1.6 解三角形（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦解三角形核心内容，涵盖余弦定理、正弦定理、三角形解的个数判定、面积公式及实际应用步骤，通过知识辨析与考点串联，构建从基础定理到实际问题的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于融入数学建模（如《海岛算经》测量、救援船时间计算），发展数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理与运算）、数学语言（符号与模型表达），典例解析与素养解读结合，提升学生应用能力，教师可借助系统资源高效开展素养导向教学。

　余弦定理 知识点 1 必备知识 清单破 1.6　解三角形 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C 其他形式 cos A= ,cos B= ,cos C=   第1章　平面向量及其应用 高中同步 　正弦定理及常见变形 知识点 2 文字语言 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等 符号语言  = = =2R(R为△ABC外接圆的半径) 常见变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin A= ,sin B= ,sin C= , a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,  =2R(R为△ABC外接圆的半径) 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　三角形解的个数的确定 在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,则此弧与除去顶点A的射线AB的公 共点个数即为三角形解的个数. 知识点 3 图形 关系式 解的情况 A为 锐角   (1)a=bsin A (2)a≥b 一解 A为 锐角   bsin A<a<b 两解   a<bsin A 无解 第1章　平面向量及其应用 高中同步 A为 钝角 或直角   a>b 一解   a≤b 无解 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　三角形的面积公式 △ABC的面积S= absin C= bcsin A= acsin B. 知识点 4 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　解三角形实际问题的一般步骤   知识点 5 第1章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形一定是锐角三角形吗? 2.在△ABC中,一定有asin C=csin A吗? 3.在△ABC中,一定有a∶b∶c=cos A∶cosB∶cos C吗? 4.在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B成立吗? 第1章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不一定.由cos A= 和b2+c2>a2可得cos A>0,所以A为锐角.但一个内角为锐角的三角 形不一定是锐角三角形. 2.一定.由 = ,得asin C=csin A. 3.不一定. 4.成立.根据三角形大边对大角以及大角对大边的性质可知a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 利用正、余弦定理解三角形  三角形共有六个元素,当已知条件较复杂时,需要我们辨别条件,恰当地选择定理来求解. 常见情况 (1)当已知条件以边与正弦值之比的关系出现时,选择正弦定理; (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时,选择扩充的正弦定理; (3)当已知条件涉及边的平方或者两边的积时,选择余弦定理; (4)如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或 边的一次式,要考虑用正弦定理. 以上特征都不明显时,两个定理都有可能用到. 关键能力 定点破 定点 1 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(4b-c)cos A=acos C,且a= ,则△ABC的 周长的取值范围是　　　　　　　    . 思路点拨    由已知结合正弦定理可求得cos A,然后根据余弦定理及基本不等式求出b+c的范 围,最后结合三角形任意两边之和大于第三边求解.  (2 , +2 ] 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    ∵(4b-c)cos A=acos C, ∴由正弦定理得(4sin B-sin C)cos A=sin Acos C,即4sin Bcos A=sin(A+C)=sin B, 又∵sin B>0,∴cos A= . 由余弦定理得3=b2+c2- bc,∴(b+c)2-3= bc, 又bc≤ (当且仅当b=c时,等号成立), ∴(b+c)2-3≤  , ∴b+c≤2 , 又∵b+c> , ∴2 <a+b+c≤ +2 , ∴△ABC的周长的取值范围是(2 , +2 ]. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　利用正、余弦定理判断三角形的形状  定点 2 1.利用正、余弦定理判断三角形形状的方法 　　利用正、余弦定理把已知条件转化为边的关系或角的关系,再通过因式分解、配方等得 出边或角的相关关系,从而判断出三角形的形状,注意在变形过程中,一般不约去公因式,应设 法提取公因式,以免漏解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 2.判断三角形形状时经常用到的结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2. (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2. (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. (4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状是 (        ) A.等边三角形　    B.锐角三角形 C.钝角三角形　    D.直角三角形 D 思路点拨    利用余弦定理化角为边 化简得出(a2-b2-c2)(b+c)=0 由a2-b2-c2=0得出a2=b2+ c2 △ABC是直角三角形. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    ∵acos B+acos C=b+c, ∴由余弦定理得a· +a· =b+c,化简得(a2-b2-c2)(b+c)=0. ∵a,b,c为△ABC的三边, ∴b+c≠0, ∴a2-b2-c2=0, 即a2=b2+c2, ∴△ABC是直角三角形. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　利用正、余弦定理解决实际问题  　　用正、余弦定理解决实际应用问题时,需把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的 已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.具体步骤如下:   定点 3 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个观测点,现位于A点北偏东 45°,B点北偏西60°的D点处有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20 海 里的C点处的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时 间? 参考数据:sin 105°=     思路点拨    根据已知图形先在△DAB中利用正弦定理求出BD,再在△BCD中利用余弦定理 求出CD,最后求救援船到达D点所需的时间. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    由题意知AB=5(3+ )海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=105°. 在△DAB中,由正弦定理得 = , ∴BD= = = =10 海里. 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 海里, ∴在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10 ×20 ×  =900, ∴CD=30海里, ∴该救援船到达D点需要 =1小时. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 在三角测量问题中发展数学建模的核心素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 　　解三角形源于测量,即将现实生活中的测量问题抽象为解三角形的数学模型,通过解三 角形找到测量问题的解决方法,最后回到现实中去.具体表现为:①明确问题,进行数据分析,抓 住长度和角度数据;②掌握对象的图形特点;③抽象出数学示意图;④在三角形中利用相关知 识(正、余弦定理,三角函数的定义等)求解;⑤回归问题,把求出的解叙述为实际问题. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例呈现 例题　魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的 高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆,其高度称 为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的 差”,则海岛的高AB= (　    )   A. +表高　     B. -表高 C. +表距　     D. -表距 A 第1章　平面向量及其应用 高中同步 主编点评    本题是关于测量的问题,分析题意,抓住关键信息,通过作辅助线构造三角形,进而 抽象为解三角形问题,在三角形中选择合适的参数将所求量与已知的三个量联系起来,再结 合三角函数的定义求解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解题思路    连接FD并延长,交AB于点M,则AB=AM+BM,MF∥AC. 设∠BDM=α,∠BFM=β, 则 - =MF-MD=DF. 在△DEH和△FGC中, 易得∠DHE=α,∠FCG=β, 则tan β= ,tan α= , 所以 - =MB· =MB· , 因为GF=ED, 所以 - = , 第1章　平面向量及其应用 高中同步 所以 - =MB· =DF, 又易知DF=EG,所以MB= = = , 所以海岛的高AB= +表高.   第1章　平面向量及其应用 高中同步 思维升华 　　解三角形问题是一种重要的数学模型,处理解三角形相关的实际问题的思路是:分析数 据关系,画出相应的示意图,构建三角形模型,最后运用三角形知识解决问题.另外,从实际测量 问题中抽象出数学问题,除了正、余弦定理可作为解决手段,向量也可作为有效工具. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 $