14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

14.4　用样本估计总体 14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 基础过关练 题组一　平均数、众数、中位数 1.(2025江西萍乡模拟)某中学有初中生600名,高中生200名,为保障学生的身心健康,学校举办了“校园安全知识”竞赛.现用分层抽样的方法,分别抽取初中生m名,高中生n名的竞赛成绩,经统计,(m+n)名学生的平均成绩为74分,其中m名初中生的平均成绩为72分,n名高中生的平均成绩为x分,则x=(　　) A.74　　　　B.76　　　　C.78　　　　D.80 2.(2025江苏盐城射阳中学期中)一组数据1,7,5,2,x,2,且1<x<5,x∈N,若该组数据的众数唯一,且众数是中位数的,则该组数据的平均数为(　　) A.3　　　　B.3.5　　　　C.4　　　　D.4.5 3.(2025湖北部分名校期中)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、1 200人、800人,用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本,若抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高分别为165 cm,168 cm,171 cm,则估计该校学生的平均身高是　(　　) A.166.4 cm　　　　B.167.2 cm　　　　 C.167.8 cm　　　　D.170.0 cm 4.(2025江苏盐城滨海中学期中)某校四个植树小队在植树节当天种下柏树的棵数分别为10,x,10,8,若这组数据的中位数和平均数相等,则x=(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.6或10　　　　D.8或12 5.(多选题)(2024四川雅安名山第三中学月考)为提高疫情防控意识,某学校举办了一次疫情防控知识竞赛(满分100分),并规定成绩不低于90分为优秀.现该校从高一、高二两个年级分别随机抽取了10名参赛学生的成绩(单位:分),如表所示: 高一 74 78 84 89 89 93 95 97 99 100 高二 77 78 84 87 88 91 94 94 95 96 则下列说法正确的是(　　) A.高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分 B.高二年级所抽取参赛学生成绩的众数为94分 C.两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同 D.两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同 题组二　频率分布直方图与平均数、众数、中位数的综合应用 6.(2025甘肃兰州期中)平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的度量值,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中,a,b,c分别对应这组数据的平均数、中位数、众数,则下列关系正确的是(　　) A.b<c<a　　　　B.b<a<c　　　　C.a<b<c　　　　D.c<a<b 7.(2025天津滨海新区期中)在杂交水稻试验田中随机抽取100株稻穗,统计每株稻穗的稻谷数(单位:粒)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),则下列说法错误的是(　　) A.a=0.01 B.这100株稻穗的稻谷数的众数约为250粒 C.这100株稻穗的稻谷数的平均数约为256粒 D.这100株稻穗的稻谷数的中位数约为252粒 8.(2025江苏南通通州高级中学期中)对一批底部周长在[80,130](单位: cm)内的木头进行研究,从中随机抽取200根木头并测出其底部周长,得到频率分布直方图如图所示,由此估计这批木头的底部周长的众数是　　　　cm,中位数是　　　　cm,平均数是　　　　cm.  9.(2025江苏连云港东海第二中学期中)现在有越来越多的人注重自己的身材,其中体脂率是一个很重要的衡量标准,女性体脂率的正常范围是20%至25%,男性体脂率的正常范围是15%至18%,这一范围适用于大多数成年人,可以帮助判断个体是否肥胖.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行了一次抽样调查,抽取了1 000名成年女性的体脂率作为样本,并绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求a; (2)如果女性的体脂率超过30%属于“过胖”,那么全市女性中“过胖”的约有多少万人? (3)小王说:“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说:“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低? 能力提升练 题组　数据集中趋势的估计 1.