1.6.1 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6.1 余弦定理 问题1：构成三角形的元素是什么？什么是解三角形呢？ 问题2：已知三角形的两边及其夹角就可以完全确定这个三角形，若夹角是直角，则利用勾股定理可求出第三边；若夹角不是直角，如何求第三边呢？我们刚刚学完向量，我们能不能用向量的相关知识解决这个问题呢？ 一般地，三角形的三个角𝐴，𝐵，𝐶和它们的对边𝑎，𝑏，𝑐叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 三条边、三个角 余弦定理 思考1：如图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来解决. b a c 设=a，=b，=c， 那么c=a-b ， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b 思考1：如图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ =a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C . 同理可得 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B. 如图，已知△ABC的两边CB=a，CA=b以及两边夹角C，求边AB． 想一想：如果要求CD，AD呢？如何表示？ 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. C B A b a c 思考2：应用余弦定理可以解决什么样的问题？ a2=b2+c2－2bccosA， b2=a2+c2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC. 已知三边解三角形 已知两边及一角解三角形 知三求一 余弦定理 C B A b a c 思考3：勾股定理与余弦定理有什么关系？ 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. ∠C=90° 1. 判断.（对的打“√”，错的打“×”） （1）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的. （　√　） 解：三角形三边确定对应的内角也就确定了. （2）在△ ABC 中，若 a 2＞ b 2＋ c 2，则△ ABC 一定为钝角三角形. （　√　 ） 解：当 a 2＞ b 2＋ c 2时， cos A ＝ ＜0，又 A ∈（0，π）， 所以 A ∈（ ，π），故△ ABC 为钝角三角形. （3）在△ ABC 中，若 a 2＜ b 2＋ c 2，则△ ABC 一定为锐角三角形. （　×　） 解：由 a 2＜ b 2＋ c 2，根据余弦定理可推出 A 为锐角，但△ ABC 不一定是 锐角三角形，锐角三角形的确定需证明三个内角皆为锐角. √ √ × 例1 在△ABC中，已知　　　，　　　　，∠C=45°，求c和∠A. 解　由余弦定理得　　c2 =a2 +b2－2abcos C 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　=4， 　　所以　c=2. 　　再由余弦定理可得　 　　因为∠A是三角形的内角，所以∠A=60 °. 题型一 已知两边及一角解三角形 例2 如图，在△ABC中，∠A=60 °，a=7，c=5，求△ABC的面积. 　解：由已知条件，并根据余弦定理a2=b2+c2－2bccos A可得 　　　　　　　　　　　　72=b2+25－2b×5×　， 　　整理得　　b2－5b－24=0. 　　解得　　　b=8或b=－3（舍去）. 　　作AC边上的高BD，则 　　　　　　　　　BD=5sin 60 ° =　　　， 因此S△ABC= 要求三角形的面积，需要知道哪些要素？ 例3 已知△ABC的三边分别为a=6，b=10和c=14，试求△ABC最大内角的度数. 解：根据三角形中大边对大角的原理可知，∠C是△ABC的最大内角. 　　由余弦定理得 　　　　　　 　　因为∠C是三角形的内角，所以∠C=120°. 　　因此△ABC的最大内角为120° . 根据三条边能确定其所对的哪个角最大吗？ 题型二 已知三边解三角形 2.已知△ ABC 中， a ∶ b ∶ c ＝2∶ ∶（ ＋1），求△ ABC 的各角的大小. 解：设 a ＝2 k ， b ＝ k ， c ＝（ ＋1） k （ k ＞0）， 由余弦定理，得 cos A ＝ ＝ ＝ ，又0°＜ A ＜180°， ∴ A ＝45°，同理可得 cos B ＝ ， B ＝60°， ∴ C ＝180°－ A － B ＝75°. 例4 在△ ABC 中，若 b （ a － c cos B ）＝ a （ b － c cos A ）， 试判断△ ABC 的形状. 解：因为 b （ a － c cos B ）＝ a （ b － c cos A ）， 所以由余弦定理， 得 b （ a － c · ）＝ a （ b － c · ）， 整理，得（ a 2＋ c 2－ b 2） b 2＝（ b 2＋ c 2－ a 2） a 2， 即（ a 2－ b 2）（ a 2＋ b 2－ c 2）＝0， 所以 a 2＋ b 2－ c 2＝0或 a 2＝ b 2. 所以 a 2＋ b 2＝ c 2或 a ＝ b . 故△ ABC 为直角三角形或等腰三角形. 题型三 利用余弦定理判断三角形的形状 方法归纳 3.已知在△ ABC 中， b cos A ＝ a cos B ，则△ ABC 是（　B　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 解析：因为 b cos A ＝ a cos B ， 所以 b · ＝ a · . 所以 b 2＋ c 2－ a 2＝ a 2＋ c 2－ b 2. 所以 a 2＝ b 2. 所以 a ＝ b .故此三角形是等腰三角形. B 1.余弦定理的推导及定义. 2.已知两边及一角解三角形. 3.已知三边解三角形. 4.余弦定理的应用 针对以下关键词，谈谈你的收获： C 2.一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为（ ） A.12　 B.2　 C.6　 D.4 解：设第三条边长为x， 则x2=42+62-2×4×6×=12， 故x=2. B 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac， 则∠B为 ( ) A.　 B.　 C.或　 D.或 解：∵a2-b2+c2=ac， ∴cos B===， 又∠B为△ABC的内角，∴∠B=. A 4.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=　　　.  解：由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×，解得b=4. 4 判断三角形形状的基本思想和两条思路 1．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(7)， b＝3，c＝2，则∠A＝(　　) A．30°　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：∵a＝eq \r(7)，b＝3，c＝2， ∴由余弦定理得，cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋4－7,2×3×2)＝eq \f(1,2)， 又由∠A∈(0°，180°)，得∠A＝60°.故选C. $