15.3 互斥事件和独立事件（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件围绕互斥事件、对立事件、独立事件展开，系统讲解定义、概率公式及性质，通过知识辨析题导入，帮助学生联系随机事件概率旧知，构建从概念到公式再到复杂事件计算的递进式知识支架。 其亮点在于结合实例（如家庭答题、BMI统计）设计辨析与典例，培养数学思维（推理能力）和数学语言（数据观念），学生能提升逻辑推理与数据处理能力，教师可借助丰富例题高效开展教学。

互斥事件 15.3 互斥事件和独立事件 必备知识 清单破 知识点 1 1.互斥事件的定义 　　在一次随机试验中,事件A与B不可能同时发生,这时,我们称A,B为互斥事件. 2.概率的加法公式 　　如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B).这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式). 3.概率加法公式的推广 　　如果事件A1,A2,…,An(n∈N,n>2)中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两 两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).     第15章　概率 高中同步 　　若互斥事件A,C中必有一个发生,这时,我们称A,C为对立事件,记作C= 或A= . 对立事件A与 必有一个发生,故A+ 是必然事件. 对立事件 知识点 2 随机事件概率的常用性质 知识点 3 1.P( )=1-P(A); 2.当A⊆B时,P(A)≤P(B); 3.当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 第15章　概率 高中同步 相互独立事件 知识点 4 1.相互独立事件的定义 　　一般地,对于两个随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称A,B为相互独立事件. 2.重要结论 (1)若A,B相互独立,则 ,B相互独立. (2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那 么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 第15章　概率 高中同步 知识辨析 1.如果两个事件是互斥事件,那么这两个事件一定是对立事件吗? 2.记 , 分别为事件A,B的对立事件,若事件A,B互斥,则 , 也一定互斥,对吗? 3.若事件A+B是必然事件,则事件A与事件B一定是对立事件,对吗? 4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D满足A+B+C+D是必然事件,则A+C与B+D是互 斥事件,但不是对立事件,对吗? 5. 我们知道如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),可以类 似得到“如果事件A1,A2,…,An两两相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)”吗? 第15章　概率 高中同步 一语破的 1.不一定.两个事件A,B互斥满足AB=⌀,两个事件对立满足AB=⌀,且A+B=Ω,因此对立事件一 定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件. 2.不对.如图所示,A,B是互斥事件,但 , 不是互斥事件.   3.不对.如抛掷一枚硬币两次,设A=“至少一次正面向上”,B=“至少一次反面向上”,满足A +B=Ω,但AB≠⌀,因此,A,B不是对立事件. 第15章　概率 高中同步 4.不对.事件A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是必然事件,其事件的关系如图所示.   由图可知,A+C与B+D是互斥事件,且是对立事件,故结论错误. 5.不能.当n≥3时,事件A1,A2,…,An两两相互独立, P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)一般不成立. 第15章　概率 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断 1.互斥事件与对立事件 (1)从公式的角度看 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件,如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).     ②对立事件是必有一个发生的互斥事件,事件A的对立事件通常记作 ,有P(A)+P( )=P(A∪  )=1. (2)从发生的角度看 ①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能仅有一个发生,但不可能同时发生. ②两个对立事件有且仅有一个发生. ③两事件对立必定互斥,但互斥未必对立,对立事件是互斥事件的一个特例. 第15章　概率 高中同步 (3)从事件个数的角度看 　　互斥事件针对的是两个或多个事件,而对立事件针对的是两个事件. (4)从集合的角度看 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是X,Y,I为全集.事件A与B互斥,即集合X∩Y=⌀;事件 A与B对立,即集合X∩Y=⌀,且X∪Y=I,也即X=∁IY或Y=∁IX. (5)从应用的角度看 ①互斥事件可以解决的问题比较广泛,一般只要事件A,B满足A∩B=⌀,就可以用互斥事件的 性质加以解决. ②对立事件解决的问题主要有两类:一是含有否定意义或含有“至多”“至少”等词语的问 题;二是直接求解困难的问题. 第15章　概率 高中同步 2.判断相互独立事件的方法 (1)直接法:直接判断一个事件发生与否是不是影响另一个事件发生的概率. (2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 或 与B或 与 是否相互 独立. 第15章　概率 高中同步 典例 (多选)下面结论正确的是 (　    ) A.若事件A与B是互斥事件,则A与 也是互斥事件 B.若事件A与B是相互独立事件,则 与 也是相互独立事件 C.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,A与B相互独立,则P(A∪B)=0.68 D.若P(A)=0.8,P(B)=0.7,A与B相互独立,则P(  )=0.06 BCD 第15章　概率 高中同步 解析    对于A,如图, 事件A,B互斥,但是A与 不是互斥事件,故A错误; 对于B,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B), 所以P(  )=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B))=P( )P ( ),故B正确; 对于C,若A与B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.2-P(AB)=0.8-P(A)P(B)=0.8-0.6× 0.2=0.68,故C正确; 对于D,若A与B相互独立,则P(  )=P( )P( )=(1-P(A))(1-P(B))=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,故D正确. 第15章　概率 高中同步 定点 2 求复杂事件的概率 1.