3.3 复数的几何表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、点与向量对应关系、模与共轭复数及运算的几何表示。通过知识辨析问题导入，衔接复数代数形式与几何意义，搭建从代数到几何的学习支架。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）呈现复数与向量、图形的联系，通过环形区域面积计算等典例培养推理与运算能力（数学思维），“一语破的”小结强化数学语言表达。助力学生深化理解，为教师提供系统教学素材。

　复数的几何意义 知识点 1 必备知识 清单破 3.3　复数的几何表示 1.复平面 与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.实轴上的点都 表示实数.除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 第3章　复数 高中同步 2.复数的几何意义   第3章　复数 高中同步 　复数的模与共轭复数 知识点 2 1.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),我们将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数z的 模,也称为z的绝对值,记作|z|,即|z|=|a+bi|= ,|z|= 表示点(a,b)到原点的距离. 2.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的实部a不变,将虚部b变成它的相反数-b,得到的复 数a-bi称为原复数z的共轭复数,记作 ,即 =a-bi.反过来也有 =a+bi,因此 =z. 复平面上两点P,Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭. 第3章　复数 高中同步 3.设复数z=a+bi(a,b∈R), =a-bi,则 (1)z· =|z|2=| |2=a2+b2. (2)当z= 时,z为实数. (3)z+ =2a. (4) = + . (5) = · . 第3章　复数 高中同步 　复数加减法与实数乘积的几何意义 如图,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别对应向量 , ,则 =(a,b), =(c,d). 复数z1,z2的加法由对应向量 , 的加法来表示,且复数加法的几何意义就是向量加法的平 行四边形法则. 类似地,复数的减法由对应向量的减法来表示:z1-z2=(a-c)+(b-d)i⇒ =(a-c,b-d)= - = , 其中 与 同向平行且长度相等.   知识点 3 第3章　复数 高中同步 复数z=a+bi与任一实数k相乘,其积所对应的向量 可由复数z对应的向量 与k的积表示: kz=ka+kbi⇒ =(ka,kb)=k . 这就是说,实数k与复数z相乘就可由实数k与该复数对应的向量 的数乘来表示. 第3章　复数 高中同步 知识辨析 1.复数的模一定是正实数吗? 2.复数z是实数的充要条件是z= 吗? 3.复数的加减法和复数与实数乘积的几何意义是不是可以理解为向量的加减法与数乘的几 何意义? 第3章　复数 高中同步 一语破的 1.不一定.复数0的模是0. 2.是.设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,因此z= ⇔a+bi=a-bi⇔b=0⇔z是实数. 3.是. 第3章　复数 高中同步 　复数的模及其几何意义  关键能力 定点破 定点 1 1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离,这 是复数的模的几何意义. 2.满足条件|z|=r(r>0)的点Z的轨迹是以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示 圆的外部. 第3章　复数 高中同步 3.(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b),Z2(c,d),则 | |=|z1 -z2|= ,表示复数z1,z2在复平面内对应的点的距离. (2)|z-z0|=r(z,z0∈C,r>0)表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数z0对应的点为圆心,r为 半径的圆. (3)|z-z1|=|z-z2|表示以复数z1,z2的对应点Z1,Z2为端点的线段的垂直平分线. 第3章　复数 高中同步 典例　已知z1= + i,z2=2+i,设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,求满足条件|z1|≤|z|≤|z2|的点 Z的集合表示的图形的面积. 解析    |z1|= = =1,|z2|=|2+i|= = , 所以满足|z1|≤|z|≤|z2|的点Z的集合是以原点O为圆心,1和 为半径的两个圆所夹的圆环(包 括圆环的边界),如图.   故点Z的集合表示的图形的面积S=π×( )2-π×12=4π. 第3章　复数 高中同步 　复数加减法的几何意义的应用  定点 2 1.