1.7 平面向量的应用举例（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.7　平面向量的应用举例 基础过关练 题组一　向量在平面几何中的应用 1.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2　　B.1∶3　　 C.1∶4　　D.2∶5 2.(多选题)(2024甘肃酒泉敦煌中学月考)已知平面四边形ABCD,下列命题正确的是(　　) A.若=,则四边形ABCD是梯形 B.若||=||,则四边形ABCD是菱形 C.若=+,则四边形ABCD是平行四边形 D.若=且|+|=|-|,则四边形ABCD是矩形 3.(多选题)已知△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是　(　　) A.若||=||=||,则点O是△ABC的外心 B.若++=0,则点N是△ABC的重心 C.若·=·=·,则点P是△ABC的垂心 D.若·=0,且·=,则△ABC为直角三角形 4.(2025甘肃平凉庄浪紫荆中学月考)已知P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△PBC的面积的比值为(　　) A.2　　B.3　　C.　　D.6 5.(2023天津河东嘉诚中学期中)已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD的两条对角线所成锐角的余弦值. 6.(2024江苏南通海门中学学情调研)如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O,连接BO. (1)设=x+y,求x+y的值; (2)若·=6·,求的值. 题组二　向量在物理中的应用 7.(2025甘肃天水期中)冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中,以力F=(4,3)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-2)移动到点B(1,1),则力F对冰球所做的功为(　　) A.-17　　B.-10　　C.17　　D.10 8.(多选题)在日常生活中,我们会看到两人共提一个行李包的情境.假设行李包所受重力为G,两个拉力分别为F1,F2,当行李包处于平衡状态时,行李包的受力情况如图所示.若|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则以下结论正确的是　(　　) A.|F1|的最小值为|G|　　 B.θ的取值范围为[0,π] C.当θ=时,|F1|=|G| D.当θ=时,|F1|=|G| 9.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么在小船匀速靠岸的过程中,下列说法正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断减小 C.船的浮力不断减小 D.船的浮力保持不变 10.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移方向上的投影向量为　　　　(用e表示),力F做的功为　　　　.  11.(2025山东聊城第一中学等校联考)一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度为1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'位于点A的正北方向. (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需的时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值; (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少? 答案与分层梯度式解析 1.7　平面向量的应用举例 基础过关练 1.B 2.ACD 3.ABC 4.B 7.C 8.ACD 9.AC 1.B　如图,设D为BC边的中点, 则=(+),因为3--=0, 所以3=+=2,所以=, 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC, 所以S△ABM∶S△ABC=1∶3. 2.ACD　对于A,因为=,所以AB=DC,AB∥DC,则四边形ABCD是梯形,A正确; 对于B,由||=||得四边形ABCD有一组相邻两边相等,但一组相邻两边相等不能得出四边形ABCD是菱形,B错误; 对于C,因为=+,所以四边形ABCD是平行四边形,C正确; 对于D,因为=,所以AB=DC,AB∥DC,则四边形ABCD是平行四边形, 因为|+|=|-|,所以=,所以·=0,所以⊥,则四边形ABCD是矩形,D正确. 3.ABC　对于A,因为||=||=||,所以点O到△ABC的三个顶点的距离相等,所以点O为△ABC的外心,故A正确. 对于B,如图所示,D为BC的中点,由++=0,得2=-,所以||∶||=2∶1,所以点N是△ABC的重心,故B正确. 对于C,由·=·,得(-)·=0,故·=0,所以⊥,即CA⊥PB.同理,AB⊥PC,所以点P是△ABC的垂心,故C正确. 对于D,由·=0,得角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC.由·=,得cos∠BAC=,所以∠BAC=,所以△ABC为等边三角形,故D错误. 4.B　取BC的中点D,连接AD,则=(+), 因为=(+),所以=,则=, 所以PD=AD. 过点P作PM⊥BC于点M,过点A作AN⊥BC于点N, 易知Rt△PDM∽Rt△ADN, 因此==,所以===3, 所以△ABC的面积与△PBC的面积的比值为3. 5.解析　(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴=(1,1),=(-3,3), ∴·=1×(-3)+1×3=0, ∴⊥,∴AB⊥AD. (2)∵四边形ABCD为矩形,∴=. 设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4), 又=(1,1), ∴解得∴点C的坐标为(0,5), ∴=(-2,4),又∵=(-4,2), ∴·=8+8=16,||=2,||=2. 设矩形ABCD的两条对角线所成的锐角为θ, 则cos θ===, ∴矩形ABCD的两条对角线所成锐角的余弦值为. 6.解析　(1)由题意得=,=, 则=x+y=x+y(-) =-x-y+y=(-x-y)+y =(-x-y)+y=-(x+y)+2y, 因为E,O,C三点共线,A,O,D三点共线, 所以解得 所以x+y=-+=-. (2)设=m=m(+),=n, 则=+=+n=+n(-) =(1-n)+n= +n, 所以解得 所以==(+), 又=-=-+, 所以6·=(+)· =-+·+, 又·=6·,所以-+=0, 所以=3,所以=. 7.C　因为A(-1,-2),B(1,1),所以=(2,3),又F=(4,3),所以力F对冰球所做的功W=|F|||cos<F,>=F·=4×2+3×3=17. 8.ACD　由题意知,F1+F2+G=0,可得F1+F2=-G,两边平方,得|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=+cos θ,所以|F1|2=. 对于A,当θ=0时,|F1|min=|G|,故A正确; 对于B,当θ=π时,竖直方向上没有分力与重力平衡,不成立,故B错误; 对于C,当θ=时,|F1|=|G|,故C正确; 对于D,当θ=时,|F1|=|G|,故D正确. 9.AC　设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与小船运动的方向的夹角为θ,则|F|cos θ=|f|,∴|F|=. ∵在小船匀速靠岸的过程中,θ增大, ∴cos θ减小,∴|F|增大,∴|F|sin θ增大, 又∵|F|sin θ加上船的浮力的大小等于船的重力的大小,而船的重力的大小不变,∴船的浮力不断减小. 10.答案　25e;1 000 J 解析　F在小车位移方向上的投影向量为|F|·cos 60°e=25e. ∵力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移, ∴力F做的功W=25×40=1 000 J. 11.解析　(1)设游船实际速度的大小为|v| km/h, 速度合成示意图如图所示, 由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h, 又|v2|=4 km/h,所以=|v|2+=102+42=116, 所以|v1|=2 km/h, 所以cos θ=-=-. 故v1的大小为2 km/h,cos θ的值为-. (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设到达北岸B点所用的时间为t h,作出速度合成示意图如图所示, AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,则AB=2t km. 在Rt△AA'C中,t|v1|cos 30°=1,所以t= h, 所以AB=×2= km, 故游船的实际航程为 km. 7 学科网（北京）股份有限公司 $