全书综合测评（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

全书综合测评

全卷满分150分　考试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知复数z=+i5,则|z|=(　　)

A.2　　B.4　　C.2　　D.3

2.一组数据1,7,5,2,x,2,且1<x<5,x∈N*,若该组数据的众数是中位数的,则该组数据的平均数为(　　)

A.3　　B.3.5　　C.4　　D.4.5

3.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,它可以视为一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体,图1是一种木陀螺,其直观图如图2所示,A,B分别为圆柱上、下底面圆的圆心,P为圆锥的顶点,若圆锥的底面周长为4π,高为2,圆柱的母线长为4,则该几何体的体积是(　　)

　

A.π　　B.32π　　

C.π　　D.(32+16)π

4.已知向量a=(2,m),b=(m+1,1),且a与b的方向相反,若c=(2,1),则a在c上的投影向量的坐标是(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

5.如图,正八面体(所有面都是等边三角形)中异面直线AB与CF所成角的正弦值为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.1

6.已知⊥,||=t,||=.若点P是△ABC所在平面内一点,且=+,则·的最大值为(　　)

A.13　　B.5-2　　C.5-2　　D.10+2

7.已知α-l-β是直二面角,直线a在平面α内,直线b在平面β内.若a,b均与l既不平行,也不垂直,则a与b的位置关系是(　　)

A.可能垂直,也可能平行　　B.可能垂直,但不可能平行

C.不可能垂直,但可能平行　　D.既不可能垂直,也不可能平行

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2bcos A,则的取值范围是(　　)

A.(-1,2)　　B.　　C.　　D.(2,3)

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.盒子里有除颜色外完全相同的2个白球,2个黑球和1个红球,从中不放回地依次取出2个球.设事件A=“第1次取出的球是白球”,B=“2个球颜色相同”,C=“第2次取出的球是黑球”,D=“2个球中有1个是红球”.则下列说法正确的是(　　)

A.P(A)=　　B.P(B∪C)=　　

C.A与B相互独立　　D.B与D是对立事件

10.下列四个命题中正确的是(　　)

A.若|z+1-i|=1,则|z-1-i|的最大值为3

B.若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=2,z1+z2=1+i,则|z1-z2|=2

C.若=λ(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的重心

D.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=

11.已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=AB=BC=2,AC=2,平面PAC⊥平面ABC.若点O,M分别为AC,BC的中点,点N为三棱锥P-ABC表面上一动点,则下列说法正确的是(　　)

A.若AC⊥MN,则点N的轨迹长度为1+

B.若ON=,则点N的运动轨迹为两个半圆弧

C.若点N在棱AC上,则MN+NP的最小值为2

D.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为20π

 

 

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.甲、乙两人独立地解同一道题,甲,乙解对题的概率分别是,,那么至少有1人解对题的概率是　　　　. 

13.在四边长均为2的菱形ABCD中,∠A=60°,沿对角线BD折成二面角A-BD-C为90°的四面体A-BCD,则此四面体的外接球的表面积为　　　　. 

14.如图,在△ABC中,AB=2,AC=1,D,E分别是直线AC,AB上的点,=2,=4,且·=-2,则∠BAC=　　　　;若P是线段DE上的一个动点,则·的最小值为　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.

(1)求b与c;

(2)若m=2a+b,n=a+c,求m与n的夹角.

 

 

16.(15分)对800名学生的成绩进行统计(满分:100分),将数据分成五组,依次记为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成频率分布直方图(如图).

(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和第80百分位数(保留1位小数);

(2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人.若成绩在[70,90)内的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4;成绩在[80,90)内的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2,求成绩在[70,80)内的学生实际成绩的平均数与方差.

 

 

 

 

 

 

17.(15分)某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确的概率是,甲、乙两个家庭都回答正确的概率是,乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是.各家庭是否回答正确相互独立.

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率;

(2)求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率.

 

 

 

18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点M是△ABC的内心,若a=2,bcos A=asin B.

(1)求角A;

(2)连接AM并延长,交BC于点D,若AD=,求△ABC的周长;

(3)求AM的长的取值范围.

 

 

 

19.(17分)“牟合方盖”是魏晋时期的数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球的体积的几何体.它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向垂直相交时两圆柱公共部分形成的几何体(如图1),点D被称为“牟合方盖”的上顶点,点O为“牟合方盖”的中心.过点O作平面γ使得OD⊥γ,OD=2.

(1)求平面γ截“牟合方盖”所得截面的面积;

(2)B,E为平面γ与两圆柱交线的交点,A为BE的中点,过OD作平面ODSC,S,C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧,∠DOC=,过S作SR∥平面ABC,交边界BD于点R,设∠SOD=α,∠AOC=β.

(i)当β=时(如图2),是否存在α,使得CR=?若存在,求出α;若不存在,请说明理由;

(ii)若OS∥AR,点S到平面ABR的距离为,求tan α与tan β.