1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 基础过关练 题组一　向量数量积的坐标表示 1.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则·等于(　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 2.(2025甘肃平凉庄浪紫荆中学月考)若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x=(　　) A.3　　B.-3　　C.　　D.- 3.如图,在平面四边形ACDE中,点B在边AC上,△ABE是等腰直角三角形,四边形BCDE是边长为1的正方形,则·=　　　　.  4.△ABO的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足·≤0,·≥0,则·的最小值为　　　　.  题组二　向量模的坐标运算 5.(2025甘肃陇南礼县白河中学月考)已知向量a=(-1,-2),向量b=(-3,4),则向量a在b方向上的投影为(　　) A.1　　B.-1　　C.　　D.- 6.已知=(2,t),=(3,3),||=1,则·=　　　　.  7.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.  题组三　向量夹角的坐标运算 8.已知向量=,=,则∠ABC=　(　　) A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.120° 9.在菱形OABC中,已知=(2,0),=(3,k),则∠AOC=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.(2025甘肃张掖民乐第一中学期中)已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是　　　　　　　　.  题组四　向量垂直的坐标运算 11.(2025甘肃金昌永昌第一高级中学月考)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 12.(2025吉林长春第三中学月考)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点P在线段CD上,且满足AP⊥BP,则满足条件的点P有(　　) A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.4个 13.已知A,B,C是坐标平面上的三个点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1).求·和∠ACB的大小,并判断△ABC的形状. 能力提升练 题组一　向量数量积的坐标表示 1.(2025甘肃定西岷县第一中学月考)已知向量a,b满足|a+b|=2,a⊥(a-2b),且b=(1,1),则|a|=(　　) A.　　B.2　　C.　　D.3 2.(多选题)(2025甘肃定西临洮文峰中学月考)已知向量a=(5,λ),b=(λ-2,3),则下列命题为真命题的是(　　) A.若a∥b,则λ=-3或λ=5 B.若a⊥b,则λ= C.若λ=1,则|a+b|=4 D.若λ=2,则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为(0,2) 3.(2025河北张家口第一中学月考)已知向量a=(,-1),b=. (1)求与a平行的单位向量c的坐标; (2)设x=a+(t2+2)b,y=-2kta+b,若存在t∈[0,2],使得x⊥y成立,求实数k的取值范围. 题组二　向量数量积坐标表示的综合应用 4.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AB⊥AD,P为矩形ABCD所在平面内任意一点,则(+)·的最小值是(　　) A.-　　B.-　　C.-　　D.- 5.(2025广东东莞众美中学月考)已知⊥,||=t(t>0),||=.若P是△ABC所在平面内一点,且=+,则·的最大值为(　　) A.13　　B.5-2　　C.5-2　　D.10+2 6.如图,在四边形ABCD中,AB=CD=1,∠B≠∠C,M和N分别是边AD和BC的中点,延长BA和CD,分别交NM的延长线于点P,Q,则(+)·(-)的值为　　　　.  7.(创新题新考法)(2025甘肃平凉静宁文萃中学阶段测试)如图,在斜坐标系xOy中,e1,e2分别是与x轴,y轴的正方向同向的单位向量,且e1,e2的夹角为60°,定义向量=xe1+ye2在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y),记为=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中,完成如下问题: (1)若u=(1,2),v=(-3,1),求u+2v的坐标; (2)若a=(2,4),b=(5,m),且a⊥b,求实数m的值; (3)若m=(4,-5),n=(-2,3),求向量m,n的夹角θ的余弦值. 答案与分层梯度式解析 1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 基础过关练 1.B 2.A 5.B 8.A 9.B 11.D 12.C 1.B　∵=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0. 2.A　a·b=-x+6=3,解得x=3. 3.答案　-1 解析　以B为原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(-1,0),C(1,0),D(1,1),E(0,1), 所以=(2,1),=(-1,1), 所以·=-2+1=-1. 4.答案　3 解析　∵·=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0, ∴x≤1, ∵·=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2, ∴·=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3, ∴·的最小值为3. 5.B　向量a在b方向上的投影为===-1. 6.答案　3 解析　因为=(2,t),=(3,3), 所以=-=(1,3-t), 又||=1,所以||==1,解得t=3, 所以=(1,0), 所以·=3×1+3×0=3. 7.答案　5 解析　建立如图所示的平面直角坐标系, 设DC=h,则A(2,0),B(1,h). 设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y), ∴|+3|=≥=5,当且仅当3h=4y,即DP=DC时,等号成立. 