1.6.2 正弦定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.6.2　正弦定理 基础过关练 题组一　已知两角及任一边解三角形 1.(2025重庆凤鸣山中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=45°,C=60°,c=,则a=(　　) A.1　　B.　　C.　　D.2 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A=,cos B=,a=10,则b=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=　　　　.  题组二　已知两边及其中一边的对角解三角形 4.(多选题)(2025甘肃陇南礼县白河中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列判断错误的是(　　) A.B=60°,c=4,b=5,△ABC有两解 B.B=60°,c=4,b=3.9,△ABC有一解 C.B=60°,c=4,b=3,△ABC有一解 D.B=60°,c=4,b=2,△ABC无解 5.(2025甘肃武威六中阶段测试)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,B=,b=2,则C=(　　) A.　　B.　　C.或　　D.或 6.在△ABC中,若∠B=30°,AB=2,AC=2,则AB边上的高是　　　　.  题组三　利用正弦定理判断三角形的形状 7.(2025上海宝山华曜高级中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A+B=2C,且sin2C=sin Asin B,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形　　B.等腰非等边三角形 C.等边三角形　　D.钝角三角形 8.在△ABC中,sin A=,则△ABC的形状为　　　　.  题组四　三角形的面积公式及其应用 9.在△ABC中,已知a=2,b=3,∠C=120°,则S△ABC=(　　) A.　　B.　　C.　　D.3 10.(2025甘肃平凉期中)在△ABC中,BC=2,S△ABC=·,则△ABC外接圆的半径为　　　　.  11.若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC=　　　　.  12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(a-b)sin A+bsin B=csin C. (1)求角C; (2)若sin Asin B=,c=2,求△ABC的面积. 能力提升练 题组一　利用正弦定理解三角形 1.某次考试后,甲同学只记得:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=2,其他条件忘了,最后解得b=2.乙同学给出以下4个条件:①A=,B=;②c=1,cos C=;③c=3,cos B=;④C=,A=.有可能是题目中的已知条件的是(　　) A.①②　　B.②③　　C.①③　　D.③④ 2.(多选题)(2023河北唐山二中期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b)·(sin A-sin B)=(c-b)·sin C,若b+c=4,则a的取值可以是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.(2024江苏镇江中学学情检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin∠BAC=acos B,若M是BC边的中点,且AM=AC,则sin∠BAC=　　　　.  题组二　三角形的面积公式及其应用 4.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于(　　) A.　　B.　　 C.2　　D.3 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,且2bcos A=2c-a,a+c=4,则△ABC的周长为(　　) A.4+　　B.6　　 C.4+2　　D.8 6.(2025甘肃定西临洮文峰中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1+S3-S2=ac. (1)求角B; (2)已知a=4,当取得最小值时,求△ABC内切圆的半径. 题组三　正弦定理的综合应用 7.(2025甘肃定西月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC为钝角,且c-asin C=0,若∠BAC的平分线交BC于点D,且AD=1,则b+c的最小值为(　　) A.2　　B.2　　C.4　　D.3 8.(多选题)(2025甘肃金昌永昌第一高级中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(a+b)(sin A+sin B)=csin C+asin B,c=6,则下列结论正确的是(　　) A.C= B.△ABC外接圆的半径为2 C.△ABC的面积的最大值为3 D.若CD为△ABC的中线,则CD≥ 答案与分层梯度式解析 1.6.2　正弦定理 基础过关练 1.B 2.C 4.ABC 5.B 7.C 9.B 1.B　由正弦定理得=,解得a=. 2.C　∵cos B=,且B∈(0,π),∴B=,∴sin B=, 又sin A=,a=10,∴由正弦定理得=,解得b=. 3.答案　1 解析　因为sin B=,且B∈(0,π),所以B=或B=,又C=,所以B=,所以A=π-B-C=,又a=,所以由正弦定理得=,解得b=1. 4.ABC　对于A,因为B为锐角且c=4<5=b,所以△ABC有唯一解,故A中判断错误; 对于B,因为B为锐角且csin B=4×=2<3.9=b<c,所以△ABC有两解,故B中判断错误; 对于C,因为B为锐角且csin B=4×=2>3=b,所以△ABC无解,故C中判断错误; 对于D,因为B为锐角且csin B=4×=2>2=b,所以△ABC无解,故D中判断正确. 解题模板 　　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b和A,以点C为圆心,a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数总结如下表: 条件 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b a>bsin A 无解 无解 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 5.B　由正弦定理得=,所以sin A=, 又b>a,所以A不是钝角,所以A=, 所以C=π-A-B=. 6.答案　1或2 解析　由正弦定理,得sin C===, ∴∠C=60°或∠C=120°. 当∠C=60°时,∠A=90°,AB边上的高为2; 当∠C=120°时,∠A=30°,AB边上的高为2sin 30°=1. 