2)具有特殊性质的棱柱:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱;底面是正多边形的直棱柱称为正 棱柱. 第4章　立体几何初步 高中同步   (3)常见的四棱柱及其关系 第4章　立体几何初步 高中同步 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分类:底面是三角形、四边形、五边形等的棱锥分别称为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等. (2)如果棱锥的底面是正多边形,将底面水平放置后,它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线 上,则这样的棱锥称为正棱锥.顶点到底面中心的距离叫作正棱锥的高. 3.棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥等所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台等. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台. 第4章　立体几何初步 高中同步 　圆柱、圆锥、圆台、球 知识点 4 名称 定义 图形及表示 圆柱 将矩形ABCD(及其内部)绕 其一条边AB所在直线旋转 一周,所形成的旋转体叫作圆 柱   记作:圆柱AB 圆锥 将直角三角形ABC(及其内 部)绕其一条直角边AB所在 直线旋转一周,所形成的旋转 体叫作圆锥   记作:圆锥AB 第4章　立体几何初步 高中同步 圆台 将直角梯形ABCD(及其内 部)绕其垂直于底边的腰BC 所在直线旋转一周,所形成的 旋转体叫作圆台;圆台也可看 作用平行于圆锥底面的平面 去截圆锥而得到的圆锥底面 与截面之间的几何体   记作:圆台BC 球 将圆心为O的半圆(及其内 部)绕其直径AB所在直线旋 转一周所形成的旋转体叫作 球   记作:球O 第4章　立体几何初步 高中同步 　旋转体的性质 知识点 2 1.圆柱、圆锥、圆台有以下性质 (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆; (2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 2.球具有以下性质 (1)球面上所有的点到球心的距离都相等,等于球的半径; (2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径 最大,等于球的半径. 第4章　立体几何初步 高中同步 　简单组合体 　　现实世界中,有许多物体表示的几何体是由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而 成,这些几何体称为简单组合体. 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截 去或挖去一部分而成. 知识点 2 第4章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗? 2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗? 3.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线一定是圆台的母线吗? 4.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体一定是圆锥吗? 第4章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.例如:如图所示的几何体虽然有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但此几 何体不是棱柱.   2.不一定.如图①所示,将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A-A1B1D1和三棱锥C-B1C1D1,得到 如图②所示的几何体,其中有一个面ABCD是四边形,其余各面都是三角形,但很明显这个几 何体不是棱锥,因此有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.   第4章　立体几何初步 高中同步 3.不一定.经过圆台的轴的平面截圆台得到的等腰梯形的腰才是圆台的母线.如图,PP1是母线, 而PB不是母线.   4.不一定.以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥. 第4章　立体几何初步 高中同步 　空间几何体中的简单计算问题  　　在空间几何体的有关计算中要充分挖掘几何体中各个量之间的关系,例如: 关键能力 定点破 定点 1 1.当计算正棱锥中底面边长、斜高、高时,通常是将所求线段转化到直角三角形中,常用的直 角三角形有(以正四棱锥为例): (1)斜高、侧棱、底面边长的一半构成的直角三角形,如图中Rt△PEC. (2)斜高、高、底面中心与底边中点的连线构成的直角三角形,如图中Rt△POE. (3)侧棱、高、底面四边形外接圆的半径构成的直角三角形,如图中Rt△POC.   第4章　立体几何初步 高中同步 2.当计算正棱台中底面边长、斜高、高时,通常是将所求线段转化到直角梯形中,常用到的直 角梯形有(以正四棱台为例): (1)斜高、侧棱及上、下底面边长的一半构成的直角梯形,如图中直角梯形E1ECC1. (2)斜高、高及上、下底面中心与底边中点的连线构成的直角梯形,如图中直角梯形O1OEE1. (3)高、侧棱及上、下底面四边形外接圆的半径构成的直角梯形,如图中直角梯形O1OCC1.   3.作圆柱、圆锥、圆台或球的轴截面,把轴截面从旋转体中分离出来,得到各个量之间的关 系. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例1    圆台的一个底面的周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于441 cm2,母线与 轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 思路点拨    根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,画出圆台的轴截面,并 延长圆台的母线和高交于一点,构造直角三角形,再利用已知条件求解. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,圆台的轴截面如图所示(O1, O分别为上、下底面的圆心),延长AA1交OO1的延长线于点S. 在Rt△SOA中,∠ASO=45°, 则∠SA1O1=∠SAO=45°, ∴SO=AO=3x cm,SO1=A1O1=x cm, ∴OO1=2x cm, 又 (6x+2x)·2x=441, ∴x= , ∴圆台的高OO1=  cm,母线长AA1= OO1=21 cm,两底面半径分别为  cm和  cm. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例2　已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为2 ,求该正四棱锥的斜高与高. 解析    如图,设VO为正四棱锥V-ABCD的高,作OM⊥BC于点M,则M为BC的中点,连接OB,VM. ∵底面ABCD的面积为16, ∴BC=4,∴BM=OM=2. 在Rt△BMO中,OB= = =2 , 在Rt△VOB中,VB=2 , ∴VO= = =6. 在Rt△VOM中,VM= = =2 (或在Rt△VBM中,VM= =  =2 ). 故该正四棱锥的高为6,斜高为2 . 第4章　立体几何初步 高中同步 　探究几何体表面上两点间的最短距离问题  　　将空间图形转化为平面图形,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.立体图形上 两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形,运用“两点之间线段最短”来 解决. 化“曲”为“直”的一般步骤 (1)将几何体沿着某些棱剪开后展开,画出其平面展开图; (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题; (3)结合已知条件求得结果. 定点 2 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2 ,D,F分别是棱AB,AA1的中点,E为棱AC 上的动点,则△DEF的周长的最小值为 (　    )   A.2 +2　    B.2 +2 C. +2　    D. +2 D 思路点拨    根据正三棱柱的特征可知△ABC为等边三角形,且AA1⊥AD,利用勾股定理求得 DF的长.把底面ABC与侧面ACC1A1展开到同一平面内,可知当D,E,F三点共线时,DE+EF取得 最小值,从而△DEF的周长取得最小值. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴△ABC为等边三形,且AA1⊥AD. ∵D,F分别是棱AB,AA1的中点,AB=2,AA1=2 ,∴AD= AB=1,AF= AA1= , 在Rt△DAF中,DF= =2. 把底面ABC与侧面ACC1A1展开到同一平面内,如图所示. 当D,E,F三点共线时,DE+EF取得最小值. ∵∠FAD=150°,AF= ,AD=1, ∴(DE+EF)min=  = = , ∴△DEF的周长的最小值为 +2. 第4章　立体几何初步 高中同步 $