1.7 平面向量的应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.7 平面向量的应用举例 平面几何中的向量方法 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点 共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， 且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝（θ为向量a，b的夹角）， 其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ｜a｜＝＝，其中 a＝（x，y），a为非零向量 你能用向量的知识解决这些问题吗 问题1：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为AC中点，则cos∠BDC=( ) A. B. C. 0 D. 解: 如图建立平面直角坐标系， 则B(0，0)A(0，8)，C(6，0)，D(3，4) ∴=(-3，-4)，=(3，-4). 又∠BDC为的夹角， ∴cos∠BDC===. 问题2：在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直渡过长江，其航向应如何确定？ 利用向量解决平面几何中的垂直问题 [例1]　如图所示，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任意一点， PE ⊥ AB ， PF ⊥ BC ，垂足分别为 E ， F ，连接 DP ， EF ，求证： DP ⊥ EF . 证明: 证法一：不妨设正方形 ABCD 的边长为1， AE ＝ a （0＜ a ＜1）， 则 EP ＝ AE ＝ a ， PF ＝ EB ＝1－ a ， AP ＝ a ， ∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ） ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝1× a × cos 180°＋1×（1－ a ）× cos 90°＋ a × a × cos 45°＋ a ×（1－ a ）× cos 45° ＝－ a ＋ a 2＋ a （1－ a ）＝0， ∴ ⊥ ，即 DP ⊥ EF . 满足垂直的向量有何 特点，如何转化呢？ [例1] 如图所示，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任意一点， PE ⊥ AB ， PF ⊥ BC ，垂足分别为 E ， F ，连接 DP ， EF ，求证： DP ⊥ EF . 证法二：不妨设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设 P （ x ， x ），则 D （0，1）， E （ x ，0）， F （1， x ）， 所以 ＝（ x ， x －1）， ＝（1－ x ， x ）， 由于 · ＝ x （1－ x ）＋ x （ x －1）＝0， 所以 ⊥ ，即 DP ⊥ EF . (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路: 方法归纳 (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 1.如图所示，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点，求证： AF ⊥ DE . 证明：证法一：设 ＝ a ， ＝ b ， 则｜ a ｜＝｜ b ｜， a · b ＝0. 又 ＝ ＋ ＝－ a ＋ ， ＝ ＋ ＝ b ＋ ， 所以 · ＝（ b ＋ ）·（－ a ＋ ） ＝－ a 2－ a · b ＋ ＝－ ｜ a ｜2＋ ｜ b ｜2＝0. ∴ ⊥ ，即 AF ⊥ DE . 证法二：如图所示，建立平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2， 则 A （0，0）， D （0，2）， E （1，0）， F （2，1）， 则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0. 所以 ⊥ ，即 AF ⊥ DE . 向量在物理中的应用 例2 如图，在细绳 O 处用水平力 F 2缓慢拉起重力为 G 的物体，绳子与铅垂方向 的夹角为θ，绳子所受到的拉力为 F 1. （1）求｜ F 1｜，｜ F 2｜随角θ的变化而变化的情况； 解：（1）如图，由力的平衡及向量加法的 平行四边形法则，得 ｜ F 1｜＝ ，｜ F 2｜＝｜ G ｜tan θ， θ∈［0， ）. 当θ从0°趋向于90°时，｜ F 1｜，｜ F 2｜都逐渐变大. （2）当｜ F 1｜≤2｜ G ｜时，求角θ的取值范围. 对题目中所给的物理量进行分析，转化成向量的平行四边形法则后进行求解. （2）由（1），得｜ F 1｜＝ . 由｜ F 1｜≤2｜ G ｜，得 cos θ≥ . 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°. 故θ的取值范围是0°≤θ≤60°. （1）利用几何图形来说明两根绳子受力的变化情况，避免了列方程和讨论函数值的变化过程，使得解答直观; （2）解决问题的关键是把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成教学模型. 方法归纳 在解决物理问题时，要注意以下几点： 2. （多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变， 那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　AC　） A. 绳子的拉力不断增大 B. 绳子的拉力不断变小 C. 船的浮力不断变小 D. 船的浮力保持不变 解析：设水的阻力为 f ，绳的拉力为 F ， F 与水平方向的夹角为θ（0＜θ＜ ）. 则｜ F ｜ cos θ＝｜ f ｜，｜ F ｜＝ . ∵θ增大， cos θ减小，∴｜ F ｜增大. ∵｜ F ｜ sin θ增大，∴船的浮力变小. AC 3. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小都为 ⁠N. 解：设重力为 G ，每根绳的拉力分别为 F 1， F 2， 则由题意得 F 1， F 2与－ G 都成60°角，且｜ F 1｜＝｜ F 2｜. ∴｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝｜ G ｜＝10 N， ∴每根绳子的拉力都为10 N. 10　 本节课我们学到了哪些知识？谈谈你的收获. 1.知识： （1）用向量解决平面几何中的证明问题. （2）向量在物理中的应用. 2.方法归纳：转化法、坐标法. 3.常见误区：不能将几何或物理问题转化为向量问题. 1.在△ABC中，若(+)·(-)=0，则△ABC A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 解：∵(+)·(-)=-=0， 即||=||，∴CA=CB，则△ABC是等腰三角形. √ 2. 如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为 s ， 位移为 a ，则（　A　） A. s＞｜a｜ B. s＜｜a｜ C. s＝｜a｜ D. s与｜a｜不能比大小 解： s ＝200＋300＝500（km），｜ a ｜＝ ＝100 （km），∴ s ＞｜ a ｜.故选A. A 3. 两个大小相等的共点力 F 1， F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N， 则当它们的夹角为120°时，合力大小为（　B　） A. 40 N B. 10 N C. 20 N D. 10 N 解析：设夹角90°时，合力为 F ，｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝｜ F ｜ cos 45°＝10 ，当θ＝120°，由平行四边形法则，知｜ F 合｜＝｜ F 1｜＝｜ F 2｜＝10 （N）. B 4.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝1， AB ＝2，对角线 BD ＝2， 求对角线 AC 的长. 解：由题意，得 ＝ ＋ ， ＝ － ， 又 BD ＝2， AD ＝1， AB ＝2， ∴ ＝（ － ）2， 即4＝ ＋ －2 · ＝1＋4－2 · ， ∴ · ＝ ， ∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ .即 AC ＝ . [解]　如图，设eq \o(AB,\s\up17(―→))表示水流的速度，eq \o(AD,\s\up17(―→))表示渡船的速度， eq \o(AC,\s\up17(―→))表示渡船实际垂直过江的速度． ∵eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))， ∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \o(DC,\s\up17(―→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))|＝12.5，|eq \o(AD,\s\up17(―→))|＝25， ∴∠CAD＝30°，即渡船要垂直渡过长江，其航向应为北偏西30°. $