(2024安徽安庆示范高中联考)已知一组数据x1,x2,…,xm的平均数为≠<a<1,则m,n的大小关系为(　　) A.m<n　　　　B.m>n　　　　C.m=n　　　　D.不确定 2.(2025辽宁模拟)已知实数x0,x1,x2,…,x10,则使最小的实数k分别为x0,x1,x2,…,x10的(　　) A.中位数,平均数　　　　B.中位数,中位数 C.平均数,平均数　　　　D.平均数,中位数 3.(多选题)(2025广东佛山模拟)某市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分,且评分的平均数分别为77,60,其中A工厂生产的产品评分如下表: 分数 名次(按高分到低分排名) 甲产品 75 4 乙产品 66 6 则在此次抽查评分中(　　) A.9家工厂甲产品评分的中位数一定小于平均数 B.9家工厂乙产品评分的中位数一定大于平均数 C.9家工厂甲产品评分中一定存在“极端高分数”(高于平均数10分以上) D.9家工厂乙产品评分中一定存在“极端低分数”(低于平均数10分以上) 4.(多选题)(2024浙江金华十校模拟)从某小区抽取100户居民进行月用电量(单位:kW·h)调查,发现他们的用电量都在50~350之间,进行适当分组后(每组均为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i=1,2,…,6),则(　　) A.x的值为0.004 4 B.这100户居民月用电量的中位数为175 kW·h C.月用电量落在区间[150,350)内的户数为75 D.若同组中数据用该组区间中点值代替,则这100户居民月平均用电量为(50i+25)si kW·h　 5.(2025辽宁沈阳期末)已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11,若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失数据的所有可能取值构成的集合为　　　　.  6.(2025江西吉安部分学校联考)红心猕猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质和18种氨基酸,被誉为“维C之王”.某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质,从该基地的8 000个红心猕猴桃中随机抽取100个来称重,其质量(单位:克)全部分布在区间[60,120]内,将所得数据按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120]分成6组,得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8 000个红心猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数,并说明理由; (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃,并提出了以下两种收购方案: 方案一:所有猕猴桃均以10元/千克的价格收购; 方案二:小于90克的猕猴桃以5元/千克的价格收购,不小于90克的猕猴桃以15元/千克的价格收购. 请你就这两种方案,通过计算为该猕猴桃基地老板选择最佳的出售方案.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 7.(2024福建三明第一中学月考)某中学新建了学校食堂,每天有近2 000名学生在学校食堂用午餐,午餐开放时间约40分钟,食堂制作了三类餐食,第一类是选餐,学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购;第二类是套餐,已按配套好的菜品盛装好,可直接取餐;第三类是面食,如煮面、炒面等.为了更合理地设置窗口布局,增加学生的用餐满意度,学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受的等待时间进行问卷调查,并得到以下统计图表: 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长(单位:分钟) 2 0.5 1 已知食堂的售饭窗口一共有20个,就餐高峰期时有240名学生在等待就餐. (1)根据以上调查统计,如果设置12个选餐窗口,4个套餐窗口,4个面食窗口,就餐高峰期时,假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待(即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同),求选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间; (2)取餐时至多等待多长时间能让80%的同学感到满意?(即在接受等待时长内取到餐,结果保留整数) (3)根据以上调查统计,从等待时长和公平的角度上考虑,应如何优化设置各类售饭窗口数,并给出你的求解过程. 答案与分层梯度式解析 14.4　用样本估计总体 14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 基础过关练 1.D　由题意得=74,解得x=80. 