1.6.1 余弦定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.6　解三角形 1.6.1　余弦定理 基础过关练 题组一　已知两边及其夹角解三角形 1.(2025江苏镇江实验高级中学期中)在△ABC中,BC=4,AC=5,·=10,则AB=(　　) A.2　　B.　　C.5　　D. 2.(2025山东济南弘德中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则sin A=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.求: (1)角C; (2)AB的长度. 题组二　已知三边解三角形 4.(2025天津河北区期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,b=4,c=,则△ABC的最大的内角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的大小为(　　) A.60°　　B.90°　　C.120°　　D.150° 6.已知△ABC的顶点为A(1,),B(-2,2),C(0,0),则∠ACB=　　　　.  题组三　已知两边及其中一边的对角解三角形 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=(　　) A.　　B.　　 C.2　　D.3 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=10,b=15,∠A=30°,则此三角形(　　) A.无解　　B.有一个解 C.有两个解　　D.解的个数不确定 题组四　利用余弦定理判断三角形的形状 9.(2025浙江A9协作体期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-c)cos B=a-bcos C,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形　　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形　　 D.等腰三角形或直角三角形 10.(2025山东菏泽单县第一中学月考)若将直角三角形的三边增加同样的长度后组成新的三角形,则新三角形的形状是(　　) A.锐角三角形　　 B.直角三角形 C.钝角三角形　　 D.由增加的长度确定 能力提升练 题组一　利用余弦定理解三角形 1.(2025浙江杭州江南中学月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)∶(b+c)∶(a+c)=12∶13∶15,则此三角形的最大内角与最小内角之和为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2-c2=2absin C,且|+|=||,则B=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025广东深圳联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos B=c-a.当取得最小值时,A=　　　　.  4.(2024江苏无锡第一中学期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边AC的中点,c=1,BD=,∠ABD=,则a=　　　　.  题组二　余弦定理的综合应用 5.(2023浙江七彩阳光新高考研究联盟期中)无字证明来源于《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题),通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实践证明.如图所示,△ABC中,D,E为BC边上异于端点的两点,BD=a,EC=c,且△ADE是边长为b的等边三角形,则下列不等式一定成立的是　(　　) A.+>a+b+c B.+>a+b+c C.+>a+b+c D.+>a+b+c 6.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.sin(B+C)=sin A恒成立 B.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 C.若a2+b2-c2<0,则△ABC一定是钝角三角形 D.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰直角三角形 7.(多选题)(2024河南焦作博爱一中月考)甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则下列说法正确的有(　　) A.甲楼的高度为20 m B.甲楼的高度为10 m C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 m 8.(2025甘肃定西岷县第一中学月考)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(a2+b2-c2)sin C=abcos C. (1)求角C; (2)若·=3,c=,求△ABC的周长. 答案与分层梯度式解析 1.6　解三角形 1.6.1　余弦定理 基础过关练 1.B 2.C 4.B 5.C 7.D 8.C 9.D 10.A 1.B　由题意得·=(-)·(-)=·=||||cos C=20cos C=10,所以cos C=, 所以AB= ==. 2.C　由题意得cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=, 所以cos C=-, 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=32+22-2×3×2×=17,所以c=, 所以cos A===, 易知sin A>0,所以sin A==. 3.解析　(1)cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-, 又∵C∈(0,π),∴C=120°. (2)由题知 ∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=b2+a2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10, ∴AB=. 4.B　因为c>b>a,所以C为△ABC的最大的内角. 由余弦定理得,cos C==-, 又因为C∈(0,π),所以C=. 5.C　∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, ∴a2+b2-c2=-ab,则=-, ∴cos C=-, ∴C=120°. 6.答案　60° 解析　易得AB=||==2,AC=||==2, BC=||==4. 在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB===, 所以∠ACB=60°. 7.D　由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×, 整理,得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去). 8.C　由三角形中两边之和大于第三边,且两边之差小于第三边可知c∈(5,25). 由a2=b2+c2-2bccos A,得102=152+c2-2×15×ccos 30°, ∴c2-15c+125=0,解得c=∈(5,25), ∴c有两个解,即△ABC有两个解. 9.D　因为(2a-c)cos B=a-bcos C, 所以由余弦定理得(2a-c)×=a-b×, 整理化简得(a-c)(a2+c2-b2)=0, 所以a-c=0或a2+c2-b2=0, 即a=c或a2+c2=b2, 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 10.A　设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三边都增加x(x>0), 则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0, 由余弦定理知,新三角形中最大的内角是锐角, ∴新三角形是锐角三角形. 能力提升练 1.B 2.C 5.D 6.AC 7.AC 1.B　根据题意不妨设k>0, 解得a=7k,b=5k,c=8k, 所以△ABC的最大内角与最小内角分别为∠C和∠B. 由余弦定理可得cos A===, 又A∈(0,π),所以A=, 所以C+B=π-A=. 2.C　∵a2+b2-c2=2abcos C=2absin C, ∴tan C=,又C∈(0,π),∴C=. 由|+|=||=|-|两边同时平方可得·=0, ∴A=,∴B=. 3.答案　 解析　由2acos B=c-a及余弦定理, 得2a·=c-a, 整理得c=-a, 所以==+≥2=2, 当且仅当=,即b=a时,等号成立,此时c=a, 则cos A===, 又因为A∈(0,π),所以A=. 4.答案　 解析　在△ABD中,AB=1,BD=,∠ABD=, 由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=1+2-2×1××=1, 所以AD=1,所以AC=2AD=2, 此时AB2+AD2=BD2,即AB⊥AD, 所以a=BC==. 5.D　由题图可知AB+AC>BC,BC=a+b+c, 在△ABD和△ACE中,分别由余弦定理,得AB=,AC=, 所以+>a+b+c. 6.AC　对于A,因为△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,故A正确; 对于B,因为a2+b2-c2>0,所以cos C=>0,所以角C为锐角,而△ABC不一定是锐角三角形,故B错误; 对于C,因为a2+b2-c2<0,所以cos C=<0,所以角C为钝角,所以△ABC一定是钝角三角形,故C正确; 对于D,因为acos A=bcos B,所以a·=b·,整理得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2=b2或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故D错误. 7.AC　如图所示, 在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BD=20 m, ∴AD=BDtan 60°=20 m,AB==40 m, 故甲楼的高度为20 m. 在△ABC中,∠ACB=90°+30°=120°,易知AC=BC,设AC=BC=x m, 由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, 即1 600=x2+x2+x2,解得x=(负值舍去), 故乙楼的高度为 m. 8.解析　(1)因为(a2+b2-c2)sin C=abcos C, 所以由余弦定理可得2abcos Csin C=abcos C. 因为△ABC是锐角三角形,所以cos C>0, 所以2sin C=,即sin C=, 又C∈,所以C=. (2)因为·=3,所以abcos C=ab=3, 所以ab=6. 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-6=7, 所以a2+b2=13, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25, 所以a+b=5, 所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 7 学科网（北京）股份有限公司 $