考前必背（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学知识清单系统梳理了向量、三角函数、复数、立体几何及概率统计等核心知识体系。从向量线性运算、数量积入手，衔接解三角形与三角恒等变换，延伸至复数概念与运算，再到立体几何的空间关系及表面积体积公式，最后涵盖随机事件、古典概型等概率知识，形成连贯的学习支架。 知识链路按“概念-运算-应用”逻辑清晰呈现，通过表格对比定义、法则与公式，覆盖多章节内容。结合数学思维的逻辑推理与数学语言的符号表达，帮助学生构建系统知识网络，培养从数学角度分析问题的能力，便于理解记忆和综合应用。

考 前 必 背 一、向量的线性运算 定义 法则或几何意义 运算律 求向量和的运算称为向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 (1)加法交换律: a+b=b+a; (2)加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 已知两个向量a,b,求x满足a+x=b,这样的运算叫作向量的减法,记为x=b-a,x称为b与a之差 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 一般地,设a,b是任意向量,x,y是任意实数,则 (1)(x+y)a=xa+ya; (2)x(ya)=(xy)a; (3)x(a+b)=xa+xb 二、共线向量 　　两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa或a=λb. 三、向量线性运算的坐标表示 　　1.向量线性运算的坐标表示 文字叙述 坐标表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于这个数乘向量相应的坐标 若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy) 向量 的 坐标 在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1) 　　2.向量平行的坐标表示 设=(x1,y1),=(x2,y2),则(x1,y1)∥(x2,y2)⇔x1y2-x2y1=0. 四、向量的数量积 　　1.向量的数量积 定义 设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积 性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ; (2)a⊥b⇔a·b=0; (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=|a|2或|a|=; (4)|a·b|≤|a||b| 运算 律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)与数乘的结合律:a·(λb)=λ(a·b); (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c 　　2.数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)数量积的坐标表达式:a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2. (2)模的公式:|a|==. (3)两向量夹角余弦值的公式:cos<a,b>==. (4)垂直条件:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 五、解三角形 　　1.余弦定理 (1)余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. (2)常见变形 cos A=,cos B=,cos C=. 　　2.正弦定理 (1)正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等.即==. (2)常见变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin A=,sin B=,sin C=, a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C, =2R. 六、两角和与差的三角函数 名称 公式 两角差的余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 两角和的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 两角差的正弦 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 两角和的正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 两角和的正切 tan(α+β)= 两角差的正切 tan(α-β)= 七、二倍角的三角函数 　　1.sin 2α=2sin αcos α. 2.cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 3.tan 2α=. 八、复数的有关概念及代数表示 　　1.复数 我们把形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数,其中a称为复数a+bi的实部,b称为复数a+bi的虚部,i称为虚数单位.把z=a+bi(a,b∈R)这一表示形式称为复数的代数形式. 2.复数集 全体复数组成的集合称为复数集,即复数集C={a+bi|a,b∈R}. 3.复数相等 若两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)的实部与虚部分别相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 4.复数的分类 复数z=a+bi (a,b∈R) 九、复数的四则运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则 (1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i; (2)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (3)==+i(z2≠0). 对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 十、复数的几何意义 十一、平面的基本性质 　　1.基本事实: (1)如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. (2)过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (4)平行于同一条直线的两条直线平行. 2.推论: (1)一条直线和直线外的一点确定一个平面. (2)两条相交直线确定一个平面. (3)两条平行直线确定一个平面. 十二、空间两条直线的位置关系 　　1.相交——在同一平面内,两条直线有且只有一个公共点. 　　2.平行——在同一平面内,两条直线没有公共点. 　　3.异面——两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点. 十三、直线与平面的位置关系 　　1.直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内——直线上所有的点都是公共点; (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点; (3)直线和平面平行——没有公共点. 我们把直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. (2)直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. 3.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. (2)直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 十四、平面与平面的位置关系 　　1.两个平面的位置关系 (1)两平面相交——有一条公共直线; (2)两平面平行——没有公共点. 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. (2)平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 3.两个平面垂直 (1)两个平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. (2)两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 十五、空间图形的表面积和体积 　　1.面积 S直棱柱侧=Ch;S正棱锥侧=Ch'; S正棱台侧=(C+C')h'; S圆柱侧=Cl=2πrl;S圆锥侧=Cl=πrl; S圆台侧=(C+C')l=π(r+r')l; S球=4πR2. 其中C',C分别为上、下底面的周长,h为高,h'为斜高,r',r分别为上、下底面的半径,l为母线,R为球的半径. 　　2.体积 V柱体=Sh;V锥体=Sh; V台体=h(S++S'); V球=πR3. 其中S',S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半径. 十六、有限样本空间与随机事件 　　1.随机现象:在条件相同的情况下,不同次的试验或观察会得到不同的结果,每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果.我们把这种现象称为随机现象. 2.随机试验:对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 3.样本点:将随机试验的每个可能结果称为样本点. 4.样本空间:将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间,用Ω表示. 5.有限样本空间:如果样本空间中样本点的个数是有限的,则称该样本空间为有限样本空间. 6.随机事件:一般地,当Ω是试验的样本空间时,我们称Ω的子集A是Ω的随机事件,简称为事件,一般用大写字母A,B,C,…来表示. 7.基本事件:由一个样本点组成的集合,称为基本事件. 8.必然事件:我们称样本空间Ω为必然事件. 9.不可能事件:空集⌀中没有样本点,永远不会发生,所以我们称⌀是不可能事件. 十七、事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含于 A发生必然导致B发生 A⊆B 相等 A发生必然导致B发生,B发生也导致A发生 A=B 事件的交(或并) A与B同时发生 A∩B(或AB) 事件的并(或和) A发生或B发生 A∪B(或A+B) 互斥(或互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=⌀ 事件的差 A发生而B不发生 A\B 对立事件 A不发生 Ω\A或 十八、古典概型 　　1.特点 (1)有限性:样本空间中只有有限个样本点; (2)等可能性:每个样本点出现的可能性相等. 2.概率计算公式 对于古典概型,事件A的概率计算公式为P(A)=. 十九、概率的基本性质 　　1.0≤P(A)≤1. 2.P(Ω)=1. 3.P(⌀)=0. 二十、概率的运算 　　1.互斥事件的概率加法公式:如果Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.对立事件的概率公式:如果A是样本空间Ω的事件,则P()=1-P(A). 3.一般概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 二十一、频率与概率的关系 　　1.频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 2.频率是随机的,概率是确定的,可以用频率估计概率. 二十二、事件的相互独立性 　　1.概念 在概率论中,设A,B为两个事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称为独立. 2.性质 A与B是相互独立事件,则A与,B与,与也相互独立. 3.计算公式 若事件A,B独立,则P(A∩B)=P(A)P(B). 7 学科网（北京）股份有限公司 $