2.B　易得众数为2,则中位数为2××(1+2+2+4+5+7)=3.5. 3.C　依题意,容量为30的样本中,高一年级的学生人数为×30=10, 高二年级的学生人数为×30=12, 高三年级的学生人数为×30=8, 所以估计该校学生的平均身高为=167.8(cm). 4.D　当x≤8时,将数据从小到大排列为x,8,10,10, 因为这组数据的中位数和平均数相等,所以,解得x=8; 当8<x<10时,将数据从小到大排列为8,x,10,10, 则,解得x=8,不满足8<x<10,故排除; 当x≥10时,将数据从小到大排列为8,10,10,x, 则,解得x=12. 综上,x=8或x=12. 5.ABC　对于A,高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为=91(分),A正确; 对于B,高二年级所抽取参赛学生的成绩中,94分出现了2次,出现次数最多,故众数为94分, B正确; 对于C,高一、高二年级参赛学生中成绩不低于90分的都有5人,故优秀率都为50%,C正确; 对于D,高一年级所抽取参赛学生的平均成绩为×(74+78+84+89+89+93+95+97+99+100)=89.8(分), 高二年级所抽取参赛学生的平均成绩为×(77+78+84+87+88+91+94+94+95+96)=88.4(分),D错误. 6.C　众数是最高矩形下底边中点的横坐标,因此众数c为从右往左数第二个矩形底边的中点的横坐标, 直线x=b左、右两边的矩形面积之和相等,而直线x=c左边矩形面积之和大于右边矩形面积之和,则b<c, 又数据分布图左“拖尾”,所以平均数a小于中位数b,所以a<b<c. 规律总结　一般地,在单峰的频率分布直方图中,如果直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数大体相同,如果直方图右“拖尾”,那么平均数大于中位数,如果直方图左“拖尾”,那么平均数小于中位数. 7.D　对于A,由题中频率分布直方图得(0.005 0+0.007 5+0.017 5+a+0.007 5+0.002 5)×20=1,解得a=0.01,故A中说法正确. 对于B,最高的矩形对应的区间是[240,260),其下底边的中点的横坐标为=250,故众数约为250粒,故B中说法正确. 对于C,稻谷数的平均数约为(210×0.005 0+230×0.007 5+250×0.017 5+270×0.01+290×0.007 5+310×0.002 5)×20=256(粒),故C中说法正确. 对于D,稻谷数在[200,240)内的频率为(0.005 0+0.007 5)×20=0.25, 在[200,260)内的频率为(0.005 0+0.007 5+0.017 5)×20=0.6, 因此中位数位于[240,260)内,设这100株稻穗的稻谷数的中位数为x粒,则0.25+(x-240)×0.017 5=0.5,解得x≈254,故D中说法错误. 8.答案　105;;103.5 解析　由题图知,底部周长的众数是=105(cm), 因为前两组的频率之和为10×(0.015+0.025)=0.4<0.5, 前三组的频率之和为10×(0.015+0.025+0.03)=0.7>0.5, 所以中位数在[100,110)内,设为x cm,则0.4+0.03(x-100)=0.5,解得x=, 平均数是0.15×85+0.25×95+0.3×105+0.2×115+0.1×125=103.5(cm). 9.解析　(1)由题中频率分布直方图得5×2a+5×0.03+5×0.07+5×6a+5×2a=1,解得a=0.01. (2)样本中女性“过胖”的频率为5×2×0.01=0.1, 故全市女性中“过胖”的人数约为1 000 000×0.1=100 000,即全市女性中“过胖”的约有10万人. (3)调查所得数据的平均数为12.5%×0.1+17.5%×0.15+22.5%×0.35+27.5%×0.3+32.5%×0.1=23.25%, 设调查所得数据的中位数为x%, 因为体脂率在[10%,15%)内的频率为0.1,体脂率在[15%,20%)内的频率为0.15,体脂率在[20%,25%)内的频率为0.35,且0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5, 所以20<x<25,所以0.25+(x-20)×0.07=0.5,解得x=≈23.57, 故调查所得数据的中位数约为23.57%, 所以小王的体脂率约为23.57%,小张的体脂率为23.25%,因此小张的体脂率更低. 