课时分层评价13 两角和与差的余弦公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价13　两角和与差的余弦公式 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　) A.sin 2x B.cos 2x C.－cos 2x D.－cos 2y 答案：D 解析：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D. 2.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A.－ B. C. D.－ 答案：A 解析：因为 α∈，则sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×(－)＝－. 3.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　) A. B. C.或 D.或 答案：B 解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B. 4.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝＝. 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋× ＝＝.故选A. 5.若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝， cos＝，则cos＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin(－)＝. 所以cos＝cos＝cos(＋α)cos＋sinsin(－)＝×＋×＝. 6.已知sin(α＋)＝，且＜α＜，则cos α的值为　　　　　. 答案：－ 解析：因为＜α＜， 所以α＋∈(，π)， 又sin(α＋)＝， 所以cos(α＋)＝－＝－， 所以cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝(－)×＋×＝－. 7.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是　　　　　. 答案：－ 解析：由 由①、②得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－. 8.在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是　　　　. 答案： 解析：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，∠A＞∠B，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝， 所以sin(A－B)＝ ＝. 9.(15分)若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos＝，求cos的值. 解：由cos α＝，0＜α＜，所以sin α＝. 由cos＝，－＜＜0，所以sin＝－， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－. 10.(15分)已知α，β为锐角且 ＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝，求cos β的值. 解：(1)因为＝， 所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝， 所以cos(α－β)＝. (2)因为cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角， 所以sin α＝，sin(α－β)＝±. 当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝； 当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. 因为β为锐角，所以cos β＝. (11、12每小题5分，共10分) 11.设角A，B，C∈(0，)，且cos A＋cos B＝cos C，sin A－sin B＝sin C，则C－A＝(　　) A.－ B.－ C. D.或－ 答案：B 解析：由cos A＋cos B＝cos C，得cos B＝cos C－cos A，所以cos2C－2cos Ccos A＋cos2A＝cos2B　①，同理可得sin2C－2sin Csin A＋sin2A＝sin2B　②，由①②可得，1－2(cos Acos C＋sin Asin C)＝0，即cos(C－A)＝.因为C，A∈，所以C－A∈(－，)，所以C－A＝±.易知sin B＞0，所以根据sin A＝sin B＋sin C，得sin A＞sin C，又C，A∈(0，)，所以C＜A，故C－A＝－，故选B. 12.无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，试根据该图写出此三角恒等式 　　　　　　　　　　　　. 答案：cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y 解析：如题图左边的三角形的面积a·bsin［－(x－y)］，设为S1＝a·bsin［－(x－y)］， 中间三角形的面积S2＝acos x·bcos y，右边三角形的面积S3＝asin x·bsin y， 因为S1＝S2＋S3，所以a·bsin ＝acos x·bcos y＋asin x·bsin y 即sin＝cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y. 学科网（北京）股份有限公司 $