综上,AB边上的高为1或2. 7.C　由题意可知A+B+C=3C=180°,则C=60°, 因为sin2C=sin Asin B, 所以由正弦定理得c2=ab, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,则a2+b2-ab=ab,则(a-b)2=0,所以a=b,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形. 方法总结 　　利用正、余弦定理判断三角形的形状一般有两种方法:一是角化边,利用正、余弦定理把条件转化为边的关系,再结合因式分解、配方等方法得到边的相应关系,从而判断三角形的形状;二是边化角,利用正、余弦定理把条件转化为角的关系,从而判断三角形的形状. 8.答案　直角三角形 解析　由题意得a=, 即(b+c)a2=b3+c3+bc(b+c), 所以a2=b2-bc+c2+bc,所以a2=b2+c2, 所以△ABC是直角三角形. 9.B　S△ABC=absin C=×2×3×=. 10.答案　3 解析　因为S△ABC=·, 所以||||sin A=||||cos A, 所以tan A=,所以A为锐角,sin A=. 设△ABC外接圆的半径为R,则2R==6,所以R=3.故△ABC外接圆的半径为3. 11.答案　7 解析　由已知得△ABC的面积为AB·ACsin A=20sin A=10,所以sin A=, 因为A∈,所以A=. 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=52+82-2×5×8×=49,所以BC=7. 12. 解析　(1)由已知及正弦定理,得(a-b)a+b2=c2,即a2+b2-c2=ab, 则cos C==, 因为0<C<π,所以C=. (2)设△ABC外接圆的半径为R, 则2R===4, 所以a=2Rsin A=4sin A,b=2Rsin B=4sin B, 所以ab=16sin Asin B=4(1+), 所以S△ABC=absin C=×4×(1+)×=1+. 能力提升练 1.C 2.BC 4.A 5.B 7.C 8.BCD 1.C　若选条件①:因为a=2,A=,B=, 所以由正弦定理,得=,解得b=2,故①符合; 若选条件②:因为a=2,c=1,cos C=, 所以由余弦定理,得cos C===,整理得3b2-4b+9=0,此时关于b的一元二次方程无实数解,故②不符合; 若选条件③:因为a=2,c=3,cos B=, 所以由余弦定理,得cos B===,可得b2=12,所以b=2,故③符合; 若选条件④:因为C=,A=,所以B=π-A-C=π-=, 又因为a=2, 所以由正弦定理,得=,解得b=,故④不符合. 2.BC　由三角形三边关系,得a<b+c=4. 因为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 所以(a+b)(a-b)=(c-b)c,整理得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理,得cos A==, 因为A∈(0,π),所以A=. 因为bc≤,当且仅当b=c=2时,等号成立, 所以a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2=4, 所以a≥2,当且仅当b=c=2时,等号成立,故2≤a<4. 3.答案　 解析　因为bsin∠BAC=acos B, 所以由正弦定理得sin Bsin∠BAC=sin∠BACcos B, 又0<∠BAC<π,所以sin∠BAC>0, 则sin B=cos B,即tan B=, 又0<B<π,所以B=. 在△ABC中,由余弦定理得AC2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, 在△ABM中,由余弦定理得AM2=+c2-2·ccos B=+c2-ac, 因为AM=AC,所以a2+c2-ac=+c2-ac,化简并整理,得c=, 代入AC2=a2+c2-ac,得AC2=a2+-a·=a2,则AC=a. 在△ABC中,由正弦定理得=, 所以sin∠BAC===. 4.A　因为b2-bc-2c2=0, 所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c. 由余弦定理及已知,得6=4c2+c2-c2=c2, 所以c=2,所以b=2c=4, 因为cos A=,A∈(0,π),所以sin A=, 所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=. 5.B　因为2bcos A=2c-a, 所以2b·=2c-a, 整理,得a2+c2-b2=ac, 所以cos B===, 又B∈(0,π),所以B=. 又因为S△ABC=acsin B=,所以ac=4, 联立解得a=c=2, 故△ABC为等边三角形, 所以△ABC的周长为6. 6.解析　(1)由题意得S1=a2sin 60°=a2, S2=b2sin 60°=b2,S3=c2sin 60°=c2, 则S1+S3-S2=a2+c2-b2=ac, 即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得cos B==, 又因为B∈(0,π),所以B=. (2)因为a=4,B=, 所以b2=a2+c2-2accos B=16+c2-4c, 所以==c+-4≥2-4=6,当且仅当c=,即c=5时等号成立, 此时b2=21,所以b=, 则S△ABC=acsin B=×4×5×=5. 设△ABC内切圆的半径为r, 则S△ABC=(a+b+c)r, 所以r==, 所以△ABC内切圆的半径为. 7.C　由c-asin C=0及正弦定理,得sin C-sin∠BACsin C=0, 易得0°<C<90°,所以sin C≠0, 所以-sin∠BAC=0,即sin∠BAC=, 因为∠BAC为钝角, 所以∠BAC=120°. 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD, 所以bc·sin 120°=c·1·sin 60°+b·1·sin 60°, 所以bc=b+c,即+=1, 所以b+c=(b+c)·=2++≥2+2=4,当且仅当=,即c=b=2时,等号成立, 所以b+c的最小值为4. 8.BCD　因为(a+b)(sin A+sin B)=csin C+asin B, 所以由正弦定理得(a+b)(a+b)=c2+ab, 即a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理得cos C===-, 又因为C∈(0,π),所以C=,故A错误. 设△ABC外接圆的半径为R, 则2R===4, 所以R=2,故B正确. 由a2+b2-c2=-ab,得a2+b2+ab=36≥2ab+ab, 则ab≤12,当且仅当a=b=2时,等号成立, 所以S△ABC=absin C≤×12×=3,即△ABC的面积的最大值为3,故C正确. 根据题意可得D为AB的中点,则=(+),所以||2==(a2+b2-ab)=(c2-2ab)=9-ab≥3,则||≥,即CD≥,故D正确. 7 学科网（北京）股份有限公司 $