1.4 向量的分解与坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理、正交分解与坐标表示，涵盖线性运算、向量平行的坐标关系等核心知识。通过从基本定理的存在性与唯一性入手，过渡到正交分解，再到坐标表示，搭建从抽象到具体的学习支架，衔接向量分解与坐标运算的知识脉络。 其亮点在于设置知识辨析（如“平面内任意两向量能否构成基”）和典例解析（如三角形重心、正方形向量分解），结合数学思维（推理意识）与数学语言（坐标表达）。通过待定系数法、坐标运算解决几何问题，培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理求解，提升应用意识。教师可借助分层设计优化教学，学生能深化对向量工具性的理解。

　平面向量基本定理 知识点 1 必备知识 清单破 1.4　向量的分解与坐标表示 1.设e1,e2是平面上两个不共线向量,则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. (2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'. 2.平面上不共线的两个向量e1,e2组成的集合称为平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的 系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　平面向量的正交分解与坐标表示 1.正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}.显然i=(1,0),j=(0,1). 知识点 2 第1章　平面向量及其应用 高中同步 3.平面向量与有序数对的对应关系 (1)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为起点作 =a,则点A的位置由向量a唯一确定.   设 =x'i+y'j,则向量 的坐标(x',y')就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x',y')也就是向量  的坐标. 因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一个有序数对唯一表示. (2)设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r,且<e1,v>=α,则v=(rcos α,rsin α). 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量线性运算的坐标表示 知识点 3 1.向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b= (x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2). (2)一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy). (3)在平面直角坐标系中,向量 的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1),即  =(x2-x1,y2-y1). 第1章　平面向量及其应用 高中同步 2.向量平行的坐标表示 向量 =(x1,y1), =(x2,y2)平行(也就是共线),可以直接用(x1,y1)∥(x2,y2)来表示.这意味着其中 一个坐标是另一个坐标的实数倍,因此x1y2=y1x2成立.即(x1,y1)∥(x2,y2)⇔x1y2-y1x2=0. 3.常用结论 (1)中点向量坐标:若A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB的中点,则 = = (O为坐标 原点). (2)三角形的重心向量坐标:在△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若△ABC的重心为G,则 =  = (O为坐标原点). 第1章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.平面内的任意两个向量都可以构成平面上的一组基吗? 2.平面向量的基确定后,平面内的任何一个向量都可以用这组基唯一表示吗? 第1章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不是.平面上的一组基是由平面上不共线的两个向量构成的. 2.是.平面向量基本定理应从两个方面去理解:一是存在性,即存在实数x,y,对平面上每一个向 量v,都有v=xe1+ye2;二是唯一性,即对于任意向量v,存在唯一一对实数x,y,使得v=xe1+ye2. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　平面向量基本定理的应用  关键能力 定点破 定点 1 1.平面向量基本定理的唯一性及其应用 设a,b是同一平面内的两个不共线向量,x1,x2,y1,y2∈R,若x1a+y1b=x2a+y2b,则 这个方法应 用广泛,常用待定系数法确定向量. 2.用向量求解平面几何问题的步骤 (1)选取适当的两个向量作为一组基; (2)将相关向量用基表示; (3)通过向量运算得到新的向量关系式; (4)将新的向量关系式“翻译”成几何关系. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,在△ABC中,M是边BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC.AM与BN相交于点P,求 AP∶PM的值.   思路点拨    先选一组基,然后利用A,P,M三点共线和B,P,N三点共线,从两个角度表示向量 , 最后利用平面向量基本定理列出方程组,从而求解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    设 =e1, =e2,则 = + =-3e2-e1, = + =2e1+e2. ∵A,P,M三点共线,B,P,N三点共线, ∴存在实数λ,μ, 使得 =λ =-λe1-3λe2, =μ =2μe1+μe2. ∴ = - =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2, 又 = + =2e1+3e2, ∴ 解得  ∴ =  , ∴AP∶PM=4∶1. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 名师点睛 (1)充分挖掘题目中的隐含条件,本题中两次使用三点共线. (2)用基表示向量是用向量解决问题的基础,应根据条件灵活应用,熟练掌握. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　利用平面向量的坐标运算(代数)解决有关几何问题  定点 2 1.向量的坐标运算一般是利用加法、减法、数乘运算法则进行的,若已知有向线段两端点的 坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,另外,在解题的过程中要注意方程思 想的运用. 2.利用向量的坐标运算解题,主要根据相等向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若 =λ +μ ,求λ+μ的值.   第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.   设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0),B(1,0),D(0,1),C(1,1),M 1,  , 所以 =(1,1), = , =(-1,1). 因为 =λ +μ ,所以(1,1)=λ +μ(-1,1), 所以 解得 所以λ+μ= . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 $