8.1平方根 同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 8.1平方根 知识点1、算术平方根 1．4的算术平方根是___________． 2．______． 3．计算：_______． 4．计算：________． 5．求下列各数的算术平方根： (1)16； (2)0.09； (3)0； (4)； (5)． 知识点2估算 1．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 2．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 4．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 5．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 知识点3平方根概念 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 2．若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 3．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 4．的平方根是（   ） A． B． C． D． 5．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 6．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 8．，括号内应填写______________ ． 知识点4 平方根的性质 1．的平方根为（     ） A． B． C． D． 2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 3．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____ ． 5．若，则_____，_____． 6．解方程 (1)； (2)． 7．已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 8．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 9．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程． 解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4． 易错点 1. 求算术平方根时运算出错 1．的平方根是_______． 2．的平方根是________． 2. 忽视一个正数的平方根有两个 3．已知与都是的平方根，则的值为_______________． 4．若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 1．若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 2．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 4．求下列各式中的值． (1)； (2)． 5．已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值． 6．若，求的值． 7．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 8．（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 1．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 2．如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 8.1平方根（解析版） 知识点1、算术平方根 1．4的算术平方根是___________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根， ∵，且2是正数， ∴4的算术平方根是2． 2．______． 【答案】 2 【分析】根据算术平方根的定义，若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根. 【详解】因为， 所以. 3．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．利用二次根式商的算术平方根的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．计算：________． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解题的关键是根据算术平方根的性质，一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身进行求解． 【详解】解：由算术平方根的性质可知，（其中）， 因此， 故答案为：2． 5．求下列各数的算术平方根： (1)16； (2)0.09； (3)0； (4)； (5)． 【答案】(1)4 (2)0.3 (3)0 (4)13 (5) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （5）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，即的算术平方根为； （2）解：， ∴，即的算术平方根为； （3）解：， ∴，即的算术平方根为； （4）解：， ∴，即的算术平方根为； （5）解：， ∴，即的算术平方根为． 知识点2估算 1．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解． 【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴这个魔方底面圆的半径； （2）解：能放进去．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高， ∴能放进去． 2．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 4．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】（1）1；（2）±4 【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1） 即 ， 的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是， ， ； （2） 即 的整数部分为1，的小数部分为 ， ， 的平方根为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． 5．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键． 知识点3平方根概念 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2．若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键． 依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根， ∴要找没有平方根的实数，需选择负数， 选项中只有是负数， 故选A． 3．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键． 首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 【详解】解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 6．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的概念，解决本题的关键是根据平方根的概念列式． 一个正数的两个平方根互为相反数，即它们的和为零列式求解即可． 【详解】解：由平方根的性质，得 ， 化简得 ，解得 ． 故答案为： 1． 8．，括号内应填写______________ ． 【答案】 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，一个数的平方等于9，则这个数是9的平方根，即． 【详解】解：设括号内的数为， 则， 由平方根定义可得， 故答案为：． 知识点4 平方根的性质 1．的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的计算，先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根为， 故选：C． 2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 3．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____ ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，继而可求出这个正数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个正数为， 故答案为：9． 5．若，则_____，_____． 【答案】 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此列方程求解和的值． 【详解】解：因为算术平方根，绝对值，且， ∴，即，解得； ，即，解得． 6．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 7．已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 【答案】(1)，，； (2)49 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （1）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （2）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 8．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 9．某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程． 解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4． 【答案】见解析 【分析】本题考查了算术平方根与平方根，掌握这两个概念是关键；由题意知，或，再分别求出x的值并检验即可． 【详解】解：实数的算术平方根不能是负数，即，应当舍去， 正确的解答过程如下： 一个实数的算术平方根为，平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ， 算术平方根不能为负数， 舍去． 综上所述，这个实数为16． 易错点 1. 求算术平方根时运算出错 1．的平方根是_______． 【答案】 【分析】先计算得到的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：，的平方根为， ∴的平方根是． 2．的平方根是________． 【答案】 【详解】， 3的平方根是． 2. 忽视一个正数的平方根有两个 3．已知与都是的平方根，则的值为_______________． 【答案】49或441 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【详解】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 4．若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 1．若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，平方根，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案； （2）将代入式子求出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又， ， ； （2）解：， ， ． 2．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 3．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 4．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 5．已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值． 【答案】2或1 【分析】本题考查了相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义以及代数式求值，掌握这些基本概念的性质并分情况讨论是解题的关键． 先根据相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义，确定的值，再分情况代入代数式计算． 【详解】解：由题意得，，或1，． 当时，； 当时，． 综上所述：的值为或． 6．若，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出的值是解题的关键． 直接利用绝对值以及偶次方的性质和算术平方根的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， 且，，， ，，， 解得，，， ． 7．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)该长方形的长为，宽为 (2)4个 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键． （1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 答：该长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵一个圆的面积为， ∴该圆的半径为， ∴该圆的直径为， ∵， ∴最多能裁剪出4个面积为的圆． 8．（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 1．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 2．如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. 3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 拓展 素养训练 基础 分点训练 中档 提分训练 学科网（北京）股份有限公司 $