能力提升练 1.B　由题意可知x1+x2+…+xm=m, x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn=(m+n), 又], 所以m=(m+n)a,n=(m+n)(1-a),两式相减得m-n=(m+n)(2a-1)>0,所以m>n. 2.A　|xi-k|=|x0-k|+|x1-k|+|x2-k|+…+|x10-k|,表示11个绝对值之和, 根据绝对值的几何意义知,绝对值的和的最小值表示距离和的最小值, 因为11为奇数,所以k取x0,x1,…,x10的中位数时,|xi-k|有最小值; )-(2x0+2x1+2x2+…+2x10)k+11k2, 结合二次函数可知当k=有最小值, 故A正确. 3.ABD　9家工厂甲、乙产品的抽查评分按从低到高的顺序排列的第5位都是中位数, 由75是甲产品评分从高到低的第4位即从低到高的第6位,得中位数小于或等于75,因为甲产品评分的平均数为77,所以甲产品评分的中位数一定小于平均数,A正确; 由66是乙产品评分从高到低的第6位即从低到高的第4位,得中位数大于或等于66, 因为乙产品评分的平均数为60,所以乙产品评分的中位数一定大于平均数,故B正确; 甲产品评分可以为82,81,80,75,75,75,75,75,75,此时不存在“极端高分数”,故C错误; 对于乙产品,前六名的得分均大于或等于66,假设前六名所有评分都为66,则后三名总分为60×9-66×6=144,所以后三名的评分中必定有小于或等于48的情况,故必存在“极端低分数”,故D正确. 4.AD　对于A,由频率分布直方图的性质可知, (0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.004 4,故A正确; 对于B,因为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3<0.5,(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50=0.6>0.5, 所以这100户居民月用电量的中位数落在区间[150,200)内,设其为m kW·h, 则0.3+(m-150)×0.006=0.5,解得m≈183,故B错误; 对于C,月用电量落在区间[150,350)内的户数为(0.006 0+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50×100=70,故C错误; 对于D,由题意可知,这100户居民月平均用电量为(50+25)s1+(50×2+25)s2+…+(50×6+25)s6=(50i+25)si kW·h,故D正确. 5.答案　{-9,5,19} 解析　设丢失的数据为x,则这七个数的平均数为,众数为4, 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,所以可分以下三种情况讨论: 若x≤4,则中位数为4,此时+4=2×4,解得x=-9; 若4<x<6,则中位数为x,此时+4=2x,解得x=5; 若x≥6,则中位数为6,此时+4=2×6,解得x=19. 综上,丢失数据的所有可能取值构成的集合为{-9,5,19}. 6.解析　(1)由题中频率分布直方图可知,这100个猕猴桃中,质量不小于90克的频率为(0.03+0.025+0.005)×10=0.6, 所以估计这8 000个红心猕猴桃中质量不小于90克的个数为8 000×0.6=4 800. (2)由题中频率分布直方图可得,这批猕猴桃的平均质量为65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.3+105×0.25+115×0.05=91.5(克), 故若按方案一进行收购,则猕猴桃基地老板的收入为×91.5×10=7 320(元). 由题中频率分布直方图可得,质量小于90克的每个猕猴桃的平均质量为=77.5(克), 质量不小于90克的每个猕猴桃的平均质量为(克), 故若按方案二进行收购,则猕猴桃基地老板的收入为=15 200(元). 因为15 200>7 320,所以方案二为最佳的出售方案. 7.解析　(1)由题意得,就餐高峰期时选择选餐的总人数为240×=120, 这120人平均分布在12个选餐窗口处,平均每个窗口处等待就餐的人数为=10, 所以选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间为2×10=20(分钟). (2)由可接受等待时长的频率分布直方图可知, 分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]的频率分别为0.15,0.45,0.35,0.05, 所以可接受等待时长处于20~25分钟的同学占0.05×100%=5%,即有95%的同学不满意; 可接受等待时长处于15~25分钟的同学占(0.05+0.35)×100%=40%,即有60%的同学对等待时间少于15分钟感到满意, 所以至多等待的时间(设为x分钟)应在[15,20)内,才能让80%的同学感到满意,则0.6+(x-15)×0.07=0.8,所以x≈18, 即取餐时至多等待18分钟能让80%的同学感到满意. (3)假设设置m个选餐窗口,n个套餐窗口,k个面食窗口,m,n,k∈N*,则各队伍的同学最长等待时间如下: 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 120 72 48 各队伍人数 最长等待时间(分钟) 2× 0.5× 1× 依题意,若从等待时长和公平的角度上考虑,则要求每个队伍的最长等待时间大致相同, 即得2×,即有m∶n∶k=20∶3∶4, 而m+n+k=20,故m≈15,n≈2,k≈3, 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口个数分别为15,2,3. 16 学科网（北京）股份有限公司 $