故|+3|的最小值为5. 8.A　由题意得cos∠ABC===,所以∠ABC=30°. 9.B　==-=(1,k),||=||=2, 所以cos∠AOC=cos<,>===, 因为∠AOC∈(0,π),所以∠AOC=. 10.答案　∪ 解析　因为向量a与b的夹角为锐角,所以a·b>0且a与b不共线,所以-3λ+10>0且5λ≠-6,解得λ<且λ≠-.故λ的取值范围为∪. 易错警示 　　利用cos θ=来判断a与b的夹角θ的情况时,要注意cos θ<0有两种情况:一是θ是钝角,二是θ=π;cos θ>0也有两种情况:一是θ为锐角,二是θ=0. 11.D　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0, 所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,所以x=2. 12.C　以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,0),设P(t,1)(0≤t≤4), 则=(t,1),=(t-4,1), 因为AP⊥BP,所以·=0,即t(t-4)+1=0, 解得t=2±,即满足条件的点P有2个. 13.解析　由已知,得=(4-1,1-2)=(3,-1), =(0-1,-1-2)=(-1,-3), ∴·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴⊥, ∴AB⊥AC,且∠A=90°. 又||==,||==,∴||=||, ∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=45°. 能力提升练 1.D 2.ACD 4.A 5.B 1.D　因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=0, 所以a2-2a·b=0,所以a2=2a·b. 因为|a+b|=2,所以a2+2a·b+b2=20, 因为b=(1,1),所以b2=2, 所以2a2+2=20,所以a2=9,所以|a|=3. 2.ACD　对于A,因为a∥b,所以5×3-λ(λ-2)=0,解得λ=-3或λ=5, 当λ=-3时,a=(5,-3),b=(-5,3),满足题意;当λ=5时,a=(5,5),b=(3,3),满足题意,故A正确. 对于B,因为a⊥b,所以5(λ-2)+3λ=0,解得λ=,故B错误. 对于C,当λ=1时,a=(5,1),b=(-1,3),则a+b=(4,4),所以|a+b|==4,故C正确. 对于D,当λ=2时,a=(5,2),b=(0,3), 则向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos<a,b>·=·b=b,所以向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为(0,2),故D正确. 3.解析　(1)由题意可得|a|==2,所以与a平行的单位向量为=或-=,即c的坐标为或. (2)因为a=(,-1),b=,所以|a|=2,|b|=1,a·b=0. 因为x⊥y,所以x·y=[a+(t2+2)b]·(-2kta+b)=-2kta2+a·b-2kt(t2+2)b·a+(t2+2)b2=-2kt|a|2+(t2+2)|b|2=0, 所以t2-8kt+2=0. 问题转化为关于t的二次方程t2-8kt+2=0在t∈[0,2]内有解的问题. 令f(t)=t2-8kt+2,其图象的对称轴为直线t=4k. ①当4k≤0,即k≤0时, f(t)在[0,2]上单调递增, f(0)=2,所以方程t2-8kt+2=0在[0,2]内无解. ②当0<4k<2,即0<k<时,由f(4k)≤0,得-16k2+2≤0,解得k≤-或k≥,所以≤k<. ③当4k≥2,即k≥时, f(t)在[0,2]上单调递减,由f(2)≤0得4-16k+2≤0,解得k≥,所以k≥. 综上,实数k的取值范围为. 4.A　建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,2),设P(x,y), 所以=(1-x,-y),=(-x,-y),=(1-x,2-y),所以+=(-x,-y)+(1-x,2-y)=(1-2x,2-2y), 所以(+)·=(1-2x)(1-x)+(2-2y)(-y)=+2-, 所以当x=,y=时,(+)·取得最小值,且最小值为-. 5.B　 思路分析 解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(t,0),C(t>0), 所以=(t,0),=, 故=(1,0),=(0,2), 则=+=(1,2),即P(1,2), 故=(t-1,-2),=, 所以·=1-t+4-=5-≤5-2, 当且仅当t=,即t=时,等号成立. 6.答案　0 解析　解法一:由题意知P,Q,M,N四点共线,可设+=λ(λ∈R), 由题图可得 因为M,N分别为边AD,BC的中点, 所以①+②可得2=0+++0, 即=(+), 故(+)·(-)=(+)·(-)=(||2-)=0. 解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值以简化运算. 设∠B=90°,∠C=60°,BC=2,以B为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D作DD'⊥BC于D',则B(0,0),C(2,0),A(0,1),D,故M,N(1,0),所以=,=(0,-1),=,所以-=-,-1+, 故·(-)=×+×=0. 因为P,Q,M,N四点共线, 所以可设+=λ(λ∈R),故原式=0. 7.解析　(1)若u=(1,2),v=(-3,1), 则u=e1+2e2,v=-3e1+e2, 则u+2v=e1+2e2+2(-3e1+e2)=-5e1+4e2. 故u+2v的坐标为(-5,4). (2)若a=(2,4),b=(5,m), 则a=2e1+4e2,b=5e1+me2. 由已知得|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=. 因为a⊥b,所以a·b=(2e1+4e2)·(5e1+me2)=10+(20+2m)e1·e2+4m=10+10+m+4m=20+5m=0,解得m=-4. (3)若m=(4,-5),n=(-2,3), 则|m|2=m2==16-40e1·e2+25=21, |n|2=n2==4-12e1·e2+9=7, 所以|m|=,|n|=, 又m·n=(4e1-5e2)·(-2e1+3e2)=-8+22e1·e2-15=-12, 所以向量m,n的夹角θ的余弦值为==-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $