2.1.1 两角和与差的余弦公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

第2章　三角恒等变换 2.1　两角和与差的三角函数 2.1.1　两角和与差的余弦公式 基础过关练 题组一　利用两角和与差的余弦公式求值 1.(2025江苏南京师范大学附属实验学校月考)计算cos 105°=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025甘肃平凉庄浪紫荆中学月考)计算cos 37°cos 23°-cos 53°sin 23°的值为(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 3.(2025黑龙江哈尔滨期末)已知α,β都是锐角,cos α=,cos(α+β)=-,则cos β=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.=　　　　.  5.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)·sin(α+15°)的结果为　　　　.  6.已知sin=,-<α<,求: (1)cos的值; (2)cos α的值. 题组二　利用两角和与差的余弦公式求角 7.已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,则α+β的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2025福建宁德月考)若对于任意的实数x∈R,都有cos(x-θ)=sin xcos θ+cos xsin θ成立,则θ的值可能是(　　) A.　　B.-　　C.-　　D.0 9.设α,β均为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　.  10.(2025甘肃兰州第二中学月考)已知cos α=,α∈. (1)求cos的值; (2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值. 能力提升练 题组一　利用两角和与差的余弦公式求值 1.(2025甘肃临夏回族自治州广河月考)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 2.(2024广东深圳实验学校阶段考试)已知函数f(x)=5sin,若存在α,β,满足0<α<β<2π,且f(α)=f(β)=1,则cos(β-α)=(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 3.(创新题)(新考法·新定义的理解和运用)形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.  4.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P.若角β满足sin(α+β)=,且α+β为第二象限角,则cos β的值是　　　　.  题组二　利用两角和与差的余弦公式求角 5.(多选题)若sin sin +cos cos =0,则α的值可以是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2025湖北武汉六中月考)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β=　　　　.  7.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin(A+B)=,sin(A-B)=,c=3,则△ABC的面积为　　　　.  8.(2025河北邯郸期末)已知α,β都是锐角,tan=,cos(α+β)=. (1)求sin的值; (2)求角β的值. 答案与分层梯度式解析 第2章　三角恒等变换 2.1　两角和与差的三角函数 2.1.1　两角和与差的余弦公式 基础过关练 1.B 2.B 3.A 7.B 8.A 1.B　cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=×-×=. 2.B　因为cos 53°=cos(90°-37°)=sin 37°, 所以cos 37°cos 23°-cos 53°sin 23°=cos 37°cos 23°-sin 37°sin 23°=cos(37°+23°)=cos 60°=. 3.A　因为α,β都是锐角,所以0<α<,0<β<,0<α+β<π, 又cos α=,cos(α+β)=-, 所以sin α==, sin(α+β)==, 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=. 4.答案　 解析　原式= = ==. 5.答案　 解析　原式=cos[(45°-α)+(α+15°)]=cos 60°=. 6.解析　(1)cos=cosα+-=sin=. (2)∵-<α<,∴0<α+<, ∵sin=, ∴cos==, ∴cos α=cos=cosα+cos +sin·sin =×+×=. 7.B　因为α,β为锐角,且cos α=,cos β=,所以0<α+β<π,sin α=,sin β=,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,所以α+β=. 8.A　由已知得cos xcos θ+sin xsin θ=sin xcos θ+cos xsin θ, 整理可得sin x(sin θ-cos θ)=cos x(sin θ-cos θ), 即(sin x-cos x)(sin θ-cos θ)=0, 因为∀x∈R,sin x-cos x=0不可能恒成立, 所以sin θ-cos θ=0,即tan θ=1,解得θ=+kπ,k∈Z, 结合选项知A符合. 9.答案　 解析　∵<α<π,<β<π, 且sin α=,cos β=-,∴π<α+β<2π,cos α=-,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-×-×=-=. ∵π<α+β<2π,∴α+β=. 10.解析　(1)由sin2α+cos2α=1,cos α=,α∈,可得sin α=-, ∴cos=cos αcos +sin αsin =×+×=. (2)由α∈,β∈,可得α+β∈, 又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,sin(α+β)=-, ∴cos(α+β)=, ∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=, 又β∈,∴β=. 能力提升练 1.D 2.D 5.CD 1.D　因为sin α-sin β=1-,所以(sin α-sin β)2=sin2α-2sin αsin β+sin2β=-, 因为cos α-cos β=,所以(cos α-cos β)2=cos2α-2cos αcos β+cos2β=, 所以(cos2α+sin2α)+(cos2β+sin2β)-2(cos αcos β+sin αsin β)=+-=2-, 所以1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-, 所以cos αcos β+sin αsin β=, 即cos(α-β)=. 2.D　令f(x)=5sin=0,0<x<2π, 则x=或x=, 令f(x)=5sin=5,0<x<2π,则x=, 以上求解的目的是进一步缩小α,β的取值范围. 又0<α<β<2π, f(α)=f(β)=1, 所以<α<,<β<,sin=,sin=, 因为0<α-<,<β-<π, 所以cos=,cos=-, 则cos(β-α)=cos =coscos+sinsin =-×+×=-. 3.答案　- 解析　由题意可得=sin 15°-cos 15° =sin 45°sin 15°-cos 45°cos 15°=-cos 60°=-. 4.答案　 解析　点P到原点(0,0)的距离r==1,由三角函数的定义可得sin α==-,cos α==-. 因为sin(α+β)=,且α+β为第二象限角, 所以cos(α+β)=-=-=-, 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=. 5.CD　因为sin sin +cos cos =cos α=0, 所以α=+kπ(k∈Z),结合选项可知C、D符合题意. 6.答案　 解析　因为α∈,所以2α∈,又sin 2α=>0,所以2α∈,α∈, 所以cos 2α=-=-=-, 因为β∈,α∈,sin(β-α)=, 所以β-α∈,所以cos(β-α)=-=-=-. 因为α∈,β∈,所以α+β∈. α+β的终边在第三、四象限内或y轴的非正半轴上,故求其余弦值. 因为cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α=-×-×=, 所以α+β=. 易错警示 　　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用已知的三角函数值对角的范围进行缩小,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称. 7.答案　3+ 解析　在锐角△ABC中,易知<A+B<π,-<A-B<,sin C=sin(A+B)=. 由sin(A+B)=,可得cos(A+B)=-,① 由sin(A-B)=,可得cos(A-B)=,② ②-①,得sin Asin B=, 由正弦定理可得====5,所以a=5sin A,b=5sin B, 由三角形面积公式可得S△ABC=absin C=×25×sin Asin B×=3+. 8.解析　(1)因为tan=, 所以cos=sin, 由α为锐角,得α+∈,所以sin>0. 又sin2+cos2=1, 所以sin2+sin2=1, 所以sin=. (2)由(1)得sin=,cos=×=, 由α,β均为锐角得α+β∈(0,π), 又cos(α+β)=,所以sin(α+β)=, cos=cos =cos(α+β)cos+sin(α+β)sin =×+×=, 因为β∈,所以β-∈,所以β-=-,解得β=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $