1.7 平面向量的应用举例（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦平面向量在几何与物理中的应用，涵盖几何中的平行垂直证明、长度计算、三角形“四心”向量表示，以及物理中力、速度、功的向量运算，通过知识辨析衔接前后知识，搭建从向量概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，通过“问题转化-向量运算-结论还原”步骤，结合三角形“四心”典例、物理做功计算等实例，提升数学运算与推理能力。学生能深化知识应用，教师可依托系统案例与素养培养路径优化教学。

向量在几何中的应用 知识点 1 必备知识 清单破 1.7　平面向量的应用举例 1.向量的坐标法,对于某些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等,可建立 平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决几何问题. 2.证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量平行的条件:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a,b≠0), 则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 3.证明线线垂直:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,由非零向量a⊥b推出 线线垂直. 4.求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:若a=(x,y),则|a|= = ;若A(x1,y1),B (x2,y2),则|AB|=| |= . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量在物理中的应用 知识点 2 1.物理中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加则用到向量的 合成. 3.动量mv是数乘向量. 4.功是力F与在其作用下发生位移s的数量积. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它与向量的数量积 有什么关系? 2.速度、加速度与位移的合成与分解,与向量的运算有关系吗? 3.在△ABC所在的平面内,若| |=| |=| |,则O为△ABC的外心吗? 第1章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.物理上力做功的实质就是向量的数量积. 2.有.速度、加速度与位移的合成与分解实质上就是向量的加减法运算. 3.是.因为| |=| |=| |,所以点O到三角形的三个顶点的距离相等,所以O为△ABC的外心. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量在几何中的应用  关键能力 定点破 定点 1 1.用向量解决几何问题的步骤   第1章　平面向量及其应用 高中同步 2.三角形“四心”的向量表示 (1)在△ABC中,若| |=| |=| |或 = = ,则点O是△ABC的外心; (2)在△ABC中,若 + + =0,则点G是△ABC的重心; (3)在△ABC中,若 - =λ  +   (λ≠0),则直线AP过△ABC的重心; (4)在△ABC中,若 · = · = · ,则点H是△ABC的垂心; (5)在△ABC中,若 = +λ  +  (λ≠0),则直线AP过△ABC的内心. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　已知A(0,2),B(-2,0),C(4,0), =λ +μ ,则下列结论错误的是 (　    ) A.若P是△ABC的重心,则 =1 B.若P是△ABC的内心,则 =  C.若P是△ABC的垂心,则 =2 D.若P是△ABC的外心,则 =  B 思路点拨    根据三角形内心、外心、重心、垂心的性质,逐个分析. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    如图①,设AP与BC交于点D, =r (0<r<1),因为 =λ +μ , 所以 =  +  , 则 + =1,即λ+μ=r. 过点D作DE∥AC交AB于点E,作DF∥AB交AC于点F, 则 = + ,则 =  , =  , 由平行线分线段成比例得 = = = , 同理得 = = ,所以 = . 若P是△ABC的重心,则D为BC的中点, 所以 =1; 第1章　平面向量及其应用 高中同步 若P是△ABC的内心,则AP平分∠BAC, 所以 = = = = ; 如图②,若P是△ABC的垂心, 设直线AP与BC交于点D, 则点D与点O重合,则 = = =2; 若P是△ABC的外心, 则P(1,-1),则 =(1,-3). 由题意,得 =(-2,-2), =(4,-2), 又因为 =λ +μ , 所以(1,-3)=λ(-2,-2)+μ(4,-2), 第1章　平面向量及其应用 高中同步 所以 解得 所以 = .        第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量在物理问题中的运用  用向量方法解决物理问题的三个步骤   定点 2 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)和一些其他的力作用于同一质点,使其由点A(20,15)移动 到点B(7,0),其中力的单位为N,距离的单位为m. (1)求F1,F2分别对质点所做的功(单位:J); (2)求F1,F2的合力F对质点所做的功. 思路点拨    根据力做的功与向量数量积的关系进行计算. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)由题意得 =(-13,-15), F1对质点所做的功W1=F1· =(3,4)·(-13,-15)=-99 J, F2对质点所做的功W2=F2· =(6,-5)·(-13,-15)=-3 J. 故力F1对质点所做的功为-99 J,力F2对质点所做的功为-3 J. (2)合力F对质点所做的功W=F· =(F1+F2)· =(9,-1)·(-13,-15)=-102 J. 故合力F对质点所做的功为-102 J. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　在运用向量解决几何问题中提升数学运算的学科素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 数学运算不仅考查学生的运算基本功,更重要的是考查学生借助运算方法有效解决实际问题 的能力.通过运算促进数学思维发展,形成程序化思考问题的数学思维品质. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例呈现 例题　如图所示,AD是△ABC的一条中线,点O满足  =2 ,过点O的直线分别与射线AB,射 线AC交于点M,N.   (1)求证: =  +  ; (2)设 =m , =n ,m>0,n>0,求 + 的值; (3)如果△ABC是边长为a(a>0)的等边三角形,求OM2+ON2的取值范围. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解题思路    (1)根据图形,结合向量的线性运算,即可证明. 证明:因为 =2 ,所以 =  , 又因为D为BC的中点,所以 = ( + ), 所以 =  =  +  . (2)根据题意,用 和 表示 ,结合M,O,N三点共线,即可求解. 因为 =m , =n ,m>0,n>0, 所以 =  , =  , 又因为 =  +  ,所以 =  +  . 因为M,O,N三点共线, 第1章　平面向量及其应用 高中同步 所以 + =1,所以 + =3. (3)根据题意,结合(1)(2)用 和 分别表示出 和 ,进而可以表示出OM2+ON2,再结合基 本不等式与二次函数的性质,即可求解. 由(1)(2)可知 =  +  , + =3, 所以m+n=3mn. 因为 = - =  -  , = - =  -  ,所以OM2+ON2=| |2+| |2 = + = [(9m2-6m+2) +(9n2-6n+2) -2(3m+3n-2) ·  ]. 又因为△ABC是边长为a(a>0)的等边三角形, 第1章　平面向量及其应用 高中同步 所以OM2+ON2=a2 m2+n2-m-n+  , 因为3mn=m+n≥2 ,所以mn≥ , 当且仅当m=n时,等号成立,令t=mn,则t≥ , 因此m2+n2-m-n+ =(m+n)2-5mn+ =9(mn)2-5mn+ =9t2-5t+ ,因为t≥ , 所以9t2-5t+ ≥ , 所以OM2+ON2=a2 m2+n2-m-n+  ≥ . 因此OM2+ON2的取值范围为 . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 思维升华 　　本章在运用向量解决几何问题以及利用正、余弦定理解三角形或解决实际问题中,都需 要大量的数学运算,通过这些问题来提升数学运算的学科素养十分重要,这也是我们在学习 的过程中需要不断提升的能力. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 $