已知简单事件的概率,求复杂事件的概率的一般步骤 (1)事件表示:将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示; (2)事件运算:将已知概率的事件进行适当运算,得到要求概率的事件; (3)求概率:利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求相关概率. 当将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类较多,而其对立面的分类较少时, 考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”的思想来求解.它常用来求“至少”“至 多”型事件的概率. 第15章　概率 高中同步 2.事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),我们有如下结论: 事件 表示 概率(A,B互斥) 概率(A,B相互独立) A,B中至少有 一个发生 A∪B P(A)+P(B) 1-P( )P( )或P(A)+ P(B)-P(AB) A,B都发生 AB 0 P(A)P(B) A,B都不发生        1-[P(A)+P(B)] P( )P( ) A,B恰有一 个发生 A    ∪ B P(A)+P(B) P(A)P( )+P( )P(B) A,B中至多有 一个发生       ∪A ∪ B 1 1-P(A)P(B) 第15章　概率 高中同步 典例 在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中,甲、乙、丙三个家庭同时 回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ,甲、丙两个家庭都 回答错误的概率是 ,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 .若各家庭的回答是否正确互 不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭回答正确这道题的概率. 第15章　概率 高中同步 解析    记事件A=“甲家庭回答正确这道题”,B=“乙家庭回答正确这道题”,C=“丙家庭回 答正确这道题”, 则A,B,C相互独立,所以 和 相互独立. (1)结合题意得  又P( )=1-P(A),P( )=1-P(C), 所以 解得  第15章　概率 高中同步 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 , . (2)因为A,B,C相互独立,且AB ,A C, BC彼此互斥, 所以所求概率为P(AB +A C+ BC) =P(AB )+P(A C)+P( BC) =P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P( )·P(B)P(C)     = × × + × × + × × = , 所以甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭回答正确这道题的概率为 . 第15章　概率 高中同步 素养解读 　　统计与概率的综合题目主要以统计图表和数字信息为载体,应用统计与概率的相关知识 对实际问题作出决策,其中正确理解图表含义和提取信息是解决问题的关键.统计问题的核 心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图和样本的数字特征的相关计算;概 率问题的核心是概率计算,重点是互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算.统计与概率 的综合问题主要考查学生数据处理、运算求解能力,体现了数据分析、数学运算等核心素 养. 在解决统计与概率的实际问题中发展数据分析、数学运算的核心素养 学科素养 情境破 素养 第15章　概率 高中同步 典例呈现 例题 近年来,我国居民体重“超标”呈增长趋势,体重“超标”对人体的心血管安全构成威 胁,国际上常用身体质量指数BMI= 衡量人体胖瘦程度是否健康,中国成人的 BMI数值标准是:BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<23.9为正常:24≤BMI<27.9为偏胖;BMI>28为 肥胖.某社区医院为了解社区内居民的体重现状,随机抽取了100名居民的体检数据,将其BMI 值分成以下五组:[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],得到相应的频率分布直方图如图. 第15章　概率 高中同步 (1)根据频率分布直方图求a的值,并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80百分 位数; (2)现从样本中利用分层抽样的方法在[16,20),[24,28)两组内抽取6名居民,再从这6人中随机 抽取2人,求抽到的2人的BMI值不在同一组内的概率. 主编点评    本题是频率分布直方图与古典概型的综合应用问题,第(1)问需先读图,根据图中 的有效信息和频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1的特点求a的值,再根据百分位数的 定义求百分位数;第(2)问考查古典概型,先确定样本空间中样本点的个数m,再确定所求事件A 包含的样本点的个数n,最后由公式P(A)= 求概率. 第15章　概率 高中同步 解题思路    (1)根据题意得(0.01+a+0.1+0.08+0.02)×4=1,解得a=0.04. 前三组的频率之和为(0.01+0.04+0.1)×4=0.6<0.8,前四组的频率之和为0.6+0.08×4=0.92>0.8, 故样本数据的80百分位数在[24,28)内,设为x,则0.6+(x-24)×0.08=0.8,解得x=26.5, 即该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80百分位数为26.5. (2)由题中频率分布直方图可知BMI值在[16,20)内的频数为100×0.04×4=16,在[24,28)内的频 数为100×0.08×4=32, 所以两组人数之比为1∶2, 按照分层抽样的方法抽取6人,则从[16,20),[24,28)两组中应分别抽取2人和4人, 将在[16,20)内的两个人分别编号为a1,a2,在[24,28)内的四个人分别编号为b1,b2,b3,b4, 故从这6人中随机抽取2人的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), (a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4)},共15个样本点. 第15章　概率 高中同步 设事件A=“从6个人中随机抽取2人,抽到的2人的BMI值不在同一组内”, 则A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4)},共8个样本点, 故P(A)= , 即从这6个人中随机抽取2人,抽到的2人的BMI值不在同一组内的概率为 . 第15章　概率 高中同步 思维升华 　　在统计概率相关问题的求解中,我们要提高文字阅读能力、识图表的能力,以便能够更 快速地整合试题条件,准确理解题意,提高解题的效率.为此,我们要通过对比发现不同图表在 呈现数据方面的作用和特点,感知不同统计图表的适用情境.同时,我们要发展在分析题意的 过程中将统计概率问题转化为运算问题,恰当对统计概率问题进行数学运算程序设计的能 力. 第15章　概率 高中同步 $