9.2.3 向量的数量积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖定义、性质、投影向量、运算律及应用，通过衔接向量的模与夹角等前置知识，搭建从概念理解到运算应用的学习支架，引导学生逐步掌握数量积的几何意义与代数运算。 其亮点在于通过知识辨析深化概念理解，结合定义法与投影向量法培养数学思维，借助极化恒等式等常用结论强化数学语言表达。典例解析以三角形动点问题为例，引导学生用数学眼光分析空间关系，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

向量的数量积 必备知识 清单破 知识点 1 9.2.3 向量的数量积 1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积,记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ.     规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.向量数量积的性质 设a,b为非零向量,夹角为θ,则 (1)cos θ= ; (2)|a|= 或a·a=|a|2; (3)a⊥b⇔a·b=0; (4)当a,b同向时,a·b=|a||b|;当a,b反向时,a·b=-|a||b|. 第9章　平面向量 高中同步 投影向量 知识点 2 1.设a,b是两个非零向量,如图(1)和图(2), 表示向量a, 表示向量b,过点A作 所在直线的 垂线,垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量 的变换称为向量a向向量b投影,向量 称 为向量a在向量b上的投影向量. 由图可知,向量a在向量b上的投影向量 =|a|cos θ . 第9章　平面向量 高中同步 2.向量数量积的几何意义 　　由投影向量可知a·b= ·b,则向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向 量b的数量积. 第9章　平面向量 高中同步 　　设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律: (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b; (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 向量数量积的运算律 知识点 3 第9章　平面向量 高中同步 知识辨析 1.a·b中的“·”可以省略或写成“×”吗? 2.非零向量a,b的数量积a·b的符号与a,b的夹角θ有什么关系? 3.若a·b=0,则一定有a=0或b=0吗? 4.a在b上的投影向量与b在a上的投影向量一样吗? 5.对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 第9章　平面向量 高中同步 一语破的 1.不能.a·b中的“·”表示数量积这种运算形式,不能省略,也不能用“×”代替. 2.若a·b>0,则θ为0°或锐角;若a·b<0,则θ为180°或钝角;若a·b=0,则θ为直角. 3.不一定.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则a·b=0. 4.不一样.a在b上的投影向量为 · =|a|·cos θ· ;b在a上的投影向量为 · =|b|·cos θ·  (其中θ为a,b的夹角). 5.不一定. (a·b)·c表示与c共线的向量, a·(b·c)表示与a共线的向量,而a与c不一定共线. 第9章　平面向量 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 向量数量积的运算 1.求向量数量积的两种方法 (1)定义法:关键是求向量的模和夹角,再利用公式a·b=|a||b|cos θ求解.注意在确定两个向量的 夹角时要保证两个向量共起点,否则要通过平移使两向量起点重合. (2)投影向量法:若已知向量b的模|b|及向量a在向量b上的投影向量c的模|c|,可直接根据a·b=|b| |c|求解,此种方法避免了求向量a,b的夹角的步骤,求a·b的最值或范围问题时用此种方法较简 单. 第9章　平面向量 高中同步 2.常用结论 (1)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2. (2)a2-b2=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2). (4)a2+b2=0⇔a=b=0. (5)极化恒等式 平行四边形模型:在平行四边形ABCD中,设 =a, =b,则 =a+b, =b-a,则a·b= [(a+b)2- (a-b)2],故 · = (| |2-| |2);     三角形模型:在△ABC中,M为BC边的中点,则 · =| |2-| |2=| |2-| |2=| |2- | |2. 第9章　平面向量 高中同步 典例 (1)已知在△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,若P为边BC上的动点,则 ·( + )= (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.2 　　　    D.4 (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c=2,O为△ABC的外心,则 · = (        ) A. 　　　    B. 　　　     C.- 　　　    D.6 B B 第9章　平面向量 高中同步 解析    (1)解法一:取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC,且BC=2 . 由题可设 =λ ,0≤λ≤1,则 = - =λ - , + =- + - = -2 , 所以 ·( + )=(λ - )·( -2 ) =λ -(2λ+1) · +2  =(2 )2λ-(2λ+1)×2 ×2cos 30°+2×22=2. 解法二:如图,设D为BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,且AD=1,又 + =2 ,所以 ·( +  )=2 · =2| || |cos∠DAP=2| |2=2.   第9章　平面向量 高中同步 (2)如图,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N,则M,N分别为AC,AB的中点,   则 · = ·( - ) = · - ·  =| || |-| || |= -2= . 第9章　平面向量 高中同步 　　向量数量积的应用主要体现在求模和求夹角两个方面. 定点 2 向量数量积的应用 1.a·a=|a|2或|a|= 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据,有时还会用到|a±b|=  = .根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的特征对向量的数量积 或夹角的余弦值等进行转化. 2.求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cos θ= ,确定θ时要注意θ∈ [0,π].当cos θ>0时,θ∈ ;当cos θ<0时,θ∈ ;当cos θ=0时,θ= .也可以由此来判断三角 形的形状. 第9章　平面向量 高中同步 典例 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|(k>0). (1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的大小; (2)当a·b取得最大值时,求使|a+λb|的值最小的实数λ,并对这一结果作出几何解释. 解析    (1)因为|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|(k>0),所以(a-kb)2= , 即a2-2ka·b+k2b2=3(k2a2+2ka·b+b2), 即1-2ka·b+k2=3k2+6ka·b+3, 可得a·b=- . 又- =-  ≤- ×2 =- , 当且仅当k= ,即k=1时等号成立,所以a·b的最大值为- , 所以cos θ= =- ,又θ∈[0,π],所以θ= . 第9章　平面向量 高中同步 (2)由(1)知,a·b的最大值为- , 此时|a+λb|= =  = = , 所以当λ= 时,|a+λb|取得最小值,为 . 这一结果的几何解释:在平行四边形OABC中,OA=1,∠AOC=120°,当且仅当OC= 时,对角线 OB的长度最短,为 . 第9章　平面向量 高中同步 $