利用复数加减运算的几何意义解题的常用技巧 (1)形转化为数:利用几何意义可以把与几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题. (2)数转化为形:对于一些复数运算给予几何解释,将复数作为工具运用于几何之中. 2.利用复数的几何意义解题的常见结论 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点(O,A,B三点不共线). (1)四边形OACB为平行四边形; (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形; (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形; (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 第3章　复数 高中同步 典例　已知复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量 对应的复数为1+ 2i,向量 对应的复数为3-i,求: (1)点C,D对应的复数; (2)平行四边形ABCD的面积. 思路点拨    (1)利用复数加减的几何意义求解.(2)利用S▱ABCD=| || |sin B求解. 第3章　复数 高中同步 解析    (1)因为向量 对应的复数为1+2i,向量 对应的复数为3-i, 又 = - , 所以向量 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又因为 = + (O为坐标原点), 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. 因为 = , 所以向量 对应的复数为3-i, 即 =(3,-1). 因为点A对应的复数为2+i, 所以A(2,1), 设D(x,y),则 =(x-2,y-1)=(3,-1), 第3章　复数 高中同步 所以 解得  所以点D对应的复数为5. (2)根据题意,得 =(1,2), =(3,-1). 因为 · =| || |cos B, 所以cos B= = = = . 因为0<B<π,所以sin B= = , 所以S▱ABCD=| || |sin B= × × =7, 所以平行四边形ABCD的面积为7. 第3章　复数 高中同步 　在复数的概念和四则运算中发展数学运算的核心素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 　　与复数概念有关的问题通常是给出复数满足的条件求参数值(范围).解决这类问题时需 要把所给的复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,找到复数实部与虚部满足的条件,建立 关系式求解.复数的四则运算通常会和复数的模的计算、复数的概念综合,解决问题的关键 是掌握复数的四则运算法则,有时需要先将已知式子变形,再利用复数代数形式的乘、除运 算法则进行计算,记住 =i, =-i,(1±i)2=±2i等结论可提高计算速度.在求解方程、式子变 形和乘除运算中发展数学运算的核心素养. 第3章　复数 高中同步 典例呈现 例题　已知复数z1=(i-a)2,z2=4-3i,其中a是实数. (1)若z1=iz2,求实数a的值; (2)若在复平面内,z1z2所对应的点位于第二象限,求实数a的取值范围; (3)若 是纯虚数,a是正数,求 + + + +…+ 的值. 主编点评    本题涉及复数概念的综合以及i的乘方运算,关键是利用概念将问题转化成实数 问题去求解. 第3章　复数 高中同步 解题思路    (1)因为z1=(i-a)2,z2=4-3i,z1=iz2, 所以(i-a)2=i(4-3i), 即a2-1-2ai=3+4i, 由复数相等的充要条件得  解得a=-2,所以实数a的值为-2. (2)z1·z2=(i-a)2·(4-3i)=(a2-1-2ai)·(4-3i)=(4a2-6a-4)-(3a2+8a-3)i, 因为在复平面内,z1·z2所对应的点位于第二象限, 所以 所以- <a< ,即实数a的取值范围是 . (3)依题意得 = =  第3章　复数 高中同步 =  =  = . 因为 是纯虚数,所以  所以a=-2或a= , 又因为a是正数,所以a= . 当a= 时,z1= =- -i, 所以 = =-i, 第3章　复数 高中同步 因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(n∈N), 所以 + + + +…+  =(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4+…+(-i)1 003 =(-i-1+i+1)+[(-i)5+(-i)6+(-i)7+(-i)8]+…+[(-i)1 001+(-i)1 002+(-i)1 003] =0+0+…+(-i-1+i) =-1, 所以 + + + +…+ =-1. 第3章　复数 高中同步 思维升华 求解有关复数的概念和四则运算的综合问题的一般思路 (1)认真阅读题设条件,明确运算形式和相关概念. (2)运用运算法则将所给复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式. (3)利用复数的相关概念建立关系式. (4)求解关系式,得出结论. 第3章　复数 高中同步 $